1、二次函数1.定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数.cbaxy,(2)0ayx2.二次函数 的性质2ax（1）抛物线 的顶点是坐标原点，对称轴是 轴.y y（2）函数 的图像与 的符号关系.2x当 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；0a当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是 轴的抛物线的解析式形式为 .y2axy）（ 03.二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合） 轴的抛物线.cbxay24.二次函数 用配方法可化成： 的形式，其中 .2 khxay2 abckbh422，5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ； ； ；顶点式2ka
2、xy22hxy； ;两根式khxay2 cbxay2 )(21xay6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. 的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当 时，开口向下； 相等，抛物线的开口大小、00a形状相同, a 的绝对值越大，抛物线的开口越小 . 平行于 轴（或重合）的直线记作 .特别地， 轴记作yhxy直线 .0x7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全a相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法： ，顶点是 ，对称轴是直线abcxacbaxy4222 ），（ abc422.bx2（2）运
3、用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.例：抛物线 yx 22x2 的顶点坐标是9.抛物线 中， 的作用cbaa,（1） 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样.2axy（2） 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线cbxay2，故： 时，对称轴为 轴； （即 、 同号）时，对称轴在 轴左侧； （即 、abx20y0abby0ab异号）时，对称轴在 轴右侧.y（3） 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.ccbxa2y当 时， ，抛物线 与 轴有且只有一个交点（0， ）：0xcy2
4、 c ，抛物线经过原点; ,与 轴交于正半轴； ,与 轴交于负半轴.c0cycy以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 .0ab例：已知二次函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是cbxay2ab0，c0 ab0，c0 ab0，c0 ab0，c0 10.二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；2yaxhkhk且 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：2yaxk且【(h0)【(h0)【(k0)【(h0)【(h0)【(k0)【(kO；4a+cO，其中正确结论的个数为( )A 1 个 B. 2
5、 个 C. 3 个 D4 个答案：D会用待定系数法求二次函数解析式例 3.已知：关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=3 的一个根为 x=-2，且二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( )A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D(3，2)答案：C例 4、 （2006 年烟台市）如图（单位：m） ，等腰三角形 ABC 以 2 米/秒的速度沿直线 L 向正方形移动，直到 AB 与CD 重合设 x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为 ym2（1）写出 y 与 x 的关系式；（2）当 x=2，3.5 时，y 分别是多少？（3）当重叠部分的面积是正方
6、形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.例 5、已知抛物线 y= x2+x- 15（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴（2）若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B，求线段 AB 的长【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系例 6.已知：二次函数 y=ax2-(b+1)x-3a 的图象经过点 P(4，10)，交 x 轴于 ， 两点 ，)0,(1A),(2xB)(21x交 y 轴负半轴于 C 点，且满足 3AO=OB(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点 M，使锐角MCOACO?若存在，请你求
7、出 M 点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由(1)解：如图抛物线交 x 轴于点 A(x1，0)，B(x2，O)，则 x1x2=3O，x 1ACO例 7、 “已知函数 的图象经过点 A（c，2） ， cbxy21求证：这个二次函数图象的对称轴是 x=3。 ”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。点评： 对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析
8、式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是 x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点 A（c，2） ”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。解答 （1）根据 的图象经过点 A（c，2） ，图象的对称轴是 x=3，得cbxy21解得,321,2bc.2,3cb所以所求二次函数解析式为 图象如图所示。.312xy（2）在解析式中令 y=
9、0，得 ，解得0.53,21xx所以可以填“抛物线与 x 轴的一个交点的坐标是（3+ ”或“抛物线与 x 轴的一个交点的坐标是),5).0,53(令 x=3 代入解析式，得 ,25y所以抛物线 的顶点坐标为312x),253(所以也可以填抛物线的顶点坐标为 等等。),(函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。用二次函数解决最值问题例 1 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE（如图） ，其中 AF=2，BF=1试在 AB 上求一点 P
10、，使矩形 PNDM 有最大面积【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间例 2 某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下表：x（元） 15 20 30 y（件） 25 20 10 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数（1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？【解析】 （1）设此一次函数表达式为 y=kx+b则 解得 k=-1
11、，b=40，即一次函数表达式为152,0kby=-x+40（2）设每件产品的销售价应定为 x 元，所获销售利润为 w 元w=（x-10） （40-x）=-x 2+50x-400=-（x-25） 2+225产品的销售价应定为 25 元，此时每日获得最大销售利润为 225 元【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省） ”的设问中，“某某”要设为自变量， “什么”要设为函数；（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程例 3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高 处的形状可近似地看为抛物线如图所示，正在甩
12、绳的甲、乙两名学生 拿绳的手间距为 4 m，距地面均为 1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的 手水平距离第 9 题1m、25 m 处绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶已知学生丙的身高是 15 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)( )A15 m B1625 m C166 m D167 m分析：本题考查二次函数的应用答案：B7.已知直线 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B；一抛物线的解析式为 .02bxy cxbxy102（1）若该抛物线过点 B，且它的顶点 P 在直线 上，试确定这条抛物线的解析式；bx2（2）过点 B 作直线 BCAB 交 x 轴交于点 C，若抛物线
13、的对称轴恰好过 C 点，试确定直线 的解析式.xy2解：（1） 或102xy642y将 代入，得 .顶点坐标为 ，由题意得)b（ ， cb210610(,)4bb，解得 .2101602412,（2） xy8.有一个运算装置，当输入值为 x 时，其输出值为 ，且 是 x 的二次函数，已知输入值为 ,0, 时, 相应的y 21输出值分别为 5, , 34（1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值 为正数时输入值 的取值范围. yx解：（1）设所求二次函数的解析式为 ,cbxay2则 ,即 ,解得4305)2()(2cba1423bac31c故
14、所求的解析式为: .2xy（2)函数图象如图所示.由图象可得，当输出值 为正数时，输入值 的取值范围是 或 x1x39.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图请根据图象回答：第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间? yO x第三天 12 时这头骆驼的体温是多少?兴趣小组又在研究中发现，图中 10 时到22 时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式解：第一天中，从 4 时到 16 时这头骆驼的体温是上升的 它的体温从最低上升到最高
15、需要 12 小时第三天 12 时这头骆驼的体温是 39 2104216xxy10.已知抛物线 与 x 轴交于 A、4)3(ayB 两点，与 y 轴交于点 C是否存在实数 a，使得ABC 为直角三角形若存在，请求出 a 的值；若不存在，请说明理由解：依题意，得点 C 的坐标为（0，4） 设点 A、B 的坐标分别为（ ，0） ， （ ，0） ，1x2由 ，解得 ， )3(2ax 31ax42 点 A、B 的坐标分别为（-3，0） ， （ ，0） ， ，|34|a52OCA2OC24| ，981693916|34| 222 aaaAB， 5当 时，ACB9022C由 ，BA得 )169(258916
16、22aa解得 4 当 时，点 B 的坐标为（ ，0） ， ， ， 39625AB2C9402B于是 22CA 当 时，ABC 为直角三角形41a当 时，ABC9022B由 ，得 22BCA )169()8916(522aa解得 94a当 时， ，点 B（-3，0）与点 A 重合，不合题意33当 时，BAC9022ACB由 ，得 )9816(591622aa解得 不合题意94a综合 、 、 ，当 时，ABC 为直角三角形411.已知抛物线 yx 2mxm2. （1）若抛物线与 x 轴的两个交点 A、B 分别在原点的两侧，并且 AB ，试求 m 的值；5（2）设 C 为抛物线与 y 轴的交点，若抛
17、物线上存在关于原点对称的两点 M、N，并且 MNC 的面积等于 27，试求m 的值.解: (1)（x 1，0）,B(x 2，0) . 则 x1 ，x 2 是方程 x2mxm20 的两根.x 1 x2 m , x 1x2 =m 2 0 即 m2 ;又 ABx 1 x2 , 145（ +）m 24m3=0 . 解得：m=1 或 m=3(舍去) , m 的值为 1 . （2）M(a，b)，则 N(a，b) .M、N 是抛物线上的两点, 2,.amb 得：2a 22m40 . a 2m2 .当 m2 时，才存在满足条件中的两点 M、N. .a这时 M、N 到 y 轴的距离均为 , 2又点 C 坐标为（
18、0，2m）,而 SM N C = 27 ,2 （2m） =27 .1解得 m=7 . 12.已知：抛物线 与 x 轴的一个交点为 A（1，0） taxy 42（1）求抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标；（2）D 是抛物线与 y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以 AB 为一底的梯形 ABCD 的面积为 9，求此抛物线的解析式；NMCxyO（3）E 是第二象限内到 x 轴、y 轴的距离的比为 52 的点，如果点 E 在（2）中的抛物线上，且它与点 A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使APE 的周长最小?若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由解法一
19、：（1）依题意，抛物线的对称轴为 x2 抛物线与 x 轴的一个交点为 A（1，0） ， 由抛物线的对称性，可得抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标为（3，0） （2） 抛物线 与 x 轴的一个交点为 A（1， 0） ，tay 42 t3a 0)1()(a axy42 D（0，3a） 梯形 ABCD 中，ABCD，且点 C 在抛物线 上，32 C（4，3a） AB2，CD4 梯形 ABCD 的面积为 9， 9)(1ODAB9)4(1 a a1 所求抛物线的解析式为 或 342 xy32axy（3）设点 E 坐标为（ ， ）.依题意， ， ，0x0 且 250xy0025y 设点 E 在抛物线
20、 上， 34 x 34020 xy解方程组 得34,2500 xy； ， 1560yx ， 420 点 E 与点 A 在对称轴 x2 的同侧， 点 E 坐标为（ ， ） 2145设在抛物线的对称轴 x2 上存在一点 P，使APE 的周长最小 AE 长为定值， 要使APE 的周长最小，只须 PAPE 最小 点 A 关于对称轴 x2 的对称点是 B（3，0） ， 由几何知识可知，P 是直线 BE 与对称轴 x2 的交点设过点 E、B 的直线的解析式为 ，nmy 解得.03,4521 nm.23,1 n 直线 BE 的解析式为 把 x2 代入上式，得 321 xy 21y 点 P 坐标为（2， ）
21、设点 E 在抛物线 上， 342xy 34020xy解方程组 消去 ，得 .,5020xy 020 0 . 此方程无实数根综上，在抛物线的对称轴上存在点 P（2， ） ，使APE 的周长最小1解法二：（1） 抛物线 与 x 轴的一个交点为 A（1，0） ，taxy 42 t3a 0)1()(2a axy342令 y0，即 解得 ， 3 x1 x2 抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标为（3，0） （2）由 ，得 D（0，3a） ay42 梯形 ABCD 中，ABCD，且点 C 在抛物线上， ax32 C（4，3a） AB2，CD4 梯形 ABCD 的面积为 9， 解得 OD39)(1 OD
22、AB a13a 所求抛物线的解析式为 或 342 xy42 xy（3）同解法一得，P 是直线 BE 与对称轴 x2 的交点 如图，过点 E 作 EQx 轴于点 Q设对称轴与 x 轴的交点为 F由 PFEQ，可得 PFB 451P 21PF 点 P 坐标为（2， ） 21以下同解法一13.已知二次函数的图象如图所示（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点 M 的坐标（2）若点 N 为线段 BM 上的一点，过点 N 作 x 轴的垂线，垂足 为点 Q当点 N 在线段 BM 上运动时（点 N 不与点 B，点 M 重合） ，设 NQ 的长为 l， 四边形 NQAC 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关
23、系式及自变量 t 的取值范围； （3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P，使PAC 为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将OAC 补成矩形，使OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程） 解：（1）设抛物线的解析式 ，)2(1xay )2(1a 2xy其顶点 M 的坐标是 49，（2）设线段 BM 所在的直线的解析式为 ，点 N 的坐标为 N（t，h） ，bkxy 解得 ， .21490bk， 23k 线段 BM 所在的直线的解析式为 xy ，其中 32th21t
24、ts)32(1124t s 与 t 间的函数关系式是 ，自变量 t 的取值范围是 43tS （3）存在符合条件的点 P，且坐标是 ， 1725， 452，P设点 P 的坐标为 P ，则 )(nm， m， 22)1(A 5)(22ACC，分以下几种情况讨论：i）若PAC90，则 22P .5)1()(222nmn，解得： ， （舍去） 点 512 471，Pii）若PCA90，则 2ACP .5)()1(22nmn，解得： （舍去） 点 0234m， 4523， Piii）由图象观察得，当点 P 在对称轴右侧时， ，所以边 AC 的对角APC 不可能是直角AC（4）以点 O，点 A（或点 O，点
25、 C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边 OA（或边 OC）的对边上，如图 a，此时未知顶点坐标是点 D（1，2） ，以点 A，点 C 为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边 AC 的对边上，如图 b，此时未知顶点坐标是E ，F 521， 84，图 a 图 b14.已知二次函数 的图象经过点（1，1） 求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与 x 轴的交2 axy点的个数解：根据题意，得 a21. a1 这个二次函数解析式是 2xy因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，2） ，所以该函数图象与 x 轴有两个交点15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分在大桥截面 111
26、000 的比例图上，跨度 AB5 cm，拱高OC0.9 cm，线段 DE 表示大桥拱内桥长，DEAB，如图（1） 在比例图上，以直线 AB 为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴，以 1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2） （1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果 DE 与 AB 的距离 OM0.45 cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据： ，计算结果精确到4.121 米） 解：（1）由于顶点 C 在 y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为 1092 axy因为点 A（ ，0） （或 B（ ，0） ）在抛物线上， 所以
27、 ，得 525 109)25(0 a1258 a因此所求函数解析式为 )25(198xxy （2）因为点 D、E 的纵坐标为 ， 所以 ，得 209109258 x245x所以点 D 的坐标为（ ， ） ，点 E 的坐标为（ ， ） 45 4所以 2)( 因此卢浦大桥拱内实际桥长为 （米） 3852701.516.已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A、B 是 x 轴正半轴上的两点，点 A 在点 B 的左侧，如图二次函数（a0）的图象经过点 A、B，与 y 轴相交于点 Ccbxay 2（1）a、c 的符号之间有何关系?（2）如果线段 OC 的长度是线段 OA、OB 长度的比例中项，试证a、
28、c 互为倒数；（3）在（2）的条件下，如果 b4， ，求 a、c 的值34AB解:（1）a、c 同号 或当 a0 时，c0；当 a0 时，c0 （2）证明：设点 A 的坐标为（ ，0） ，点 B 的坐标为（ ，0） ，则 1x2x21x ， ， 1xO2BOC据题意， 、 是方程 的两个根 )(acbxa acx21由题意，得 ，即 2A 2所以当线段 OC 长是线段 OA、OB 长的比例中项时，a、c 互为倒数（3）当 时，由（2）知， ， a04b421 bx解法一：ABOBOA ，212)(x acacAB346)(42 ， 得 c2. 3 1解法二：由求根公式， ，aax 346246
29、 ， ax321 32 aaxOAB32321 ， ，得 c234A4a例 1、求 在区间 上的最大值和最小值。12)(xxf ,0分析解决这类问题的关键是判别函数的定义域各区间上的单调性，再利用函数的单调性解决问题。解、 ，对称轴为 .)()af ax（1）当 时，由图（1）可知，0a，)()(minfxf .432aa（1） （2）（2）当 时，由图（2）可知，0，min)()(afxf43a（3）当 时，由图（3）可知，21， 2min)()(afxf.0a（3） （4）（4）当 时，由图（4）可知，2，afxf3)()(min.10a评注 （1）利用单调性求最值或值域应先判断函数在给定
30、区间上的单调性。（2）求解二次函数在某区间上的最值，应判断它的开口方向、对称轴与区间的关系，若含有字母应注意分类讨论，解题时最好结合图象解答。例 2、已知函数 在区间 上的最大值为 1，求实数 的值。3)12()(xaxf 2, a分析：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，首先应搞清二次项系数 是否为零，如果 的最大值)(,0xf与二次函数系数 的正负有关，也与对称轴 的位置有关，但 f(x)的最大值只可能在端点或顶点处取得，aax210解答时必须用讨论法。解、 时， ，0a3)(xf在 上不能取得 1，故 .)(xf2,30a的对称轴方程为)(3)(xa .210ax（1）令 ，解得 ，1
31、2f此时 ，,0x因为 ， 最大，所以 不合适。a)(f 1)23(f（2）令 ，解得 ，14a此时 ，2,30x因为 ，且距右端点 2 较远，所以 最大，合适。,40a )2(f（3）令 ，得 ，1)(xf )23(a验证后知只有 才合适。)(2综上所述， ，或43a).23(评注这里函数 的最大值一是与 的符号有关。另外也与对称轴和区间的端 的远近有关，不分情况)(xfa 2,3讨论就无法确定题型二、一元二次方程的实根分布问题例 3、 （1）关于 的方程 有两个实根，且一个大于 1，一个小于 1，求 的取值范围；x0142)3(2mx m（2）关于 的方程 有两实根都在 内，求 的取值范围
32、；)(2 )4,m关于 x 的方程 有两实根在 外，求 m 的取值范围0143x31（4）关于 的方程 有两实根，且一个大于 4，一个小于 4，求 的取值范围.2)(2m解（1）令 ，对应抛物线开口向上，方程有两个实根，且一个大于 1，一个小)(xxf于 1 等价于 （思考：需要 吗？） ，即00.421（2）令 ，原命题等价于142)3()(2mxxf.5271,537042)(860420)142()3(40)( mmmf（3）令 ，原命题等价于423xxf即 得0)(1f 01)(69.21（4）令 ，依题得4232mxxg或 得0)(m,)4(.019评注求解二次方程根的分布问题，结合
33、二次函数图象，主要考虑三个方面的问题（1）判别式（2）对称轴（3）区间端点函数值题型三、二次函数的综合问题例 4、已知二次函数 cbxaxf2)(（1）若 abc， 且 f（1）=0，证明 f（x ）的图象与 x 轴有 2 个交点；（2）在 （ 1） 的 条 件 下 ， 是 否 存 在 m R， 使 得 f（ m） = a 成 立 时 ， f（ m+3） 为 正 数 ， 若 存 在 ， 证 明 你 的 结 论 ， 若 不存 在 ， 说 明 理 由 ；（3）若对 ，方程 有 2 个不等实根，)(, 212121 xffxRx且 )(21)(xffxf)(证 明 必 有 一 个 根 属 于解: （
34、1） 2()0,0,40,()fabccabacfx的图象与 x 轴有两个交点.（2） ，1 是 的一个根，由韦达定理知另一根为 ，()0f()fx ,caabc且10)(mm则 1323ac在（1，+）单调递增， ，即存在这样的 m 使)xf0)(ff03(（3）令 ，则 是二次函数.)(21)(2xffxfg)(g0)(41)( 221121 xffx有两个不等实根，且方程 的根必有一个属于 .1212(),()0,()fxfgxgx()0gx),(21x例 5、 （1）已知函数 ，若 有解，求实数 的取值范围；af 0f a（2）已知 ，当 时，若 恒成立，求实数 的取值范围。f4)(2
35、1,x)(解：（1） 有解，即 有解 有解 有解 所0x2x21a12x.2|1|max2以 ).,(a（2）当 时， 恒成立 又当 时， ，所以1xaxf)( .)(minxf,x 5)()(minff).5,(【评注】 “有解”与“恒成立”是很容易搞混的两个概念。一般地，对于“有解”与“恒成立” ，有下列常用结论：（1） 恒成立 ；（2） 恒成立 ;（3） 有解axfxfmin)( axf)( axf)(axf)(；（4） 有解m)( a.minf例 6:（1）若函数 在区间 上有意义，求实数 的取值范围；xxy93,m（2）若函数 的定义域为 ，求实数 的取值范围。(解：（1）由题意知，
36、当 时，恒有 ，即恒有2,(xx9340.)314(93xxx又因为 在 上单调递增，所以 ，所以)2f,()2()(maxff813.813m（2）由题意知，不等式 ，即 的解是 ，易解得，094xxm0)31(42x，816)31(x则 ，解方程 ，得2log31 2816log31m.813评注“有意义”与“定义域”是两个不同的概念。一般地，在某个条件下函数 “有意义” ，是指在该条件下，使得函数有意义的某个式子总成立；而若某个条件为函数的“定义域” ，则是指使得函数有意义的自变量的范围就是该条件。小结：二次函数是高中知识与大学知识的主要纽带，函数综合题往往以二次函数为载体，考查函数的值
37、域、奇偶性、单调性及二次方程实根分布问题、二次不等式的解集问题等，考查形式灵活多样，考查思想涉及到数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想等，高考在此设计的难度远远高于课本要求，在学习中一方面要加强训练，一方面要提高分析问题、解决问题的能力习题四1设 ，二次函数 的图象为下列之一：0b122abxy则 的值为（ ）aA1 B C D12512512方程 的两根都大于 2，则 的取值范围是（ ）05)2(2mxmA B C D4,5)4,(),( 4,(),(3函数 是单调函数的充要条件是 （ ）2 ybcA()0()0()0b()0b4、若关于 的方程 在（0，1）内恰有一解，求实数 的取值
38、范围。x2xa a5、已知关于 的方程 ，探究 为何值时()-aa（1）方程有一根（2）方程有一正一负两根（3）两根都大于 1（4）一根大于 1 一根小于 16、已知二次函数 的两个零点 且其图象的顶点恰好在 的图象上。xfy,21x xy2log（1）求 的解析式。)(xf（2）设 在 的最小值为 ，求 的表达式1,t)(tg)(t7、设 ，若 0，求证：cbaf23)( 1,0fcba（1）方程 有实根；（2） ；（3）设 是方程 的两个实根，则0x22,x0)(f.3|3218已知 二次函数 设不等式 的解集为 A，又知集合 若,Ra.2)(2axf0)(xf .31|xB，求 的取值范围。AB9、 （1）求 的值域124xy（2）关于 的 方程有解，求实数的 范围。0aa10、已知函数 的最大值为 ，求 的值 21sini4211、已知函数 与 轴非负半轴至少有一个交点，求 的取值范围()()fxxxa12对于函数 ，若存在 ，使 ，则称 是 的一个不动点，已知函数0R0()f0()fx，2()(1)()fxabxa（1）当 时，求函数 的不动点；, (fx（2）对任意实数 ，函数 恒有两个相异的不动点，求 的取值范围；) a（3）在（2）的条件下，若 的图象上 两点的横坐标是 的不动点，且 两点关于直线(yfx,AB()fx,AB:l对称，求 的最小值21ykxab
