1、1第二部分 专题四类型 1 二次函数与特殊三角形的存在性问题1(2018怀化)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ax22 x c 与 x 轴交于A(1,0)， B(3,0)两点，与 y 轴交于点 C，点 D 是该抛物线的顶点(1)求抛物线的解析式和直线 AC 的解析式；(2)请在 y 轴上找一点 M，使 BDM 的周长最小，求出点 M 的坐标；(3)试探究：在拋物线上是否存在点 P，使以点 A， P， C 为顶点， AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)设抛物线的解析式为 y a(x1)( x3)，即 y ax22 ax3
2、 a，2 a2，解得 a1，抛物线的解析式为 y x22 x3；当 x0 时， y x22 x33，则 C(0,3)，设直线 AC 的解析式为 y px q，把 A(1,0)， C(0,3)代入得Error!解得Error!直线 AC 的解析式为 y3 x3.(2) y x22 x3( x1) 24，顶点 D 的坐标为(1,4)，如答图 1，作 B 点关于 y 轴的对称点 B，连接 DB交 y 轴于 M，则 B(3,0)， MB MB， MB MD MB MD DB，此时 MB MD 的值最小，而 BD 的值不变，此时 BDM 的周长最小，易得直线 DB的解析式为 y x3，当 x0 时， y
3、 x33，点 M 的坐标为(0,3)；2答图 1 答图 2(3)存在过点 C 作 AC 的垂线交抛物线于另一点 P1，如答图 2，直线 AC 的解析式为 y3 x3，直线 P1C 的解析式可设为 y x b，13把 C(0,3)代入得 b3，直线 P1C 的解析式为 y x3，13解方程组Error!解得Error! 或Error!则此时 P 点坐标为( ， )；73 209过点 A 作 AC 的垂线交抛物线于另一点 P2，如答图 2，直线 P2A 的解析式可设为y x d，13把 A(1,0)代入得 d0，解得 d ，13 13直线 P2A 的解析式为 y x ，13 13解方程组Error
4、!解得Error! 或Error!则此时 P 点坐标为( ， )，103 139综上所述，符合条件的点 P 的坐标为( ， )或( ， )73 209 103 1392(2018泰安)如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y ax2 bx c 交 x 轴于点A(4,0)， B(2,0)，交 y 轴于点 C(0,6)，在 y 轴上有一点 E(0，2)，连接 AE.(1)求二次函数的表达式；3(2)若点 D 为抛物线在 x 轴负半轴上方的一个动点，求 ADE 面积的最大值；(3)抛物线对称轴上是否存在点 P，使 AEP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在，请说明理由解：(1)
5、二次函数 y ax2 bx c 经过点 A(4,0)， B(2,0)， C(0,6)，Error! 解得Error!二次函数的表达式为 y x2 x6.34 32(2)由 A(4,0)， E(0，2)可得 AE 所在的直线解析式为 y x2，12答图过点 D 作 DF x 轴，交 AE 于点 F，交 x 轴于点 G，过点 E 作 EH DF，垂足为 H，如答图，设 D(m， m2 m6)，则点 F(m， m2)，34 32 12 DF m2 m6( m2) m2 m8，34 32 12 34 S ADE S ADF S EDF DFAG DFEH12 12 DF(AG HE)12 4DF122
6、( m2 m8)34 (m )2 ，32 23 503当 m 时， S ADE最大，最大值为 .23 503(3)存在， P 点的坐标为(1,1)或(1， )或(1，2 )11 19【解法提示】 y x2 x6 的对称轴为 x1，34 32设 P(1， n)，又 E(0，2)， A(4,0)，可得 PA ， PE ， AE 2 ，9 n2 1 n 2 2 16 4 5当 PA PE 时， ，9 n2 1 n 2 24解得 n1，此时 P(1,1)；当 PA AE 时， 2 ，9 n2 5解得 n ，此时 P 点的坐标为(1， )；11 11当 PE AE 时， 2 ，1 n 2 2 5解得 n
7、2 ，19此时 P 点的坐标为(1，2 )，19综上所述， P 点的坐标为(1,1)或(1， )或(1，2 )11 193(2018眉山)如图 1，已知抛物线 y ax2 bx c 的图象经过点 A(0,3)， B(1,0)，其对称轴为直线 l： x2，过点 A 作 AC x 轴交抛物线于点 C， AOB 的平分线交线段 AC于点 E，点 P 是抛物线上的一个动点，设其横坐标为 m.(1)求抛物线的解析式；(2)若动点 P 在直线 OE 下方的抛物线上，连接 PE， PO，当 m 为何值时，四边形 AOPE面积最大，并求出其最大值；(3)如图 2， F 是抛物线的对称轴 l 上的一点，在抛物线
8、上是否存在点 P，使 POF 成为以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)如答图 1，设抛物线与 x 轴的另一个交点为 D，由对称性得： D(3,0)，设抛物线的解析式为 y a(x1)( x3)，把 A(0,3)代入，得 33 a，解得 a1，抛物线的解析式为 y x24 x3.答图 1 答图 2(2)如答图 2，设 P(m, m24 m3)， OE 平分 AOB， AOB90， AOE45， AOE 是等腰直角三角形，5 AE OA3， E(3,3)，易得 OE 的解析式为 y x，过 P 作 PG y 轴，交 OE
9、 于点 G， G(m， m)， PG m( m24 m3) m25 m3， S 四边形 AOPE S AOE S POE， 33 PGAE，12 12 3( m25 m3)，92 12 m2 m，32 152 (m )2 ，32 52 758 0)与抛物线 F 相交于点 A(x1， y1)和点 B(x2， y2)33(点 A 在第二象限)，求 y2 y1的值(用含 m 的式子表示)；(3)在(2)中，若 m ，设点 A是点 A 关于原点 O 的对称点，如图 2.43判断 AA B 的形状，并说明理由；平面内是否存在点 P，使得以点 A， B， A， P 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点 P
10、 的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)抛物线 y x2 bx c 的图象经过点(0,0)和( ，0)，33Error! 解得Error!抛物线 F 的解析式为 y x2 x.33(2)将 y x m 代入 y x2 x，得 x2 m，33 3311解得 x1 ， x2 ，m m y1 m， y2 m，133m 133m y2 y1( m)( m) (m0)133m 133m 233m(3) m ，点 A 的坐标为( ， )，点 B 的坐标为( ，2)43 233 23 233点 A是点 A 关于原点 O 的对称点，点 A的坐标为( ， )233 23 AA B 为等边三角形理由如下： A(
11、， )， B( ，2)，233 23 233A( ， )，233 23 AA ， AB ， A B ，83 83 83 AA AB A B， AA B 为等边三角形存在分三种情况，如答图，答图设点 P 的坐标为( x， y)()当 A B 为对角线时，有Error!解得Error!点 P 的坐标为(2 ， )；323()当 AB 为对角线时，有Error!解得Error!点 P 的坐标为( ， )；233 103()当 AA为对角线时，有Error!解得Error!12点 P 的坐标为( ，2)233综上所述，平面内存在点 P，使得以点 A， B， A， P 为顶点的四边形是菱形，点 P 的坐
12、标为(2 ， )或( ， )或( ，2)323 233 103 2334如图，抛物线 y x2 bx c 与直线 AB 交于 A(4，4)， B(0,4)两点，直线AC： y x6 交 y 轴于点 C 点 E 是直线 AB 上的动点，过点 E 作 EF x 轴交 AC 于点12F，交抛物线于点 G.(1)求抛物线 y x2 bx c 的表达式；(2)连接 GB， EO，当四边形 GEOB 是平行四边形时，求点 G 的坐标；(3)在 y 轴上存在一点 H，连接 EH， HF，当点 E 运动到什么位置时，以 A， E， F， H 为顶点的四边形是矩形？求出此时点 E， H 的坐标解：(1)点 A(
13、4，4)， B(0,4)在抛物线 y x2 bx c 上，Error! 解得Error!抛物线的表达式为 y x22 x4.(2)设直线 AB 的解析式为 y kx n， A(4，4)， B(0,4)，Error! Error!直线 AB 的解析式为 y2 x4，设 E(m,2m4)，则 G(m， m22 m4)，四边形 GEOB 是平行四边形， EG OB4， m22 m42 m44，解得 m2， G(2,4)(3)如答图，13答图由(2)知，直线 AB 的解析式为 y2 x4，设 E(a,2a4)，直线 AC： y x6，12 F(a， a6)，12设 H(0， p)，以点 A， E， F
14、， H 为顶点的四边形是矩形，直线 AB 的解析式为 y2 x4，直线 AC的解析式为 y x6，12 AB AC， EF 为对角线， EF 与 AH 互相平分且相等，2 a4， 2 a4 a6， 4 p 2 4212 a2， p1(7 已舍)， E(2,0)， H(0，1)类型 3 二次函数与相似三角形的存在性问题1(2018官度区一模)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过原点 O，顶点为A(1,1)，且与直线 y x2 相交于 B， C 两点(1)求抛物线的解析式；(2)求 B， C 两点的坐标；(3)若点 N 为 x 轴上的一个动点，过点 N 作 MN x 轴与抛物线交于点 M，则是
15、否存在以O， M， N 为顶点的三角形与 ABC 相似？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由14解：(1)顶点坐标为(1,1)，设抛物线的解析式为 y a(x1) 21.又抛物线过原点，0 a(01) 21，解得 a1，抛物线的解析式为 y( x1) 21，即 y x22 x.(2)联立抛物线和直线解析式可得Error!解得Error! 或Error! B(2,0)， C(1，3)(3)存在理由：假设存在满足条件的点 N，设 N(x,0)，则 M(x， x22 x)， ON| x|， MN| x22 x|，由(2)知， AB ， BC3 ， AC2 ，2 2 5 AB2 BC2
16、AC2， ABC 为直角三角形，且 ABC90， MN x 轴于点 N， ABC MNO90，当 ABC 和 MNO 相似时，有 或 MNAB ONBC MNBC.ONAB当 时， ，即| x| x2| |x|.MNAB ONBC | x2 2x|2 |x|32 13当 x0 时， M， O， N 三点不能构成三角形， x0，| x2| ，13 x2 ，解得 x 或 x ，13 53 73此时 N 点坐标为( ，0)或( ，0)；53 73当 时， ，MNBC ONAB | x2 2x|32 |x|2即| x| x2|3| x|，| x2|3， x23，解得 x5 或 x1，此时 N 点坐标为
17、(1,0)或(5,0)15综上可知，存在满足条件的 N 点，其坐标为( ，0)或( ，0)或(1,0)或(5,0)53 732(2018达州)如图，抛物线经过原点 O(0,0)，点 A(1，1)，点 B( ，0)72(1)求抛物线解析式；(2)连接 OA，过点 A 作 AC OA 交抛物线于 C，连接 OC，求 AOC 的面积；(3)点 M 是 y 轴右侧抛物线上一动点，连接 OM，过点 M 作 MN OM 交 x 轴于点 N.问：是否存在点 M，使以点 O， M， N 为顶点的三角形与(2)中的 AOC 相似？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由备用图解：(1)设抛物线解析式为 y
18、 ax(x )，72把 A(1,1)代入，得 a(1 )1，72解得 a ，25抛物线解析式为 y x(x )，25 72即 y x2 x.25 75(2)延长 CA 交 y 轴于点 D，如答图 1.答图 1 A(1,1)， OA ， DOA45，2 AOD 为等腰直角三角形 OA AC， OD OA2，2 D(0,2)，易得直线 AD 的解析式为 y x2，联立方程组Error!16解得Error! 或Error! C(5，3)， S AOC S COD S AOD 25 214；12 12(3)存在如答图 2，过点 M 作 MH x 轴于点 H.答图 2由(2)易得 AC 4 ， OA .
19、 5 1 2 3 1 2 2 2设 M(x， x2 x)(x0)25 75 OHM OAC，当 时，OHOA MHAC OHM OAC，即 ，x2 | 25x2 75x|42解方程 x2 x4 x 得 x10(舍去)， x2 (舍去)，25 75 132解方程 x2 x4 x 得 x10(舍去)， x2 ，25 75 272此时 M 点坐标为( ，54)；272当 时， OHM CAO，OHAC MHOA即 ，x42 | 25x2 75x|2解方程 x2 x x 得 x10(舍去)， x2 ，25 75 14 238此时 M 点的坐标为( ， )，238 2332解方程 x2 x x 得 x1
20、0(舍去)， x2 ，25 75 14 338此时 M 点坐标为( ， )338 3332 MN OM， OMN90，17 MON HOM， OMH ONM，当 M 点的坐标为( ，54)或( ， )或( ， )时，以点 O， M， N 为顶点的三272 238 2332 338 3332角形与(2)中的 AOC 相似类型 4 二次函数与面积最值问题1(2018东营)如图，抛物线 y a(x1)( x3)( a0)与 x 轴交于 A， B 两点，抛物线上另有一点 C 在 x 轴下方，且使 OCA OBC(1)求线段 OC 的长度；(2)设直线 BC 与 y 轴交于点 M，点 C 是 BM 的中
21、点时，求直线 BM 和抛物线的解析式；(3)在(2)的条件下，直线 BC 下方抛物线上是否存在一点 P，使得四边形 ABPC 面积最大？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)当 y0 时， a(x1)( x3)0，解得 x11， x23，即 A(1,0)， B(3,0)， OA1， OB3. OCA OBC， OC OB OA OC， OC2 OAOB3，则 OC .3(2) C 是 BM 的中点，即 OC 为 Rt OBM 斜边 BM 的中线， OC BC，点 C 的横坐标为 .32又 OC ，点 C 在 x 轴下方， C( ， )332 32设直线 BM 的解析式为
22、y kx b，把点 B(3,0)， C( ， )代入，32 32得Error! 解得Error!直线 BM 的解析式为 y x .33 3又点 C( ， )在抛物线上，32 3218将 C( ， )代入抛物线的解析式，32 32解得 a ，233抛物线的解析式为 y x2 x2 .233 833 3(3)存在如答图，过点 P 作 PQ x 轴交直线 BM 于点 Q，设点 P 的坐标为( x， x2 x2 )，233 833 3答图则 Q(x， x )，33 3 PQ x ( x2 x2 ) x23 x 3 ，33 3 233 833 3 233 3 3当 BCP 面积最大时，四边形 ABPC
23、的面积最大， S BCP PQ(3 x) PQ(x ) PQ x2 x ，12 12 32 34 32 934 934当 x 时， S BCP有最大值，则四边形 ABPC 的面积最大，此时点 P 的坐标为b2a 94( ， )94 5382(2018盐城)如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y ax2 bx3 经过点A(1,0)， B(3,0)两点，且与 y 轴交于点 C(1)求抛物线的表达式；(2)如图 2，用宽为 4 个单位长度的直尺垂直于 x 轴，并沿 x 轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于 P， Q 两点(点 P 在点 Q 的左侧)，连接 PQ，在线段 PQ
24、 上方抛物线上有一动点 D，连接 DP， DQ.若点 P 的横坐标为 ，求 DPQ 面积的最大值，并求此时点 D 的坐标；12直尺在平移过程中， DPQ 面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由19解：(1)将 A(1,0)， B(3,0)代入 y ax2 bx3，得Error!解得 Error!抛物线的表达式为 y x22 x3.(2)当点 P 的横坐标为 时，点 Q 的横坐标为 ，12 72此时点 P 的坐标为( ， )，点 Q 的坐标为( ， )12 74 72 94设直线 PQ 的表达式为 y mx n，将 P( ， )， Q( ， )代入 y mx n，得12 7
25、4 72 94Error!解得 Error!直线 PQ 的表达式为 y x .54如答图，过点 D 作 DE y 轴交直线 PQ 于点 E，答图设点 D 的坐标为( x， x22 x3)，则点 E 的坐标为( x， x )，54 DE x22 x3( x ) x23 x ，54 74 S DPQ DE(xQ xP)2 x26 x 2( x )28.12 72 3220，当 x 时， DPQ 的面积取最大值，最大值为 8，此时点 D 的坐标为( ，32 32)154假设存在，设点 P 的横坐标为 t，则点 Q 的横坐标为 4 t，点 P 的坐标为( t， t22 t3)，点 Q 的坐标为(4 t
26、，(4 t)22(4 t)3)，20利用待定系数法易知，直线 PQ 的表达式为 y2( t1) x t24 t3.设点 D 的坐标为( x， x22 x3)，则点 E 的坐标为( x，2( t1) x t24 t3)， DE x22 x32( t1) x t24 t3 x22( t2) x t24 t， S DPQ DE(xQ xP)2 x24( t2) x2 t28 t2 x( t2) 28.1220，当 x t2 时， DPQ 的面积取最大值，最大值为 8.假设成立，即直尺在平移过程中， DPQ 面积有最大值，面积的最大值为 8.3(2018新疆)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y x2
27、 x4 与 x 轴交于23 23A， B 两点(点 A 在点 B 左侧)，与 y 轴交于点 C(1)求点 A， B， C 的坐标；(2)点 P 从 A 点出发，在线段 AB 上以每秒 2 个单位长度的速度向 B 点运动，同时，点Q 从 B 点出发，在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动设运动时间为 t 秒，求运动时间 t 为多少秒时， PBQ 的面积 S 最大，并求出其最大面积；(3)在(2)的条件下，当 PBQ 面积最大时，在 BC 下方的抛物线上是否存在点 M，使BMC 的面积是 PBQ 面积的 1.6 倍？若存在，求点 M
28、的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)当 x0 时， y x2 x44，23 23点 C 的坐标为(0，4)；当 y0 时， x2 x40，23 23解得 x12， x23，点 A 的坐标为(2,0)，点 B 的坐标为(3,0)(2)设直线 BC 的解析式为 y kx b(k0)，将 B(3,0)， C(0，4)代入 y kx b，得Error! 解得Error!直线 BC 的解析式为 y x4.43过点 Q 作 QE y 轴，交 x 轴于点 E，如答图 1 所示当运动时间为 t 秒时，点 P 的坐标为(2 t2,0)，点 Q 的坐标为(3 t， t)35 4521 PB3(2 t2)52 t
29、， QE t，45 S PBQE t22 t (t )2 .12 45 45 54 54 0，当 t 秒时， PBQ 的面积 S 取最大值，最大值为 .45 54 54(3)存在，如答图 2，过点 M 作 MF y 轴，交 BC 于点 F，设点 M 的坐标为(m， m2 m4)，23 23则点 F 的坐标为( m， m4)，43 MF m4( m2 m4) m22 m，43 23 23 23 S BMC MFOB m23 m.12 BMC 的面积是 PBQ 面积的 1.6 倍， m23 m 1.6，即 m23 m20，54解得 m11， m22.0 m3，在 BC 下方的抛物线上存在点 M，使
30、 BMC 的面积是 PBQ 面积的 1.6 倍，此时点 M 的坐标为(1，4)或(2， )83答图4(2018白银)如图，已知二次函数 y ax22 x c 的图象经过点 C(0,3)，与 x 轴分别交于点 A，点 B(3,0)点 P 是直线 BC 上方的抛物线上一动点(1)求二次函数 y ax22 x c 的表达式；(2)连接 PO， PC，并把 POC 沿 y 轴翻折，得到四边形 POP C 若四边形 POP C 为菱形，请求出此时点 P 的坐标；(3)当点 P 运动到什么位置时，四边形 ACPB 的面积最大？求出此时 P 点的坐标和四边22形 ACPB 的最大面积解：(1)将点 B 和点
31、 C 的坐标代入函数表达式，得Error!解得 Error!二次函数的表达式为 y x22 x3.(2)若四边形 POP C 为菱形，则点 P 在线段 CO 的垂直平分线上，如答图 1，作 OC 的垂直平分线交抛物线于点 P，交 y 轴于点 E，连接 PP，则 PE CO.答图 1 C(0,3)， E(0， )，32点 P 的纵坐标为 ，32当 y 时，即 x22 x3 ，32 32解得 x1 ， x2 (不合题意，舍去)，2 102 2 102点 P 的坐标为( ， )2 102 32(3)如答图 2，过点 P 作 PF x 轴于点 F，交 BC 于点 Q.答图 2设直线 BC 的解析式为
32、y kx b，将点 B 和点 C 的坐标代入函数解析式，得Error! 解得Error!直线 BC 的解析式为 y x3.设点 P 的坐标为( m， m22 m3)，则点 Q 的坐标为( m， m3)， PQ m22 m3( m3) m23 m.当 y0 时， x22 x30，解得 x11， x23， A(1,0)， OA1， AB3(1)4，23 S 四边形 ABPC S ABC S PCQ SPBQ ABOC PQOF PQFB 43 ( m23 m)3 (m )2 ，12 12 12 12 12 32 32 758当 m 时，四边形 ABPC 的面积最大，最大面积为 .32 758当 m
33、 时， m22 m3 ，即 P 的坐标为( ， )32 154 32 154综上所述，当点 P 的坐标为( ， )时，四边形 ACPB 的最大面积为 .32 154 758类型 5 二次函数与动点问题1(2018菏泽)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ax2 bx5 交 y 轴于点 A，交 x 轴于点 B(5,0)和点 C(1,0)，过点 A 作 AD x 轴交抛物线于点 D(1)求此抛物线的表达式；(2)点 E 是抛物线上一点，且点 E 关于 x 轴的对称点在直线 AD 上，求 EAD 的面积；(3)若点 P 是直线 AB 下方的抛物线上一动点，当点 P 运动到某一位置时， ABP 的面
34、积最大，求出此时点 P 的坐标和 ABP 的最大面积解：(1)抛物线 y ax2 bx5 交 y 轴于点 A，交 x 轴于点 B(5,0)和点 C(1,0)，Error! 解得Error!此抛物线的表达式是 y x24 x5.(2)抛物线 y x24 x5 交 y 轴于点 A，点 A 的坐标为(0，5) AD x 轴，点 E 是抛物线上一点，且点 E 关于 x 轴的对称点在直线 AD 上，点 E 的纵坐标是 5，点 E 到 AD 的距离是 10，当 y5 时，5 x24 x5，解得 x0 或 x4，点 D 的坐标为(4，5)， AD4， S AED ADEF 41020.12 12(3)设点
35、P 的坐标为( p， p24 p5)，如答图所示24答图设过点 A(0，5)，点 B(5,0)的直线 AB 的函数解析式为 y mx n，则Error! 得Error!直线 AB 的函数解析式为y x5.当 x p 时， y p5. OB5， S ABP 5 ( p )2 p 5 p2 4p 52 52 52 254点 P 是直线 AB 下方的抛物线上一动点，5 p0，当 p 时， S 取得最大值，此时 S ，点 p 的坐标是( ， )52 1258 52 354综上，当点 P 的坐标是( ， )时，52 354 ABP 的面积最大，此时 ABP 的面积是 .12582(2018德州)如图 1
36、，在平面直角坐标系中，直线 y x1 与抛物线y x2 bx c 交于 A， B 两点，其中 A(m,0)， B(4， n)，该抛物线与 y 轴交于点 C，与 x轴交于另一点 D(1)求 m， n 的值及该抛物线的解析式；(2)如图 2，若点 P 为线段 AD 上的一动点(不与 A， D 重合)，分别以 AP， DP 为斜边，在直线 AD 的同侧作等腰直角 APM 和等腰直角 DPN，连接 MN，试确定 MPN 面积最大时P 点的坐标；(3)如图 3，连接 BD， CD，在线段 CD 上是否存在点 Q，使得以 A， D， Q 为顶点的三角形与 ABD 相似？若存在，请直接写出点 Q 的坐标；若
37、不存在，请说明理由解：(1)把 A(m,0)， B(4， n)代入 y x1，得 m1， n3，25 A(1,0)， B(4,3)抛物线 y x2 bx c 经过点 A 与点 B，Error! 解得Error!抛物线的解析式为 y x26 x5.(2) APM 与 DPN 都为等腰直角三角形， APM DPN45， MPN90， MPN 为直角三角形令 x26 x50，解得 x1 或 x5， D(5,0)，即 DA514.设 AP m，则 DP4 m， PM m， PN (4 m)，22 22 S MPN PMPN m (4 m) m2 m (m2) 21，12 12 22 22 14 14当
38、 m2，即 AP2 时， S MPN最大，此时 OP3，即 P(3,0)(3)存在，易得直线 CD 解析式为 y x5，设 Q(x， x5)，由题意得 BAD ADC45，当 ABD DAQ 时， ，即 ，ABDA BDAQ 324 10AQ解得 AQ ，453由两点间的距离公式得( x1) 2( x5) 2 ，809解得 x 或 x (舍去)，此时 Q( ， )；73 113 73 83当 ABD DQA 时， 1，即 AQ ，BDAQ 10( x1) 2( x5) 210，解得 x2 或 x6(舍去)，此时 Q(2，3)综上，点 Q 的坐标为(2，3)或( ， )73 83类型 6 二次函
39、数与线段最值问题1(2018宜宾)在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线的顶点坐标为(2,0)，且经过点(4,1)如图，直线 y x 与抛物线交于 A， B 两点，直线 l 为 y1.1426(1)求抛物线的解析式；(2)在 l 上是否存在一点 P，使 PA PB 取得最小值？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由(3)已知 F(x0， y0)为平面内一定点， M(m， n)为抛物线上一动点，且点 M 到直线 l 的距离与点 M 到点 F 的距离总是相等，求定点 F 的坐标解：(1)抛物线的顶点坐标为(2,0)，设抛物线的解析式为 y a(x2) 2.该抛物线经过点(4,1)，14
40、 a，解得 a ，14抛物线的解析式为 y (x2) 2 x2 x1.14 14(2)联立直线 AB 与抛物线解析式成方程组，得Error!解得 Error!Error!点 A 的坐标为(1， )，点 B 的坐标为(4,1)14如答图，作点 B 关于直线 l 的对称点 B，连接 AB交直线 l 于点 P，此时 PA PB 取得最小值答图点 B(4,1)，直线 l 为 y1，点 B的坐标为(4，3)设直线 AB的解析式为 y kx b(k0)，将 A(1， )， B(4，3)代入 y kx b，得14Error!解得 Error!直线 AB的解析式为 y x ，1312 4327当 y1 时，有
41、 x 1，解得 x ，1312 43 2813点 P 的坐标为( ，1)2813(3)点 M 到直线 l 的距离与点 M 到点 F 的距离总是相等，( m x0)2( n y0)2( n1) 2， m22 x0m x 2 y0n y 2 n1.20 20 M(m， n)为抛物线上一动点， n m2 m1，14 m22 x0m x 2 y0( m2 m1) y 2( m2 m1)1，2014 20 14整理，得(1 y0)m2(22 x02 y0)m x y 2 y030.12 12 20 20 m 为任意值，Error!Error!定点 F 的坐标为(2,1)2(2018烟台)如图 1，抛物线
42、 y ax22 x c 与 x 轴交于 A(4,0)， B(1,0)两点，过点 B 的直线 y kx 分别与 y 轴及抛物线交于点 C， D23(1)求直线和抛物线的表达式；(2)动点 P 从点 O 出发，在 x 轴的负半轴上以每秒 1 个单位长度的速度向左匀速运动设运动时间为 t 秒，当 t 为何值时， PDC 为直角三角形？请直接写出所有满足条件的 t 的值；(3)如图 2，将直线 BD 沿 y 轴向下平移 4 个单位后，与 x 轴， y 轴分别交于 E， F 两点，在抛物线的对称轴上是否存在点 M，在直线 EF 上是否存在点 N，使 DM MN 的值最小？若存在，求出其最小值及点 M，
43、N 的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)把 A(4,0)， B(1,0)代入 y ax22 x c，得Error! 解得Error!抛物线的表达式为 y x22 x .23 83直线 y kx 过点 B，2328将 B(1,0)代入，得 k ，23直线的表达式为 y x .23 23(2)由Error! 得交点坐标 D(5,4)如答图 1，过点 D 作 DE x 轴于点 E，作 DF y 轴于点 F.答图 1当 P1D P1C 时， P1DC 为直角三角形，则 DEP1 P1OC， ，即 ，解得 t ；DEPO PEOC 4t 5 t23 151296当 P2D DC 时， P2DC 为直角
44、三角形，由 P2DB DEB 得 ，即 ，DBEB P2BDB t 152 526解得 t ；233当 P3C DC 时， DFC COP3， ，即 ，DFOC CFP3O 523 103t解得 t .49当 t 的值为 或 或 时， PDC 为直角三角形49 151296 233(3)存在由已知得直线 EF 解析式为 y x .23 103如答图 2，在抛物线上取点 D 的对称点 D，过点 D作 D N EF 于点 N，交抛物线对称轴于点 M，过点 N 作 NH DD于点 H，此时， DM MN D N 最小答图 229则 D(2,4)， EOF NHD.设点 N 的坐标为( a， a )，23 103 ，即 ，OENH OFHD 54 23a 103 1032 a解得 a2，则 N 点坐标为(2，2)由 N(2，2)， D(2,4)求得直线 ND的解析式为 y x1，32
