1、八年级上册第二章特殊三角形2.1 图形轴对称轴对称图形 1. 如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它对称轴2. 有轴对称图形对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴3. 折叠后重合点是对应点，叫做对称点。轴对称 有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合， 那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合点是对应点，叫做对称点两个图形关于直线对称也叫做轴对称图形轴对称性质关于某直线对称两个图形是全等形。 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段垂直平分线。轴对称图形对称轴，是任何一对对
2、应点所连线段垂直平分线。如果两个图形对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。轴对称与轴对称图形区别线段垂直平分线（1）经过线段中点并且垂直于这条线段直线，叫做这条线段垂直平分线（2）线段垂直平分线上点与这条线段两个端点距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等点在这条线段垂直平分线上因此线段垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等所有点集合2.2 等腰三角形+2.3 等腰三角形性质定理+2.4 等腰三角形判定定理等腰三角形1. 有两条边相等三角形是等腰三角形。2. 在等腰三角形中，相等两条边叫做腰，另一条边叫做底边两腰所夹角叫做顶角，腰与底边夹角叫做底角等腰三角形性质性
3、质 1：等腰三角形两个底角相等（简写成“等边对等角” ）性质 2：等腰三角形顶角平分线、底边上中线、底边上高互相重合（三线合一） 特别：（1）等腰三角形是轴对称图形.（2）等腰三角形两腰上中线、角平分线、高线对应相等.等腰三角形判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对边也相等（简写成“等角对等边” ） 特别：（1）有一边上角平分线、中线、高线互相重合三角形是等腰三角形（2）有两边上角平分线对应相等三角形是等腰三角形（3）有两边上中线对应相等三角形是等腰三角形（4）有两边上高线对应相等三角形是等腰三角形等边三角形三条边都相等三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形等边三角形性质等边三角形
4、三个内角都相等， 并且每一个内角都等于 60等边三角形判定方法（1 ）三条边都相等三角形是等边三角形；（2 ）三个角都相等三角形是等边三角形；（3 ）有一个角是 60等腰三角形是等边三角形2.5 逆命题和逆定理逆命题和逆定理命题：一般地，对某一件事情作出正确或不正确判断句子叫做命题。1. 命题一般由条件和结论组成，可以改为“如果” ， “那么” 形式。2. 正确命题叫真命题，不正确命题叫假命题。3. 基本事实：人们在长期反复实践中证明是正确，不需要再加证明命题。4定理：用逻辑方法判断为正确并作为推理根据真命题。注意：基本事实和定理一定是真命题。互逆命题：一般来说，在两个命题中，如果第一个命题题
5、设是第二个命题结论，而第一个命题结论是第二个命题题设，那么这两个命题叫互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个就叫做它逆命题。互逆定理：如果一个定理逆命题也是真命题，那么这两个定理叫做互逆定理。其中一个定理叫做另一个定理互逆定理。注意：1.逆命题、互逆命题不一定是真命题，但逆定理、互逆定理一定是真命题。2.所有命题都有逆命题，但不是所有定理都有逆定理。2.6 直角三角形直角三角形有一个角是直角三角形叫做直角三角形。直角三角性质 1.直角三角形两个锐角互余. 2. 直角三角形斜边上中线等于斜边一半。 3. 在直角三角形中，30 角所对直角边等于斜边一半.直角三角判定 1. 有一个角是直角三
6、角形是直角三角形 2. 有两个角互余三角形是直角三角形3. 补充：如果三角形中一边上中线等于这条边一半，那么这个三角形是一个直角三角形。2.7 勾股定理勾股定理一、 知识结构勾股定理逆定理如果三角形中两边平方和等于第三边平方，那么这个三角形是直角三角形。定理： 22cba应用:主要用于计算直角三角形性质:勾股定理直角三角形判别方法:若三角形的三边满足 则22cba它是一个直角三角形.勾股定理1、 勾股定理应用勾股定理反映了直角三角形三边之间关系，是直角三角形重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形两边求第三边（2）已知直角三角形一边与另两边关系。求直角三角形另两边（3）利用勾股定理可以
7、证明线段平方关系问题2、 如何判定一个三角形是直角三角形（1） 先确定最大边（如 c）（2） 验证 与 是否具有相等关系2c2ba（3） 若 = ，则 ABC 是以C 为直角直角三角形；若 2c， 则ABC 不是直角三角形。23、 勾股数满足 = 三个正整数，称为勾股数，如（1）3，4 ，5； （2 ）2bac5，12，13； （3）6，8，10 ；（4）8，15，17； （5）7，24，25 （6）9, 40, 412.8 直角三角形全等判定直角三角形判定方法 HL两 Rt三角形一条斜边与一条直角边对应相等 则两三角形全等角平分线性质定理逆定理角内部，到角两边距离相等点，在这个角平分线上。补
8、充知识：1、三角形中中位线连接三角形两边中点线段叫做三角形中位线。（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新三角形。（2）要会区别三角形中线与中位线。三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边，并且等于它一半。三角形中位线定理作用：位置关系：可以证明两条直线平行。数量关系：可以证明线段倍分关系。常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论 1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长一半。结论 2：三条中位线将原三角形分割成四个全等三角形。结论 3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等平行四边形。结论 4：三角形一条中线和与它相交中位线互相平分。结论 5：三角形中任意两
9、条中位线夹角与这夹角所对三角形顶角相等。（3）摄影定理在直角三角形中，斜边上高线是两直角边在斜边上摄影比例中项，每条直角边是它们在斜边上摄影和斜边比例中项ACB=90 BDAC2CDAB 2（4）常用关系式由三角形面积公式可得：AB CD=AC BC三、重点解读1学习特殊三角形，应重点分清性质与判定区别，两者不能混淆。一般而言，根据边角关系判断一个图形形状通常用是判定，而根据图形形状得到边角关系那就是性质；2等腰三角形腰是在已知一个三角形是等腰三角形情况下才给出名称，即先有等腰三角形，后有腰，因此在判定一个三角形是等腰三角形时千万不能将理由说成是“有两腰相等三角形是等腰三角形” ；3直角三角形
10、斜边上中线不仅可以用来证明线段之间相等关系，而且它也是今后研究直角三角形问题较为常用辅助线，熟练掌握可以为解题带来不少方便；4勾股定理反映是直角三角形两直角边和斜边之间平方关系，解题时应注意分清哪条是斜边，哪条是直角边，不要一看到字母“ ”就认定是斜边。c不要一看到直角三角形两边长为 3 和 4，就认为另一边一定是 5；5 “HL”是仅适用于判定直角三角形全等特殊方法 ，只有在已知两个三角形均是直角三角形前提下，此方法才有效，当然，以前学过“SSS” 、“SAS”、 “ASA”、 “AAS”等判定一般三角形全等方法对于直角三角形全等判定同样有效。切记! 两边及其中一边对角对应相等两个三角形不一
11、定全等，也就是边边角，没有边边角定理。因此在证明全等时千万不要这样做。本章解题时用到主要数学思想方法：FE OB CA12DEFB CA 分类讨论思想（特别是在语言模糊等腰三角形中） （留意后面例题） 方程思想：主要用在折叠之后产生直角三角形时，运用勾股定理列方程；还有就是在等腰三角形中求角度，求边长（留意后面例题） 等面积法四、典型例题（一） 、角平分线+平行线1、在ABC 中，三内角互不相等，BO 平分ABC ，CO 平分ACB。过 O 点作 EF, 使EFBC 。 （1）图中有几个等腰三角形？（2）猜测线段 BE、CF、EF 有什么数量关系，并说明理由。 2、在ABC 中，ABC=ACB
12、，BO 平分ABC ， CO 平分ACB,过 O 点作EF，使 EFBC，且 EBO=30 。若 BE=5，ABC 周长为_。（二） 、角平分线+垂线3、如图：AB=AC，1=2 ，AECD 于 F 交 BC 于点 E，求证：AB=CE。D EAB CEDCA BFF EAB CDM NDBA C E4、如图，ABC 是等腰直角三角形，其中A=90，BD 平分ABC 交 AC 于点D，CEBD 交 BD 延长线于点 E，求证：BD=2CE (三)、直角三角形一个锐角平分线+斜边上高线5、如图，在ABC 中，ACB=90，AE 平分CAB，CDAB 于 D，它们交于点F，CFE 是等腰三角形吗？
13、试说明理由.（四） 、等边三角形几个基本图形：6、等边三角形 ABC 中，BD=CE，连接 AD、BE 交于点F。AFE=_。7、如图点 A、C、E 在同一直线上，ABC 和CDE 都是等边三角形，M、N 分别是 AD、BE 中点。说明： CMN 是等边三角形。A BCD EMN图1A BCDEMN图 2A BCDMN 图38、已知等边ABC 和点 P，设点 P 到ABC 三边 AB、AC、BC距离分别是 h1，h 2，h 3，ABC 高为 h，若点 P 在一边 BC 上（图 1） ，此时 h3=0，可得结论 h1+h2+h3=h，请你探索以下问题：当点 P 在ABC 内（图 2）和点 P 在
14、ABC 外（图 3）这两种情况时，h 1、h 2、h 3与 h之间有怎样关系，请写出你猜想，并简要说明理由（五） 、等腰直角三角形几个基本应用9、在ABC 中，ACB=90，AC=BC，直线 MN 经过点 C，且 ADMN 于D，BEM 于 E。(1)当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 位置时，说明ADC CEB 理由；(2)当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 位置时，说明 DE=ADBE 理由；(3)当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3位置时，试问 DE、 AD、BE 有怎样等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由.CMA BED10、如图，在直角ABC 中，C=90，AC=BC，D，E
15、 分别在 BC 和 AC 上，且BD=CE，M 是 AB 中点。求证：MDE 是等腰直角三角形。（六） 、勾股定理、勾股定理逆定理、勾股定理与方程11、观察下面表格中所给出三个数 a，b，c，其中 a，b ，c 为正整数，且 abc（1）：试找出他们共同点，并证明你结论（2）：当 a=21 时，求 b，c 值,3,4,5 3 +4 =5225,12,13 5 +12 =137,24,25 7 +24 =25229,40,41 9 +40 =41 21,b,c 21 +b =c22AB CD12、如图，P 是等边三角形 ABC 内一点，连结 PA、PB、PC，以 BP 为边作PBQ=60，且 B
16、Q=BP，连结 CQ。（1）观察并猜想 AP 与 CQ 之间大小关系，并证明你结论（2）若 PA：PB：PC=3：4：5，连结 PQ，试判断PQC 形状，并说明理由13、等腰三角形底边上高为 8，周长为 32，求这个三角形面积分析：对于没有图形大题（指需要过程题目） ，最好自己画图，与人方便，与己方便。解：设这个等腰三角形为 ABC，高为 AD，设 BD 为 x，则 AB 为（16-x） ， 由勾股定理得：x 2+82=(16-x)2即 x2+64=256-32x+x2 x=6 SABC=BCAD/2=2 6 8/2=4814、矩形纸片 ABCD 边 AB=10cm,BC=6cm,E 为 BC
17、 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点 B 恰好落在 DC 边上点 G 处，求 BE 长。（七） 、需要分类讨论（主要是由语言模糊造成要讨论）EG CDBA有一个角等于 50，另一个角等于_三角形是等腰三角形。有一个直角三角形两条直角边为 3，4，则第三条边长为_ 如图，等腰三角形 ABC 中，AB=AC，一腰上中线 BD将这个等腰三角形周长分成 15和 6 两部分，求这个三角形腰长及底边长。（八）作图题如图，求作一点 P，使 PC=PD,并且使点 P 到AOB 两边距离相等，并说明你理由作图题基本要求：结论不能丢。格式：什么什么即为所求。【考点精练】一、基础训练1如图 1，在ABC 中，AB=
18、AC，A=50，BD 为ABC 平分线，则BDC=_（1） （2） （3）2如图 2，是由 9 个等边三角形拼成六边形，若已知中间小等边三角形边长是 a，则六边形周长是_3如图 3，一个顶角为 40等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则1+2=_度MDB CA4如图 4，在等腰直角ABC 中，B=90，将ABC 绕顶点 A 逆时针方向旋转 60后得到ABC，则BAC等于_（4） （5） 5如图 5，沿 AC 方向开山修渠，为了加快施工进度，要在小山另一边同时施工从 AC上一点 B 取ABD=135，BD=520 米，D=45，如果要使 A、C、E 成一直线，那么开挖点 E 离 D 距离
19、约为_米（精确到 1 米） 6等腰ABC 底边 BC=8cm，腰长 AB=5cm，一动点 P 在底边上从点 B 开始向点 C 以0.25cm/秒速度运动，当点 P 运动到 PA 与腰垂直位置时，点 P运动时间应为_7如图 7，在ABC 中，AB=AC，BAD=20，且 AE=AD，则CDE=_（7） （8） （9）8如图 8，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，A=44，CDAB 于 D，则DCB 等于（ ）A44 B68 C46 D229如图 9，要在离地面 5m 处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成 60角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存 L1=5.2m，L 2=6.2m，
20、L 3=7.8m，L 4=10m 四种备用拉线材料中，拉线 AC 最好选用（ ）AL 1 BL 2 C L3 DL 410如图 10，在ABC 中，AB=AC，D 为 AC 边上一点，且 BD=BC=AD则A 等于（ ）A30 B36 C45 D72（10） （11）11同学们都玩过跷跷板游戏如图 11 所示，是一跷跷板示意图，立柱 OC 与地面垂直，OA=OB当跷跷板一头 A 着地时，OAC=25，则当跷跷板另一头 B 着地时，AOA等于（ ）A25 B50 C60 D13012、直角三角形两条直角边长为 a,b,斜边上高为 h,则下列各式中总能成立是 ( ) A. ab=h2 B. a 2
21、+b =2h 2 C. + = D. + = a1bh21ab2h如图所示，在ABC 中，AB=6 ，AC=9，ADBC 于点 D， M 为 AD 上任一点，则 MC2-MB2等于 二、能力提升13如图，已知等腰三角形一腰上中线把三角形周长分为 12cm 和 15cm 两部分，求它底边长14 （计算型说理题）已知如图ABC 是等边三角形，BD 是 AC 边上高，延长 BC 到 E 使CE=CD试判断 DB 与 DE 之间大小关系，并说明理由。15如图，ABC 中，D、E 分别是 AC、AB 上点，BD 与 CE 交于点 O，给出下列三个条件：EBO=DCO；BEO=CDO；BE=CD（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定ABC 是等腰三角形（用序号写出所有情形） ；（2）选择第（1）小题中一种情况，证明ABC 是等腰三角形三、应用与探究16如图，ABC 是等边三角形，点 D、E、F 分别是线段 AB、BC、CA 上点（1）若 AD=BE=CF，问DEF 是等边三角形吗？试证明你结论（2）若DEF 是等边三角形，问 AD=BE=CF 成立吗？试证明你结论
