1、六年级奥数讲义 杰睿学校 数学 VIP 教师 冯宝石 电话：13121194356第 1 页 共 21 页第五讲 几何立体部分教学目标：对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查知识点拨：一、长方体和正方体如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱c baH GFED CBA在六个面中，两个对面是全等的，即三 组对面两两全等(叠放在一起能够完全重合的两个 图形称为全等图形)长方体的表面积和体积的计算公式是：长方体的表面积： ；2(Sabc长
2、方 体长方体的体积： V长 方 体正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形如果它的棱长为 ，那么： ， 26正 方 体 3Va正 方 体二、圆柱与圆锥立体图形 表面积 体积圆柱hr 2Srh圆 柱 侧 面 积 个 底 面 积 2Vrh圆 柱圆锥hr 2360nlr圆 锥 侧 面 积 底 面 积注： 是母线，即从 顶点到底面圆上的线段长l 213r圆 锥 体例题精讲：【例 1】 如右图，在一个棱长为 10 的立方体上截取一个长为 8，宽为3，高为 2 的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？ 我们从三个方向(前后、左右、上下)考虑，新几何体的表面积仍为原立方体的表面积：
3、10 10 6 600【例 2】 右图是一个边长为 4 厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长 l 厘米的正方体，做成一种玩具它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）【解析】 原正方体的表面积是 4 4 6 96(平方厘米) 每一个面被挖去一个边长是 1 厘米的正方形，同时又增加了 5 个边长是 1 厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分总的来看，每一个面都增加了 4 个边长是 1 厘米的正方形从而，它的表面积是：96 4 6 120 平方厘米【巩固】在一个棱长为 50 厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为 5 厘米的小正方体，
4、问剩下的立体图形的表面积六年级奥数讲义 杰睿学校 数学 VIP 教师 冯宝石 电话：13121194356第 2 页 共 21 页是多少？ 对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后 3 个方向考虑 变化前后的表面积不变：50 50 6 15000(平方厘米)【例 3】 下图是一个棱长为 2 厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为 1 厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为 厘米的正方形小洞，12第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为 厘米，那么最后得4到的立体图形的表面积是多少平方厘米？【解析】 我们仍然从 3 个方向考虑平行于上下表面的各面面积之和
5、：2 2 2 8(平方厘米)；左右方向、前后方向：2 2 4 16(平方厘米)， 1 1 4 4(平方厘米 )， 4 1(平方厘米)，214 (平方厘米)， 这个立体 图形的表面积为： 4 186(平方厘米).29【例 4】 一个正方体木块，棱长是 1 米，沿着水平方向将它锯成 2 片，每片又锯成 3 长条，每条又锯成 4 小块，共得到大大小小的长方体 24 块，那么这 24 块长方体的表面积之和是多少？ 【解析】 锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数 2 增加的面数原正方体表面积：1 1 6 6(平方米)，一共 锯了(2 1) (3 1) (4 1) 6 次，6
6、1 1 2 6 18(平方米)【巩固】(2008 年走美六年级初赛)一个表面积为 的长方体如图切成 27 个小长方体，这 27 个小长方体表256cm面积的和是 2cm【解析】 每一刀增加两个切面，增加的表面 积等于与切面平行的两个表面积，所以每个方向切两刀后，表面 积增加到原来的 3 倍，即表面 积的和 为 256318(cm)【例 5】 如图，25 块边长为 1 的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？ 25【解析】 当小积木互相重合的面最多时表面积最小.设想 27 块边长为 1 的正方形积木，当拼成一个 的正方体 时，表面 积最小，现在要去掉 2 块小积3木，只有在两个角上各去掉一
7、块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增加，该几六年级奥数讲义 杰睿学校 数学 VIP 教师 冯宝石 电话：13121194356第 3 页 共 21 页何体表面积为 54.【例 6】 要把 12 件同样的长 a、宽 b、高 h 的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该如何打包？当 b 2h 时，如何打包？当 b 2h 时，如何打包？当 b 2h 时，如何打包？【解析】 图 2 和图 3 正面的面积相同， 侧面面积 正面周长 长方体长，所以正面的周长愈大表面积越大，图 2的正面周长是 8h 6b，图 3 的周 长是 12h 4b.两者的周长 之差为 2（b 2h
8、）.当 b 2h 时，图 2 和图 3 周长 相等，可随意打包；当 b 2h 时，按图 2 打包；当 b 2h 时，按图 3 打包. 321h ba【巩固】要把 6 件同样的长 17、宽 7、高 3 的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是多少？【解析】 考虑所有的包装方法，因为 6 1 2 3，所以一共有两种拼接方式：第一种按长宽高 1 1 6 拼接，重叠面有三种 选择，共 3 种包装方法 .第二种按长宽高 1 2 3 拼接，有 3 个长方体并列方向的重叠面有三种 选择，有 2 个长方体并列方向的重叠面剩下 2 种选择，一共有 6 种包装方法.其中表面积最小的包装方法如图所示，表面 积
9、为 1034.【例 7】 如图，在一个棱长为 5 分米的正方体上放一个棱长为 4 分米的小正方体，求这个立体图形的表面积【解析】 我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩 ”的， “压缩”后我们发现：小正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面.这样这个立体 图形的表面积就可以分成这样两部分：上下方向：大正方体的两个底面；四周方向(左右、前后方向) ：小正方体的四个侧面，大正方体的四个 侧面上下方向： (平方分米 )；侧面： (平方分米)， (平方分米)这个520541046立体图形的表面积为： (平方分米)1642【例 8】 (2008 年“希望杯”五年级第 2
10、试)如图，棱长分别为 厘米、 厘米、 厘米、 厘米的四个正方体235紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是_平方厘米六年级奥数讲义 杰睿学校 数学 VIP 教师 冯宝石 电话：13121194356第 4 页 共 21 页【解析】 (法 1)四个正方体的表面积之和为： (平方厘米)，22(135)63924重叠部分的面积为： (平方厘米)，22 213()1(19140所以，所得到的多面体的表面 积为： (平方厘米 )40(法 2)三视图法从前后面观 察到的面积为 平方厘米,从左右两个面观察到的面积为28平方厘米，从上下能 观察到的面积为 平方厘米 534 5表面积为 (平方厘米)82519【
11、例 9】 把 19 个棱长为 1 厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形的表面积【解析】 从上下、左右、前后观察到的的平面图形如下面三图表示因此，这个立体图形的表面积为：2 个上面个左面 个前面上表面的面积为：9 平方厘米，左表面的面积为：8 平方厘米，前表面的面积为：10平方厘米因此，这个立体图 形的总表面积为： (平方厘米)(910)254上下面 左右面 前后面【巩固】用棱长是 1 厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?【解析】 该图形的上、左、前三个方向的表面分 别由 9、7、7 块正方形组成该图形的表面积等于 个小正方形
12、的面积，所以该图形表面积为 46 平方厘米(97)246【例 10】 有 30 个边长为 1 米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色求被涂成红色的表面积六年级奥数讲义 杰睿学校 数学 VIP 教师 冯宝石 电话：13121194356第 5 页 共 21 页【解析】 (平方米)4(1234)56【例 11】 棱长是 厘米（ 为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是 1 厘米的小正方m体至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为 ，此时 的最小值3:2m是多少?【解析】 切割成棱长是 1 厘米的小正方体共有 个，由于其中至少有一面是红色的
13、小正方体与没有红色面的个3m数之比为 ，而 ，所以小正方体的总数是 25 的倍数，即 是 25 的倍数，那么 是 5 的3:225 3m倍数当 时，要使得至少有一面的小正方体有 65 个，可以将原正方体的正面、上面和下面涂色，此时至5m少一面涂红色的小正方体有 个，表面没有红色的小正方体有465个，个数比恰好是 ，符合 题意.因此， 的最小值是 5126013:【例 12】 有 64 个边长为 1 厘米的同样大小的小正方体，其中 34 个为白色的，30 个为黑色的现将它们拼成一个 的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？4【解析】 要使大正方体的表面上白色部分最多，相当于
14、要使大正方体表面上黑色部分最少，那么就要使得黑色小正方体尽量不露出来在整个大正方体中，没有露在表面的小正方体有 (个)，用黑色的；在面上但不在边上的小正方3(428体有 (个)，其中 个用黑色2(4)643082这样，在表面的 个 的正方形中，有 22 个是黑色， (个)是白色，所以在大正方96196274体的表面上白色部分最多可以是 74 平方厘米【例 13】 三个完全一样的长方体，棱长总和是 288 厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面涂色后把三个长方体都切成棱长为 1 厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体
15、最少有多少个？【解析】 每个长方体的棱长和是 厘米，所以，每个长方体长、宽、高的和是 厘米因 为，每28396 9642个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，所以，每个长方体的长、宽、高分别是 9厘米、8 厘米、 7 厘米要求切割后只有一个面涂色的小正方体最少有多少个，则 需每一个长方体按题意涂色时， 应让切割后只有一个面涂色的小正方体最少所以，涂一面的长方体应涂一个 面，有 个；8756涂两面的长方体，若两面不相 邻， 应涂两个 面，有 个；若两面相邻，应涂一个 面和872187一个 面，此时有 个，所以涂两面的最少有 105 个；977892105涂三面的长方体，若三面不两
16、两相 邻， 应涂两个 面、一个 面，有 个；若三98941面两两相邻，有 个，所以涂三面的最少有 146 个1146那么切割后只有一个面涂色的小正方体最少有 个60537【例 14】 把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其中恰好有两个面涂上红色的小正方体恰好是 100 块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？【解析】 设小正方体的棱长为 1，考 虑两种不同的情况，一种是长方体的长、宽、高中有一个是 1 的情况，另一种是长方体的长、 宽、高都大于 1 的情况当长方体的长、宽、高中有一个是 1 时，分割后只有一层小正方体，其中有两个面涂上 红色的小正方体是
17、去掉最外层一圈的小正方体后剩下的那些因为有两个面涂上 红色的小正方体恰好是 100 块， 设，那么分成的小正方体个数 为10ab，为了使小正方体的个数尽量少，应使 最小，21242104abab ab六年级奥数讲义 杰睿学校 数学 VIP 教师 冯宝石 电话：13121194356第 6 页 共 21 页而两数之积一定，差越小积越小，所以当 时它们 的和最小，此时共有10ab个小正方体10214当长方体的长、宽、高都大于 1 时，有两个面涂上红色的小正方体是去掉 8 个顶点所在的小正方体后 12条棱上剩余的小正方体，因为 有两个面涂上红色的小正方体恰好是 100 块，所以 长方体的长、宽、高之
18、和是 由于三个数的和一定，差越大积越小，为了使小正方体的个数尽量少，应该令3，此时共有 个小正方体31272708因为 ，所以至少要把这个大长方体分割成 108 个小正方体084【例 15】 把正方体的六个表面都划分成 9 个相等的正方形用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？【解析】 一个面最多有 5 个方格可染成红色（见左下图）因为染有 5 个红色方格的面不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成 5 个红色方格其余四个面中，每个面的四个角上的方格不能再染成红色，至多能染 4 个红色方格（见上中图）因为染有 4 个红色方
19、格的面也不能相邻，可以相 对，所以至多有两个面可以染成 4 个红色方格最后剩下两个相对的面，每个面最多可以染 2 个红色方格（见右上图）所以，红色方格最多有（个）522（另解）事实上上述的解法并不严密， “如果最初的假设并没有两个相对的有 5 个红色方格的面，是否其他的四个面上可以出现更多的红色方格呢？”这种解法回避了这个问题，如果我们从约束染色方格数的本质原因入手，可严格说明 是红色方格数的最大值对于同一个平面上的格网，如果按照国际象棋棋盘的方式染色，那么至少有一半的格子可以染成红色但是现在需要染色的是一个正方体的表面，因此在分析问题时应该兼顾棱、角等面与面相交的地方： 如图，每个角上三个方
20、向的 3 个方格必须染成不同的三种 颜色，所以 8 个角上最多只能有 8 个方格染成红色如图，阴影部分是首尾相接由 个方格组成的环， 这 9 个方格中只能有 个方格能染成同一种颜色( 如9 4果有 5 个方格染同一种颜色，必然出 现相邻，可以用抽 屉原理反 证之：先去掉一个白格，剩下的然后两两相邻的分成四个抽屉，必然有一个抽 屉中有两个红色方格 )，像这样的环，在正方体表面最多能找到不重叠的两道（关于正方体中心对称的两道），涉及的 个方格中最多能有 个可染成红色188剩下 个方格，分布在 条棱上，这 个格子中只能有 个能染成红色638921626综上所述，能被染成红色的方格最多能有 个格子能染
21、成 红色，第一种解法中已 经给出 个 2红方格的染色方法，所以 个格子染成红色是最多的情况【例 16】 一个长、宽、高分别为 厘米、 厘米、 厘米的长方形.现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，512然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正六年级奥数讲义 杰睿学校 数学 VIP 教师 冯宝石 电话：13121194356第 7 页 共 21 页方体，剩下的体积是多少立方厘米？【解析】 本题的关键是确定三次切下的正方体的棱长.由于 ，为了方便起见.我们先考虑长、宽、21:57:4高分别为 厘米、 厘米、 厘米的长方体.754因为 ，容易知道第一次切
22、下的正方体棱长应该是 厘米，第二次切 时，切下棱长为 厘米的正方4 3体符合要求.第三次切时，切下棱 长为 厘米的正方体符合要求2那么对于原长方体来说，三次切下的正方体的棱 长分别是 12 厘米、 9 厘米和 6 厘米，所以剩下的体积应是： （立方厘米）.3321529610712129996663121263912【例 17】 有黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的形状，已知相邻(有公共面)的积木颜色不同，标的为黑色，图中共有黑色积木多少块？AA【解析】 分层来看，如下 图( 切面平行于 纸面)共有黑色积 木 17 块.【巩固】这个图形，是否能够由 的长方体搭构而成？12【解析】 每
23、一个 的长方体无论怎么放，都包含了一个黑色正方体和一个白色正方体，而黑色积木有 17 块，12白色积木有 15 块，所以 该图形不能 够由 的长方体搭构而成 .12【巩固】有许多相同的立方体，每个立方体的六个面上都写着同一个数字(不同的立方体可以写相同的数字)先将写着 2 的立方体与写着 1 的立方体的三个面相邻，再将写着 3 的立方体写着 2 的立方体相邻(见左下图)依这样构成右下图所示的立方体，它的六个面上的所有数字之和是多少?六年级奥数讲义 杰睿学校 数学 VIP 教师 冯宝石 电话：13121194356第 8 页 共 21 页332233 2 3 322323 11 1 111【解析
24、】 第一层如下图，第二 层、第三层依次比上面一层每格都多 1(见下图)7 6 54345656 5 432345434 32 12345上面的 9 个数之和是 27，由对 称性知，上面、前面、右面的所有数之和都是 27同理，下面的 9 个数之和是 45，下面、左面、后面的所有数之和都是 45所以六个面上所有数之和是 (2745)3216【例 18】 (05 年武汉明心杯数学挑战赛)如图所示，一个 的立方体，在一个方向上开有 的孔，在5另一个方向上开有 的孔，在第三个方向上开有 的孔，剩余部分的体积是多少？表面积215315为多少？【解析】 求体积：开了 的孔，挖去 ，开了 的孔，3153151
25、5挖去 ；开了 的孔，42挖去 ，2()6剩余部分的体积是： (46)0(另解)将整个图形切片，如果切面平行于 纸面，那么五个切片分别如图：得到总体积为： 2410求表面积：表面积可以看成外部和内部两部分外部的表面积为 ，内部的面积可以分为前561238后、左右、上下三个方向，面积分别为 、210 、 ，所以 总的表面积为215313154 80420(另解)运用类似于三视图的方法， 记录每一方向上的不同位置上的裸露正方形个数：前后方向： 上下方向： 左右方向：34六年级奥数讲义 杰睿学校 数学 VIP 教师 冯宝石 电话：13121194356第 9 页 共 21 页1 1 2 2 11 1
26、 2 12 2 2 21 1 2 112211221 1 2 1 11111 2221111 1121121 1 2 1 12 2 2 22 2 22 2 2 211211 22总表面积为 2304【总结】 “切片法” ：全面打洞(例如本题，五 层一样) ，挖 块成线( 例如本题，在前一 层的基础上，一条线一条线地挖)，这里体现的思想方法是：化整为零，有序思考！【巩固】 （2008 年香港保良局第 12 届小学数学世界邀请赛）如 图 ， 原 来 的 大 正 方 体 是 由 个 小 正 方 体 所 构 成125的 其 中 有 些 小 正 方 体 已 经 被 挖 除 ， 图 中 涂 黑 色 的 部
27、 分 就 是 贯 穿 整 个 大 正 方 体 的 挖 除 部 分 请 问 剩 下 的 部分 共 有 多 少 个 小 正 方 体 ？8【解析】 对于这一类从立体图形中间挖掉一部分后再求体积（或小正方体数目）的题目一般可以采用“切片法”来做，所谓“切片法”，就是把整个立体图形切成一片一片的（或一 层一层的），然后分 别计算每一片或每一层的体积或小正方体数目，最后再把它们相加采用切片法，俯视第一层到第五 层的图形依次如下，其中黑色部分表示挖除掉的部分12345从图中可以看出，第 1、2、3、4、5 层剩下的小正方体分别有 22 个、 11 个、11 个、6 个、22 个，所以 总共还剩下 （个）小正
28、方体267【巩固】一个由 125 个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个小正方体，把大正方体中相对的两面打通，右图就是抽空的状态右图中剩下的小正方体有多少个？【解析】 解法一：( 用“容斥原理”来解)由正面图形抽出的小正方体有 个，由侧面图形抽出的小正方体有52个，由底面 图形抽出的小正方体有 个，正面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有52420个，正面图形和底面图形重合抽出的小正方体有 个，底面 图形和侧面18 137图形重合抽出的小正方体有 个，三个面的图形共同重合抽出的小正方体有 4 个根127据容斥原理， ，所以共抽出了 52 个小正方体 ，所以右 图中剩5075
29、253下的小正方体有 73 个注意这里的三者共同抽出的小正方体是 4 个，必 须知道是哪 4 块， 这是最让人头疼的事但你可以先构造空的两个方向上共同部分的模型，再由第三个方向来穿过“花墙”这里，化虚为实的思想方法很重要解法二：(用“切片法”来解)可以从上到下切五层，得：从上到下五层，如图：六年级奥数讲义 杰睿学校 数学 VIP 教师 冯宝石 电话：13121194356第 10 页 共 21 页或者，从右到左五片，如图：请注意这里的挖空的技巧是：先认一种方向比如：从上到下的每一层，首先都 应该有第一层的空四 块的情况，即 如果挖第二层：第(1 )步，把中间这些位置的四块挖走如图：第(2)步，
30、把从右向左的两块成线地挖走( 请注意挖通的效果就是成线挖去)，如图：第(3)步，把从前向后的一块(请注意跟第二层有关的只是一 块！)挖成线！如图：【例 19】 （2009 年迎春杯高年级组复赛）右图中的是同样的小等边三角形，也是等边三角形且边长为的 2 倍，是同样的等腰直角三角形，是正方形那么，以为平面展开图的立体图形的体积是以为平面展开图的立体图形体积的 倍 【解析】 本题中的两个图都是立体图形的平面展开图，将它们还原成立体图形，可得到如下两图：六年级奥数讲义 杰睿学校 数学 VIP 教师 冯宝石 电话：13121194356第 11 页 共 21 页其中左图是以为平面展开图的立体图形，是一
31、个四个面都是正三角形的正四面体，右图以为平面展开图的立体图形，是一个不 规则图 形，底面是 ，四个侧面是，两个斜面是对于这两个立体图形的体积，可以采用套模法来求，也就是对于这种我们不熟悉的立体图形，用一些我们熟悉的基本立体图形来套，看看它 们与基本立体图形相比，缺少了哪些部分由于左图四个面都是正三角形，右 图底面是正方形， 侧面是等腰直角三角形，想到都用正方体来套对于左图来说，相当于由一个正方体切去 4 个角后得到(如下左 图，切去 、 、 、1ABD1C1AD)；而对于右图来说，相当于由一个正方体切去 2 个角后得到 (如下右图，切去 、 )1BAC BD1C1B1A1DCBAAB CDA1
32、B1 C1D1假设左图中的立方体的棱长为 ，右 图中的立方体的棱长为 ，则以为平面展开图的立体图形ab的体积为： ，3234a以为平面展开图的立体图形的体积为 32312b由于右图中的立方体的棱长即是题中正方形的边长，而左图中的立方体的每一个面的对角线恰好是正三角形的边长，通过将等腰直角三角形 分成 4 个相同的小等腰直角三角形可以得到右 图中的立方体的棱长是左图中的立方体的棱长的 2 倍，即 ba那么以为平面展开图的立体图形的体积与以为平面展开图的立体图形的体积的比为： ，也就是 说以 为平面展开图的立体图形的体积33312:1:6aba是以为平面展开图的立体图形体积的 16 倍【例 20】
33、 图和图是以正方形和等边三角形为面的立体图形的展开图，图中所有的边长都相同请问：图能围起来的立体图形的体积是图能围起来的立体图形的体积的几倍？图 图六年级奥数讲义 杰睿学校 数学 VIP 教师 冯宝石 电话：13121194356第 12 页 共 21 页【解析】 首先，我 们把展开图 折成立体图形，见下列示意图：图 图对于这类题目，一般采用“ 套模法”，即用一个我 们熟悉的基本立体图形来套， 这样做基于两点考虑，一是如果有类似的模型，可以直接 应用其计算公式；二是如果可以 补上一块或者放到某个模型里面，那么可以从这个模型入手我们把图中的立体图形切成两半，再 转一转，正好放 进去！我 们看到图
34、与图的图形位置的微妙关系：136060图 图由图可见，图这个立体的体 积与图这个被切去了 8 个角后的立体图形的体积相等假设立方体的 1 条边的长度是 1，那么一个角的体 积是 ，所以切掉 8 个角后的体积112348是 5846再看图中的正四面体，这个正四面体的棱 长与图中的每一条 实线线段相等，所以 应该用边长为 的12立方体来套如果把图的立体 图形放入边长为 的立方体里的 话是可以放进去的1212这是切去了四个角后的图形，从上面的分析可知一个角的体 积为 ，所以 图的体积是：148，那么前者的体 积是后者的 倍1142825206【例 21】 如图，用高都是 米，底面半径分别为 米、 米
35、和 米的 个圆柱组成一个物体问这个物体的13表面积是多少平方米？( 取 )3.4六年级奥数讲义 杰睿学校 数学 VIP 教师 冯宝石 电话：13121194356第 13 页 共 21 页1110.511.5【解析】 从上面看到图形是右上图，所以上下底面 积和为 (立方米)，侧面积为23.451.3(立方米)，所以该物体的表面 积是 (立方米)23.14(0.51.)8.4 48.32.97【例 22】 有一个圆柱体的零件，高 厘米，底面直径是 厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径06是 厘米，孔深 厘米(见右图)如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？【解
36、析】 涂漆的面积等于大圆柱表面积与小圆柱侧面积之和，为(平方厘米)26610()45601829307.2【例 23】 (第四届希望杯 2 试试题)圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为 10 厘米和 12 厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是_立方厘米(结果用 表示)【解析】 当圆柱的高是 12 厘米时体积为 (立方厘米)2103()当圆柱的高是 12 厘米时体积为 (立方厘米)所以圆柱体的体积为 立方厘米或6 30立方厘米360【例 24】 如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头处忽略不计)，求这个油桶的容积( )3.1416.56m【解析】 圆的直径为： (
37、米)，而油桶的高为 2 个直径长，即为： ，故体积为16.53.14 428(m)立方米10.48【巩固】如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成 1 个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为 10 厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？( )3.六年级奥数讲义 杰睿学校 数学 VIP 教师 冯宝石 电话：13121194356第 14 页 共 21 页10cm【解析】 做成的圆柱体的侧面是由中间的长方形卷成的，可见这个长方形的长与旁边的圆的周长相等，则剪下的长方形的长，即 圆柱体底面圆 的周长为： (厘米 )，2106.8原来的长方形的面积为： (平方厘米)1046.
38、85（ ） （ ）【例 25】 把一个高是 8 厘米的圆柱体，沿水平方向锯去 2 厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少 平方厘米原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？12.56【解析】 沿水平方向锯去 2 厘米后，剩下的 圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少的部分为减掉的 2 厘米圆柱体的侧面积，所以原来 圆 柱体的底面周长为 厘米，底面半径 为 厘米，1.56.286.8314所以原来的圆柱体的体积是 (立方厘米) 2182【例 26】 一个圆柱体的体积是 立方厘米，底面半径是 2 厘米将它的底面平均分成若干个扇形后，再截50.4开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少
39、平方厘米？ ( ) 3.14【解析】 从图中可以看出，拼成的长方体的底面积与原来圆柱体的底面积相同，长方体的前后两个侧面面积与原来圆柱体的侧面面积相等，所以增加的表面积就是长方体左右两个 侧面的面积(法 1)这两个侧面都是长方形，且 长等于原来圆柱体的高，宽等于圆柱体底面半径可知，圆柱体的高为 (厘米)，所以增加的表面积为 (平方厘米)；250.243.142416(法 2)根据长方体的体积公式推导增加的两个面是 长方体的 侧面， 侧面面积与长方体的长的乘积就是长方体的体积由于长方体的体 积与圆柱体的体积相等， 为 立方厘米，而拼成的长方体的长等于圆50.柱体底面周长的一半，为 厘米，所以 侧
40、面长 方形的面积为 平方厘米，所以.6.8.8增加的表面积为 平方厘米821【例 27】 (2008 年”希望杯”五年级第 2 试)一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图)，由图中的数据可推知瓶子的容积是_ 立方厘米( 取 )3.14 8(单 位 ： 厘 米 )4106【解析】 由于瓶子倒立过来后其中水的体积不变，所以空气部分的体积也不变，从图中可以看出，瓶中的水构成高为 厘米的圆柱，空气部分构成高为 厘米的圆柱，瓶子的容积为这两部分之和，所以瓶子的61082容积为： (立方厘米)24()6)3.42.【巩固】一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图已知它的容积为 立方厘米当瓶子正放2
41、6.4时，瓶内的酒精的液面高为 6 厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为 2 厘米问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？六年级奥数讲义 杰睿学校 数学 VIP 教师 冯宝石 电话：13121194356第 15 页 共 21 页26【解析】 由题意，液体的体 积 是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，因此可知液体体积是空余部分体积的倍所以酒精的体 积为 立方厘米，而 立方厘米 毫升62332.42.1762.1762.17升0.17【巩固】一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为 平方厘米，(如下图所示)，请你根据图中标明的0数据，计算瓶子的容积是 7cm4cm5cm【解析】 由已知条
42、件知，第二个图上部空白部分的高为 ，从而水与空着的部分的比为 ，由图52c4:211 知水的体积为 ，所以 总 的容积为 立方厘米1040160【例 28】 一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为 5 厘米，深 20 厘米，水深 15 厘米今将一个底面半径为 2厘米，高为 17 厘米的铁圆柱垂直放入容器中求这时容器的水深是多少厘米？【解析】 若圆柱体能完全浸入水中，则水深与容器底面面积的乘积应等于原有水的体积与圆柱体在水中体积之和，因而水深为： (厘米 )225117.2它比圆柱体的高度要大，可见圆 柱体可以完全浸入水中于是所求的水深便是 厘米.【例 29】 有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依
43、次是 10 厘米、20 厘米，杯中盛有适量的水甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了 2 厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？【解析】 两个圆柱直径的比是 ，所以底面面 积的比是 铁块在两个杯中排开的水的体积相同，所以乙杯1:21:4中水升高的高度应当是甲杯中下降的高度的 ，即 (厘米)0.5【例 30】 如图，甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的 ，乙容器中水的高度是锥高的 ，比较甲、1323乙两容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的的几倍？【解析】 设圆锥容器的底面半径为 ，高 为 ，则甲、乙容器中水面半径均为 ，则有 ，
44、rh23r213Vrh容 器六年级奥数讲义 杰睿学校 数学 VIP 教师 冯宝石 电话：13121194356第 16 页 共 21 页， ，221831Vrhr乙 水 （ ） 222119338Vrhrhr甲 水 （ ），即甲容器中的水多，甲容器中的水是乙容器中水的 倍2981r甲 水乙 水【 例 31】 (2008 年 仁 华 考 题 )如 图 ， 有 一 卷 紧 紧 缠 绕 在 一 起 的 塑 料 薄 膜 ， 薄 膜 的 直 径 为 20 厘 米 ， 中 间 有 一 直 径 为8 厘 米 的 卷 轴 ， 已 知 薄 膜 的 厚 度 为 厘 米 ， 则 薄 膜 展 开 后 的 面 积 是
45、平 方 米 0.420cm 8cm100cm【解析】 缠绕在一起时塑料薄膜的体积为： (立方厘米)，薄膜展开后 为一个长22840方体，体积保持不变，而厚度为 厘米，所以薄膜展开后的面积为0.4平方厘米 平方米840.6594659另解：也可以先求出展开后薄膜的长度，再求其面 积由于展开前后薄膜的侧面的面积不变，展开前 为 (平方厘米)，展开后 为一个长22084方形，宽为 厘米，所以长为 厘米，所以展开后薄膜的面积为 平0.4840.6594 659410方厘米 平方米659【巩固】图为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为 20 厘米，中间有一直径为 6 厘米的卷轴已知纸的厚度为 .4毫米，问：这
46、卷纸展开后大约有多长？【解析】 将这卷纸展开后，它的 侧面可以近似的看成一个长方形，它的长度就等于面积除以宽这里的宽就是纸的厚度，而面积就是一个圆环 的面积因此，纸的长度 ：(厘米)223.14093.140. 7143.5纸 卷 侧 面 积纸 的 厚 度所以，这卷纸展开后大约 米7.【例 32】 如图， 是直角三角形， 、 的长分别是 3 和 4将 绕 旋转一周，求 扫出ABCABCABCABC的立体图形的体积( )3.14CB A 43六年级奥数讲义 杰睿学校 数学 VIP 教师 冯宝石 电话：13121194356第 17 页 共 21 页【解析】 如右上图所示， 扫出的立体图形是一个圆锥，这个圆锥的底面半径为 3，高为 4，ABC体积为： 2134137.68【例 33】 已知直角三角形的三条边长分别为 ， ， ，分别以这三边轴，旋转一周，所形成的立体cm45c图形中，体积最小的是多少立方厘米？( 取 )3.1【解析】 以 的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是 ，高是 的圆锥体，体积为3cm3cm231.450.4(c)以 的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是 ，高是 的圆锥体，体 积为c4233.7.68()以 的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是斜边上的高 的两个圆锥，高之和是5cm352.cm的两个圆的组合体，体积为
