1、八 周期性问题(A)年级 班 姓名 得分 一、填空题1. 某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期_.2. 1989 年 12 月 5 日是星期二,那么再过十年的 12 月 5 日是星期_.3. 按下面摆法摆 80 个三角形,有_个白色的.4节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯.也就是说,从第一盏白灯起,每一盏白灯后面都紧接着有 3 盏彩灯,小明想第 73 盏灯是_灯.5. 时针现在表示的时间是 14 时正,那么分针旋转 1991 周后,时针表示的时间是_.6. 把自然数 1,2,3,4,5如表依次排列成 5 列，那么数“1992”在_列.第一列 第
2、二列 第三列 第四列 第五列1 2 3 4 59 8 7 610 11 12 13 1418 17 16 15 7. 把分数 化成小数后，小数点第 110 位上的数字是_.748. 循环小数 与 .这两个循环小数在小数点后第_位,首次同时出现9251.07463.0在该位中的数字都是 7.9. 一串数: 1,9,9,1,4,1, 4,1,9,9,1,4,1,4,1,9,9,1,4,共有 1991 个数.(1)其中共有 _个 1,_个 9_个 4；(2)这些数字的总和是 _.10. 所得积末位数是_.507.个二、解答题11. 紧接着 1989 后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘
3、积的个位数.例如 8 9=72,在 9 后面写 2,9 2=18,在 2 后面写 8,得到一串数字:1 9 8 9 2 8 6这串数字从 1 开始往右数，第 1989 个数字是什么？12. 1991 个 1990 相乘所得的积与 1990 个 1991 相乘所得的积，再相加的和末两位数是多少？13. 设 ，那么 n 的末两位数字是多少？ 2.n19个14在一根长 100 厘米的木棍上，自左至右每隔 6 厘米染一个红点，同时自右至左每隔 5 厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么长度是 1 厘米的短木棍有多少根？八 周期性问题(B)年级 班 姓名 得分 一、填空题1. 1992 年
4、1 月 18 日是星期六，再过十年的 1 月 18 日是星期_.2. 黑珠、白珠共 102 颗，穿成一串，排列如下图：这串珠子中，最后一颗珠子应该是_色的,这种颜色的珠子在这串中共有_颗.3. 流水线上生产小木珠涂色的次序是:先 5 个红,再 4 个黄,再 3 个绿,再 2 个黑,再 1 个白,然后再依次是 5 红,4 黄,3 绿,2 黑,1 白,继续下去第 1993 个小珠的颜色是_色.4. 把珠子一个一个地如下图按顺序往返不断投入 A、 B、 C、 D、 E、 F 袋中.第 1992 粒珠子投在_袋中.5. 将数列 1,4,7,10,13依次如图排列成 6 行,如果把最左边的一列叫做第一列
5、,从左到右依次编号,那么数列中的数 349 应排在第_行第_列.1 4 7 10 1328 25 22 19 16 31 34 37 40 4358 55 52 49 466分数 化成小数后，小数点后面第 1993 位上的数字是_.1397. 化成小数后,小数点后面 1993 位上的数字是_.48. 在一个循环小数 0.1234567 中,如果要使这个循环小数第 100 位的数字是 5,那么表示循环节的两个小圆点,应分别在_和_这两个数字上.9. 1991 个 9 与 1990 个 8 与 1989 个 7 的连乘积的个位数是_.10. 算式(367 367+762762) 123123 的得
6、数的尾数是_.二、解答题11. 乘积 1 2 3 4 1990 1991 是一个多位数，而且末尾有许多零，从右到左第一个不等于零的数是多少？12有串自然数，已知第一个数与第二个数互质，而且第一个数的 恰好是第二个数的65，从第三个数开始，每个数字正好是前两个数的和，问这串数的第 1991 个数被 3 除所得41的余数是几？13共产党好共产党好共产党好社会主义好社会主义好社会主义好上表中，将每列上下两个字组成一组，例如第一组为（共社） ，第二组为（产会） ，那么第 340 组是_.14. 甲、乙二人对一根 3 米长的木棍涂色.首先,甲从木棍端点开始涂黑 5 厘米,间隔 5 厘米不涂色,接着再涂黑
7、 5 厘米,这样交替做到底.然后,乙从木棍同一端点开始留出 6 厘米不涂色,接着涂黑 6 厘米,再间隔 6 厘米不涂色,交替做到底.最后,木棍上没有被涂黑部分的长度总和为_厘米.答 案1. 二因为 7 4=28，由某年二月份有五个星期日，所以这年二月份应是 29 天，且 2 月 1 日与 2 月 29 日均为星期日，3 月 1 日是星期一，所以从这年 3 月 1 日起到这年 6 月 1 日共经过了31+30+31+1=93(天).因为 937=132，所以这年 6 月 1 日是星期二.2 日依题意知，这十年中 1992 年、1996 年都是闰年，因此，这十年之中共有365 10+2=3652（
8、天）因为（3652+1 ） 7=5216，所以再过十年的 12 月 5 日是星期日.注上述两题(题 1题 2)都是推断若干天、若干月或若干年后某一天为星期几，解答这类问题主要依据每周为七天循环的规律，运用周期性解答.在计算天数时,要根据“四年一闰，整百不闰，四百年才又一闰”的规定，即公历年份不是整百数时，只要是 4 的倍数就是闰年，公历年数为整百数时，必须是 400的倍数才是闰年.3. 39从图中可以看出,三角形按“二黑二白一黑一白” 的规律重复排列，也就是这一排列的周期为 6，并且每一周期有 3 个白色三角形.因为 80 6=132，而第十四期中前两个三角形都是黑色的，所以共有白色三角形13
9、 3=39（个） .4. 白依题意知,电灯的安装排列如下:白,红,黄,绿,白,红,黄,绿,白,这一排列是按“白，红，黄，绿” 交替循环出现的，也就是这一排列的周期为 4.由 73 4=181,可知第 73 盏灯是白灯.5. 13 时.分针旋转一周为 1 小时,旋转 1991 周为 1991 小时.一天 24 小时,1991 24=8223，1991小时共 82 天又 23 小时.现在是 14 时正,经过 82 天仍然是 14 时正,再过 23 小时,正好是 13 时.注在圆面上,沿着圆周把 1 到 12 的整数等距排成一个圈 ,再加上一根长针和一根短针,就组成了我们天天见到的钟面.钟面虽然是那
10、么的简单平常,但在钟面上却包含着十分有趣的数学问题,周期现象就是其中的一个重要方面.6. 3仔细观察题中数表.1 2 3 4 5 (奇数排)第一组 9 8 7 6 (偶数排)10 11 12 13 14 (奇数排)第二组18 17 16 15 (偶数排)19 20 21 22 23 (奇数排)第三组 27 26 25 24 (偶数排)可发现规律如下:(1)连续自然数按每组 9 个数,且奇数排自左往右五个数,偶数排自右往左四个数的规律循环排列；(2)观察第二组,第三组,发现奇数排的数如果用 9 除有如下规律: 第 1 列用 9 除余数为 1,第 2 列用 9 除余数为 2,，第 5 列用 9 除
11、余数为 5.(3)10 9=11，10 在 1+1 组，第 1 列19 9=21，19 在 2+1 组，第 1 列因为 1992 9=2213，所以 1992 应排列在（221+1）=222 组中奇数排第 3 列数的位置上.7. 7=0.571428574它的循环周期是 6，具体地六个数依次是5，7，1，4，2，8110 6=182因为余 2，第 110 个数字是上面列出的六个数中的第 2 个，就是 7.8. 35因为 0.1992517 的循环周期是 7,0.34567 的循环周期为 5,又 5 和 7 的最小公倍数是 35,所以两个循环小数在小数点后第 35 位,首次同时出现在该位上的数字
12、都是 7.9. 853,570,568,8255.不难看出,这串数每 7 个数即 1,9,9,1,4,1,4 为一个循环,即周期为 7,且每个周期中有 3 个1,2 个 9,2 个 4.因为 19917=2843，所以这串数中有 284 个周期，加上第 285 个周期中的前三个数 1，9，9.其中 1 的个数是:3284+1=853( 个),9 的个数是 2284+2=570(个),4 的个数是2284=568(个). 这些数字的总和为1853+9570+4568=8255.10. 9先找出积的末位数的变化规律:71 末位数为 7,72 末位数为 9,73 末位数为 3, 74 末位数 1；7
13、 5=74+1 末位数为 7,76=74+2 末位数为 9，7 7=74+3 末位数为 3，7 8= 末位数为 124由此可见，积的末位依次为 7，9，3，1，7，9，3，1，以 4 为周期循环出现.因为 50 4=122，即 750= ，所以 750 与 72 末位数相同，也就是积的末位数是 9.2411. 依照题述规则多写几个数字:1989286884286884可见 1989 后面的数总是不断循环重复出现 286884，每 6 个一组，即循环周期为 6.因为(1989-4) 6=3305，所以所求数字是 8.12. 1991 个 1990 相乘所得的积末两位是 0,我们只需考察 1990
14、 个 1991 相乘的积末两位数即可.1 个 1991 末两位数是 91,2 个 1991 相乘的积末两位数是 81,3 个 1991 相乘的积末两位数是 71,4 个至 10 个 1991 相乘的积的末两位数分别是 61,51,41,31,21,11,01,11 个 1991 相乘积的末两位数字是 91，由此可见，每 10 个 1991 相乘的末两位数字重复出现，即周期为 10.因为 1990 10=199,所以 1990 个 1991 相乘积的末两位数是 01,即所求结果是 01.13. n 是 1991 个 2 的连乘积,可记为 n=21991,首先从 2 的较低次幂入手寻找规律,列表如
15、下:. . . .n n 的十位数字 n 的个位数字 n n 的十位数字 n 的个位数字21 0 2 212 9 622 0 4 213 9 223 0 8 214 8 424 1 6 215 6 825 3 2 216 3 626 6 4 217 7 227 2 8 218 4 428 5 6 219 8 829 1 2 220 7 6210 2 4 221 5 2211 4 8 222 0 4观察上表,容易发现自 22 开始每隔 20 个 2 的连乘积,末两位数字就重复出现,周期为 20.因为 1990 20=9910，所以 21991 与 211 的末两位数字相同，由上表知 211 的十
16、位数字是 4，个位数字是 8.所以,n 的末两位数字是 48.14. 因为 100 能被 5 整除,所以自右至左染色也就是自左至右染色.于是我们可以看作是从同一端点染色. 6 与 5 的最小公倍数是 30,即在 30 厘米的地方,同时染上红色,这样染色就会出现循环,每一周的长度是 30 厘米,如下图所示.由图示可知长 1 厘米的短木棍,每一周期中有两段,如第 1 周期中,6-5=1,5 5-6 4=1.剩余10 厘米中有一段.所以锯开后长 1 厘米的短木棍共有 7 段.综合算式为:2 (100-10) 30+1=2 3+1=7(段)注解决这一问题的关键是根据整除性把自右向左每隔 5 厘米的染色
17、,转化为自左向右的染色,便于利用最小公倍数发现周期现象,化难为易.答 案1. 五在这十年中有 3 个闰年,所以这 10 年的总天数是 365 10+3,365 被 7 除余 1,所以总天数被 7 除的余数是(13-7=)6,因此 10 年后的 1 月 18 日是星期五 .2. 黑,26根据图示可知,若去掉第一颗白珠后它们的排列是按“一黑三色” 交替循环出现的，也就是这一排列的周期为 4.由(102-1) 4=251，可知循环 25 个周期，最后一颗珠子是黑色的 .黑色珠子共有1 25+1=26(颗).3. 黑小木球是依次按 5 红,4 黄,3 绿,2 黑和 1 白的规律涂色的,把它看成周期性问
18、题,每个周期为 15.由 1993 15=13213 知，第 1993 个小球是第 133 周期中的第 13 个，按规律涂色应该是黑色，所以第 1993 个小球的颜色是黑色.4. B通过观察可以发现,第 11 次到第 20 次投进的袋子依次与第 1 次到第 10 次投进的袋子相同,即当投的次数被 10 除余 1,2,3,，8，9，0，分别投进 A， B， C，D ， C， B 袋中，1992 被 10 除余 2，所以第 1992 粒珠子投在 B 袋中 .5. 24,2这个数列从第 2 项起,每一项都比前一项多 3,(349-1) 3+1=117,所以 349 是这列数中的第117 个数.从排列
19、可以看出,每两排为一个周期,每一周期有 10 个数.因为 117 10=117，所以数“349” 是第 11 个周期的第 7 个数，也就是在第 24 行第 2 列.6. 6=139720.它的循环周期是 6,因为 1993=6 332+1,所以化成小数后,其小数点后面第 1993 位上的数字是 6.7. 7=143285.0它的循环周期是 6,因为(1993-1) 6=332,则循环节“142857”恰好重复出现 332 次.所以小数点后面第 1993 位上的数字是 7.8. 3,7表示循环小数的两个小圆点中,后一个小圆点显然应加在 7 的上面,且数字“5”肯定包含在循环节中，设前一个小圆点加
20、在“5” 的上面，这时循环周期是 3， （100-4） 3=32，第 100 位数字是 7.设前一个小圆点加在“4” 的上面，这时循环周期是 4， （100-3） 4=241，第 100位数字是 4.设前一个小圆点加在“3” 的上面，这时的循环周期是 5， （100-2） 5=193，第100 位数字正好是 5.注拿到此题后容易看出后一个小圆点应加在 7 的上面,但前一个圆点应加在哪个数字上 ,一下子难以确定,怎么办?唯一的办法就是“试”. 因为循环节肯定要包含 5,就从数字 5 开始试.逐步向前移动,直到成功为止.这就像我们在迷宫中行走,不知道该走哪条道才能走出迷宫,唯一的办法就是探索:先试
21、一试这条,再试一试那条.9. 2由特例不难归纳出:(1)9 的连乘积的个位数字按 9,1 循环出现,周期为 2；(2)8 的连乘积的个位数字按 8,4,2,6 循环出现,周期为 4；(3)7 的连乘积的个位数字按 7,9,3,1 循环出现,周期为 4.因为 1991=995 2+1,所以 1991 个 9 的连乘积的个位数字是 9；因为 1990=497 4+2，所 以 1990 个 8 的连乘积的个位数字是 4；因为 1989=497 4+1，所以 1989 个 7 的连乘积的个位数字是 7.9 4 7 的个位数字是 2,即 1991 个 9 与 1990 个 8 与 1989 年 7 的连
22、乘积的个位数字是 2.10. 97 的连乘积,尾数(个位数字)以 7,9,3,1 循环出现,周期为 4.因为 3674=913，所以，367367 的尾数为 3.2 的连乘积,尾数以 2,4,8,6 循环出现,周期为 4.因为 7624=1902，所以，762 762 的尾数为 4.3 的连乘积,尾数以 3,9,7,1 循环出现,周期为 4.1234=303，所以， 123123 的尾数为 7.所以,(367 367+762762)123123 的尾数为(3+4) 7=49 的尾数 ,所求答案为 9.11. 从 1 开始,将每 10 个数分为一组,每一组 10 个数从右到左第一个不等于零的数字
23、是乘积 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10=3628800 从右到左第一个不等于零的数字是 8,11991 可分为 110，1120，2130，19811990，1991； 8 的连乘积末位数字 8、4，2，6 重复出现，199 4=493，所以 199 个 8 相乘的末位数字是 2，1991 个位数字是 1，所以，乘积1 2 3 1990 1991 从右到左第一个不等于零的数字是 2.12. 因为第一个数 =第二个数 ,所以第一个数：第二个数= ： =3：10.又两数6541465互质,所以第一个数为 3,第二个数为 10,从而这串数为：3,10,13,23,36,59,95,154,
24、249,403,652,1055被 3 除所得的余数为：0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，按“0，1，1，2，0，2，2，1” 循环，周期为 8.因为 1991 8=2487，所以第 1991 个数被 3 除所得余数应是第 249 周期中的第 7 个数，即 2.注解答此题应注意以下两个问题:(1)由于两个数互质,所以这两个数只能是最简整数比的两个数；(2)求出这串数被 3 除所得的余数后,找出余数变化的周期 ,但这并不是这串数的周期.一般来说,一些有规律的数串,被某一个整数逐个去除,所得的余数也具有周期性.13. 因为“共产党好 ”四个字， “社会主义好”五个字，4 与 5 的最
25、小公倍数是 20，所以在连续写完 5 个“共产党好” 与 4 个“社会主义好”之后，将重复从头写起，出现周期现象，而且每个周期是 20 组数.因为 340 20=17,所以第 340 组正好写完第 17 个周期,第 340 组是(好,好).注此题从题面上看是一个文字游戏,其实质是一个周期的问题 :四个四个地数0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10五个五个地数14. 根据题意甲、乙从同一端点开始涂色，甲按黑、白，黑、白交替进行；乙按白、黑，白、黑交替进行，如下图所示.由上图可知,甲黑、乙白从同一端点起，到再一次甲黑、乙白同时出现，应是 5 与 6 的最小公倍数的 2 倍，即 5 6 2=60 厘米，也就是它们按 60 厘米为周期循环出现.并且在每一个周期中没有涂色的部分是1+3+5+4+2=15(厘米)所以,在 3 米的木棍上没有涂黑色的部分长度总和是15(30060)=75(厘米)注请注意这里的周期是 5 与 6 最小公倍数的 2 倍,而不是 5 与 6 的最小公倍数.这是同学们容易犯的错误.
