1、1二次函数与一元二次方程教学目标1理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与 x 轴的交点个数、掌握方程与函数间的转化2会利用二次函数的图象求相应一元二次方程的近似解3探求利用图象求一元二次方程根的过程，掌握数形结合的思想方法教学重难点探索二次函数图象与一元二次方程的关系，理解抛物线与 x 轴交点情况，利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根；函数方程 x 轴交点，三者之间的关系的理解与运用教学过程导入新课出示二次函数的图象，如图所示，根据图象回答：1 x 为何值时， y0?2你能根据图象，求方程 x22 x30 的根吗？3函数 y x22 x3 与方程 x22 x30 之间有何关系呢？
2、推进新课一、合作探究【问题 1】 画出函数 y x23 x2 的图象，根据图象回答下列问题(1)图象与 x 轴交点的坐标是什么？(2)当 x 取何值时， y0？这里 x 的取值与方程 x23 x20 有什么关系？(3)你能从中得到什么启发？教学设计： 1.先让学生回顾函数 y ax2 bx c 图象的画法，按列表、描点、连线等步骤画出函数 y x23 x2 的图象2教师巡视，与学生合作、交流3教师讲评，并画出函数图象4教师引导学生观察函数图象，回答(1)提出的问题，得到图象与 x 轴交点的坐标分别是(1,0)和(2,0)5让学生完成(2)的解答教师巡视指导并讲评6对于问题(3)，教师组织学生分
3、组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流，达成共识：从“形”的方面看，函数 y x23 x2 的图象与 x 轴 交点的横坐标，即为方程x23 x20 的解；从“数”的方面看，当二次函数 y x23 x2 的函数值为 0 时，相应的自变量的值即为方程 x23 x20 的解更一般地，函数 y ax2 bx c 的图象与 x 轴交点的横坐标即为方程 ax2 bx c0 的解；当二次函数 y ax2 bx c 的函数值为 0 时，相应的自变量的值即为方程 ax2 bx c0 的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系【问题 2】 画出二次函数 y x22 x， y x22 x1， y x22
4、 x2 的图象，并根据图象观察：(1)每个图象与 x 轴有几个交点？(2)一元二次方程 x22 x0， x22 x10， x22 x20 各有几个根？用根的判别2式验证一下，你有什么发现？二次函数 y ax2 bx c 的图象和 x 轴交点有三种情况：有两个交点；有一个交点；没有交点当二次函数 y ax2 bx c 的图象和 x 轴有交点时，交点的横坐标就是当 y0 时自变量 x 的值，即一元二次方程 ax2 bx c0 的根二次函数 y ax2 bx c 的图象和 x 轴交点的个数与一元二次方程 ax2 bx c0 根的关系：二次函数 y ax2 bx c 的图象与 x 轴交点一元二次方程a
5、x2 bx c0 的根一元 二次方程ax2 bx c0 的根的判别式 b24 ac有两个交点 有两个相异实数根 b24 ac0有一个交点 有两个相等实数根 b24 ac0没有交点 没有实数根 b24 ac0【问题 3】 根据问题 1 的图象回答下列问题：(1)当 x 取何值时， y0？当 x 取何值时， y0?当2 x1 时， y0；当 x2 或 x1 时， y0.(2)能否用含有 x 的不等式来描述(1)中的问题？能用含有 x 的不等式来描述(1)中的问题，即 x23 x20 的解集是什么？x23 x20 的解集是什么？【问题 4】 想一想：二次函数与一元二次不等式有什么关系？让学生类比二次
6、函数与一元二次方程的关系，讨论、交流，达成共识：(1)从“形”的方面看，二次函数 y ax2 bx c 在 x 轴上方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式 ax2 bx c0 的解；在 x 轴下方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式 ax2 bx c0 的解(2)从“数”的方面看，当二次函数 y ax2 bx c 的函数值大于 0 时，相应的自变量的值即为一元二次不等式 ax2 bx c0 的解；当二次函数 y ax2 bx c 的函数值小于0 时，相应的自变量的值即为一元二次不等式 ax2 bx c0 的解这一结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系【问题 5】 利用函数 y x22
7、 x2 的图象，求方程 x22 x20 的实数根(精确到0.1)分析：用描点法画函数 y x22 x2 的图象，图象要求尽可能准确(如图)方法一：确定抛物线与 x 轴的两个交点的位置，估计方程 x22 x20 两根的范围观察图象， x10.7 时， y 的值最接近于 0； x22.7 时， y 的值最接近于 0.从而估计方程的根为 x10.7， x22.7.方法二：观察图象发现，当自变量为 2 时，函数值小于 0；当自变量为 3 时，函数值大于 0，抛物线是一段连续曲线，所以在 2 和 3 之间的某个值，函数值为 0，即在 2 和 3 之间有根采用“逐渐逼近”的方法，逐步缩小两个数值的范围，直
8、到确定符合条件的近似根：将 2.5 代入函数中，函数值小于 0，所以方程在 2.5 与 3 之间有一个根；将 2.75 代入函数中，函数值大于 0，所以方程在 2.5 与 2.75 之间有一个根；最后确定这个根大约是2.7.采用同样的方法，确定另一个根大约是0.7.点拨：此题看起来容易，实际上学生不容易理解，做起来有一定难度故教师应多指导，理清思路3二、应用示例【例 1】 如图所示，(1)一元二次方程 x22 x30 的根是多少？(2)一元二次方程 x22 x33 的根是多少？(3)不等式 x22 x33 的解集是什么？(4)一元二次方程 x22 x3 k 有两个根，则 k 的取值范围是什么？
9、解：根据图象知：(1)方程 x22 x30 的两根为 x11， x23.(2)方程 x22 x33 的两根为 x10， x22.(3)不等式 x22 x33 的解集是 0 x2.(4)k 的取值范 围是 k4.点评：此题充分展示了二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系【例 2】 已知抛物线 y x2(2 k1) x k2 k.(1)求证：此抛物线与 x 轴有两个不同的交点；(2)当 k0 时，求此抛物线与坐标轴的交点坐标分析：(1)证 明方程 x2(2 k1) x k2 k0 有两个不相等的实数根即可(2)通过解方程，求值即可点拨：(1)注意利用 b24 ac 的值 二次方程 ax2 b
10、x c0 的根的情况 判 断 y ax2 bx c 与 x 轴交点的个数 判 断 (2)掌握抛物线与坐标轴交点的求法三、巩固提高1抛物线 y x22 kx2 与 x 轴交点的个数有( )A0 个 B1 个 C2 个 D以上都不对2小强从如图所示的二次函数 y ax2 bx c 的图象中，观察得出了下面五条信息：(1)a0；(2) c1；(3) b0；(4) a b c0；(5) a b c0.你认为其中，正确信息的个数有( )A2 个 B3 个 C 4 个 D5 个3若抛物线 y ax2 bx3 与 y x23 x2 的两交点关于原点对称，则 a、 b 分别为_4如图所示，抛物线 y ax2
11、bx c(a0)与 x 轴的两个交点分别为 A(1,0)和B(2,0)，当 y0 时， x 的取值范围是_45抛物线 y x26 x8 与 x 轴交点坐标为(2,0)，(4,0)，求方程 x26 x80 的根6已知关于 x 的函数 y ax2 x1( a 为常数)(1)若函数的图象与 x 轴恰有一个交点，求 a 的值；(2)若函数的图象是抛物线，且顶点始终在 x 轴上方，求 a 的取值范围本课小结1所学知识：(1)二次函数 y ax2 bx c(a0)与二次方程之间的关系当 y 为某一确定值 m 时，相应的自变量 x 的值就是方程 ax2 bx c m 的根(2)若抛物线 y ax2 bx c
12、 与 x 轴的交点为( x0,0)，则 x0是方程 ax2 bx c0 的根(3)利用二次函数图象求一元二次方程的近似解2思想方法是数形结合、逐渐逼近的探求方法二次函数与一元二次方程的关系一元二次方 程 ax2 bx c 0 实际上是二次函数 y ax2 bx c 中 y0 时的一种特殊情况可列表如下：开口方向 判别式 二次函数图象二次函数y ax2 bx c 与 x轴的交点个数一元二次方程ax2 bx c0 的根的情况 0 有两个交点 有两不等实根 x1， x2 0 有一个交点 有两相等实根 x1 x2a0 0 没有交点 无实根a0 0 有两个交点 有两不等实根 x1， x25 0 有一个交
13、点 有两相等实根 x1 x2 0 没有交点 无实根奥赛链接已知点 A， B 的坐标分 别为(1,0) ，(2,0)若二次函数 y x2( a3) x3 的图象与线段 AB 恰有一个交点，则 a 的取值范围是_解析：分两种情况：(1)因为二次函数 y x2( a3) x3 的图象与线段 AB 只有一个交点，且点 A， B 的坐标分别为(1,0)，(2,0)，所以1 2( a3)132 2( a3)230.解得1 a 1.由 12( a3)130，得 a1，此时 x11， x23，符合题意；由 22( a3)230，得 a 2，此时 x12， x2 ，不符合题意(2)令 x2( a3) x30，由判别式 0，得 a3 .当 a3 时， x1 x2 ，不合题意；当 a3 时， x1 x2 3，符合题意综上所述， a 的取值范围是1 a 1或 a3 2.答案：1 a 2或 a3
