1、第一章 模糊集合的一般概念,1.1 模糊子集的定义及运算1.2 水平截集、分解定理、扩张原则,1.2.1 水平截集,1.2.1 水平截集,引例：5位应试者参加的选拔考试中， 5位应试者及其成绩如下表所示（百分制）：,如何按“择优录取”的原则来挑选优胜者,设模糊子集 表示“优胜者”，以各人成绩与最高分的比值作为属于 的隶属度。,1.2.1 水平截集,“优胜者”的模糊子集,“及格者”,“优良者”,“优秀者”,“满分者”,1.2.1 水平截集,实际问题的某个时刻，需要判断某个元素对模糊子集的明确归属，这就要求模糊子集与普通集合可以依据某种法则相互转化。,需要一种沟通模糊子集和普通集合的办法。若对模糊
2、子集给出一个确定的阈值 ，则模糊子集的元素可分成“非此即彼”的两种情形： 。于是，诱导出在 意义下的普通集合。,1.2.1 水平截集,定义 1.2.1 水平截集,1.2.1 水平截集,水平截集的性质：,1.2.1 水平截集,水平截集的性质：,（1）,（2）,性质（2）说明截集水平 越低， 越大；反之，截集水平 越高， 越小,从图中可见，当 的取值从1逐渐减小而到0时，相应的 逐渐扩展，从而得到一系列普通集合。,1.2.2 分解定理,定义1. 2.2 数乘,设 是论域U上的一个模糊子集( )， 由 构成一个新的模糊子集，记为 ，其隶属函数为 称 为数 与模糊子集 的数乘。,特别地，当 为普通集合
3、时：,如果把 视为模糊子集，其隶属函数为：,1.2.2 分解定理,1.2.2 分解定理,分解定理：,任取 ，可将 切割为 ，而将所有的 拼凑起来组成 ，就得到 ，即任何一个模糊子集可由一类集合套来表示,当 遍取 中，对 的值就是含有元素 的一切 中的最大的 值。,分解定理给出利用普通集合 表示模糊子集 的理论依据和实际做法。,当 遍取0,1 中的实数时，按模糊子集求并运算的规则， 恰好取各 点隶属函数的最大值，将这些点连成一条曲线，正是模糊子集 的隶属函数。,1.2.3 扩张原则,水平截集说明了模糊子集向普通集合的转化过程；分解定理则是相反过程，利用一系列普通集合（集合套）求并得到模糊子集，从
4、而将模糊集合论中的问题转化到普通集合论的问题来解决。,而扩张原则却是把普通集合论的方法直接扩展到模糊集合论。,论域U上模糊子集 在 下的象？,1975年，zadeh，公理,1.2.3 扩张原则,给定两个论域U、V，以及映射,则对 是论域V上的一个模糊子集，即其隶属函数为如果没有 使得 ，则规定 。,0.8,0.7,0.5,0.8,0.5,0,映射后的隶属度保持不变！扩张原则把普通集合论的方法直接扩展到模糊集合论。,1.3.1 最大隶属原则,模式识别：对所研究的具体对象，根据它的某些特征进行识别并分类。,这种分类是在已知模式的前提下进行的，也就是将整体划分为若干类型，作为一组标准模式。对于某个具
5、体对象，判别它属于那个模式，即属于那一类。,整体被划分的类型（模式）和被识别的对象，如果是某个论域中的模糊子集，这种模式识别就称为模糊模式识别。,1.3.1 最大隶属原则,整体被划分的类型（模式）和被识别的对象，如果是某个论域中的模糊子集，这种模式识别就称为模糊模式识别。,直接方法：对象为单个确定的元素，通过直接计算被识别对象的隶属函数以判别其属于那个模糊子集，最大（极大）隶属原则。,间接方法：对象为群体，模糊子集，判别与那一种已知的模糊子集最“贴近”，择近原则。,研究：模式为论域U中的n个模糊子集被识别的对象分为单个确定的元素或模糊子集,模式识别主要包括三个步骤 :,提取特征，首先需要从识别
6、对象中提取与识别有关的特征，并度量这些特征，于是每个识别对象就对应一个向量，建立训练样本。建立标准类型的隶属函数，标准类型通常是论域上的模糊子集。建立识别判决准则，确定某些归属原则，以判定识别对象属于哪一个标准类型。,常用的判决准则有最大隶属度原则（直接法）和择近原则（间接法）两种。,实例：苹果等级识别,训练样本集的建立：从苹果的横径、色泽以及果形指数三个方面把苹果分为四类，精品果、二级果、三级果、四级果。样本集训练步骤:原始数据标准化等，建立标准类型（模式）聚类分析。试验结果：对52个苹果进行训练，精品果、二级果、三级果、四级果各30个，正确率达到95 。,“模糊模式识别在计算机识别中的应用
7、研究”， 张娜等，微计算机信息，2004，20（6）,1.3.1 最大隶属原则,例1： ，论域U 上有三个模糊子集 （研究能力强）， （一般）， （差）：,那么，甲、乙、丙应归于那一类？,1.3.2 应用实例,例2：三角形识别问题,机器自动识别染色体或白血球分类，应用几何图形识别,设三角形论域现给出各种类型的三角形隶属函数。,1. 近似等腰三角形 ，其隶属函数为,A与B（或 B与C）愈接近，三角形 愈接近等腰三角形，即隶属度趋于1。,2. 近似直角三角形 ，其隶属函数为,例2：三角形识别问题,1. 近似等腰三角形 ，,2. 近似直角三角形 ，,3. 近似正三角形 ，,4. 近似等腰直角三角形 ，,5. 非典型三角形 ，,三角形内角分别为： ，判别属何类？,第一次作业,1、什么是模糊性？2、普通集合与模糊子集的区别与联系？3、已知论域U=a，b，c，d ,“圆块”模糊子集：,“方块”模糊子集：,求：,4、什么是模糊模式识别？一般分为那几种方法 ？,
