1、桑博教学设计 五年级奥数- 1 -（1） 数的整除如果整除 a 除以不为零数 b，所得的商为整数而余数为 0，我们就说 a 能被 b 整除，或叫 b 能整除 a。如果 a 能被 b 整除，那么，b 叫做 a 的约数，a叫做 b 的倍数。数的整除的特征：（1） 能被 2 整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0，那么这个整数一定能被 2 整除。（2） 能被 3（或 9）整除的数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被 3（或 9）整除，那么这个整数一定能被 3（或 9）整除。（3） 能被 4（或 25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或 25）整除，那么这个数就一定
2、能被 4（或 25）整除。（4） 能被 5 整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是 0 或 5，那么这个整数一定能被 5 整除。（5） 能被 6 整除的数的特征：如果一个整数能被 2 整除，又能被 3 整除，那么这个数就一定能被 6 整除。（6） 能被 7（或 11 或 13）整除的数的特征：一个整数分成两个数，末三位为一个数，其余各位为另一个数，如果这两个数之差是 0 或是 7（或 11 或13）的倍数，这个数就能被 7（或 11 或 13）整除。（7） 能被 8（或 125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或 125）整除，那么这个数就一定能被 8（或 125）整除。（8）
3、 能被 11 整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被 11 整除，那么它必能被 11 整除。1、例题与方法指导例 1. 一个六位数 2356是 88 的倍数,这个数除以 88 所得的商是_或_.思路导航 ：一个数如果是 88 的倍数,这个数必然既是 8 的倍数,又是 11 的倍数.根据 8的倍数,它的末三位数肯定也是 8 的倍数,从而可知这个六位数个位上的数是 0或 8.而 11 的倍数奇偶位上数字和的差应是 0 或 11 的倍数,从已知的四个数看,这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数字和差为 0,两个方框内填入的数字是相同的,因此这个六位
4、数有两种可能23 0 56 0 或 23 8 56 8 又 230560 88=2620238568 88=2711所以,本题的答案是 2620 或 2711.例 2. 123456789,这个十一位数能被 36 整除,那么这个数的个位上的数最小是_.桑博教学设计 五年级奥数- 2 -思路导航 ：因为 36=9 4,所以这个十一位数既能被 9 整除,又能被 4 整除.因为1+2+9=45，由能被 9 整除的数的特征， （可知+之和是 0（0+0） 、9（1+8，8+1，2+7，7+2，3+6，6+3，4+5，5+4）和 18（9+9）.再由能被 4 整除的数的特征:这个数的末尾两位数是 4 的
5、倍数,可知是00,04,，36，72，96.这样,这个十一位数个位上有 0,2,6 三种可能性.所以,这个数的个位上的数最小是 0.例 3. 下面一个 1983 位数 333444 中间漏写了一个数字(方框),已991 个 991 个知这个多位数被 7 整除，那么中间方框内的数字是_.思路导航 ：333444991 个 991 个=333 10993+34 10990+444990 个 990 个 因为 111111 能被 7 整除，所以 333 和 444 都能被 7 整除,所以只要990 个 990 个34 能被 7 整除，原数即可被 7 整除.故得中间方框内的数字是 6.例 4. 有三个
6、连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是 11 的倍数.这三个数是_.思路导航 ：三个连续的两位数其和必是 3 的倍数,已知其和是 11 的倍数,而 3 与 11 互质,所以和是 33 的倍数,能被 33 整除的两位数只有 3 个,它们是 33、66、99.所以有当和为 33 时,三个数是 10,11,12；当和为 66 时,三个数是 21,22,23；当和为 99 时,三个数是 32,33,34.所以，答案为 10,11,12 或 21,22,23 或 32,33,34。注“三个连续自然数的和必能被 3 整除”可证明如下：设三个连续自然数为 n,n+1,n+2,则n+(n+1)+(n+2)=
7、3n+3=3(n+1)所以， 能被 3 整除.)2()12、巩固训练1. 有这样的两位数,它的两个数字之和能被 4 整除,而且比这个两位数大1 的数,它的两个数字之和也能被 4 整除.所有这样的两位数的和是_.桑博教学设计 五年级奥数- 3 -2. 一个小于 200 的自然数,它的每位数字都是奇数,并且它是两个两位数的乘积,那么这个自然数是_.3. 任取一个四位数乘 3456,用 A 表示其积的各位数字之和,用 B 表示 A 的各位数字之和, C 表示 B 的各位数字之和,那么 C 是_.4. 有 0、1、4、7、9 五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如果把其中能被 3 整除的四位数
8、从小到大排列起来，第五个数的末位数字是_.3、拓展提升1. 找出四个互不相同的自然数,使得对于其中任何两个数,它们的和总可以被它们的差整除,如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小,那么这四个数里中间两个数的和是多少？2 只修改 21475 的某一位数字,就可知使修改后的数能被 225 整除,怎样修改？3 500 名士兵排成一列横队.第一次从左到右 1、2、3、4、5（1 至 5）名报数；第二次反过来从右到左 1、2、3、4、5、6（1 至 6）报数，既报 1 又报6 的士兵有多少名？4. 试问,能否将由 1 至 100 这 100 个自然数排列在圆周上,使得在任何 5个相连的数中,
9、都至少有两个数可被 3 整除？如果回答：“可以” ，则只要举出一种排法；如果回答：“不能” ，则需给出说明.桑博教学设计 五年级奥数- 4 -（2） 数字谜小朋友们都玩过字谜吧，就是一种文字游戏，例如“空中码头” （打一城市名） 。谜底你还记得吗？记不得也没关系，想想“空中”指什么？“天” 。这个地名第 1 个字可能是天。 “码头”指什么呢？码头又称渡口，联系这个地名开头是“天”字，容易想到“天津”这个地名，而“津”正好又是“渡口”的意思。这样谜底就出来了：天津。算式谜又被称为“虫食算” ，意思是说一道算式中的某些数字被虫子吃掉了无法辨认，需要运用四则运算各部分之间的关系，通过推理判定被吃掉的
10、数字，把算式还原。 “虫食算”主要指横式算式谜和竖式算式谜，其中未知的数字常常用、等图形符号或字母表示。文字算式谜是前两种算式谜的延伸，用文字或字母来代替未知的数字，在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的数字，相同的数字或字母表示同一个数字。文字算式谜也是最难的一种算式谜。在数学里面，文字也可以组成许许多多的数学游戏，就让我们一起来看看吧。 横式字谜1、例题与方法指导例 1 ，8，97 在上面的 3 个方框内分别填入恰当的数字，可以使得这 3 个数的平均数是 150。那么所填的 3 个数字之和是多少？思路导航 ： 150*3-8-97-5=340所以 3 个数之和为 3+4+5=12。例 2
11、 在下列算式的中填上适当的数字，使得等式成立：（1）6456=0，（2）7837=1，（3）332=17，（4）858=6。分析：（1） 6104/56=109（2）7548/37=204（3） 3393/29=117（4）8468/58=146例 3 在算式 40796=9998 的各个方框内填入适当的数字后，就可以使其成为正确的等式。求其中的除数。分析：40796/102=399.98。例 4 我学数学乐我学数学乐=数数数学数数学学数学桑博教学设计 五年级奥数- 5 -在上面的乘法算式中， “我、学、数、乐”分别代表的 4 个不同的数字。如果“乐”代表 9，那么“我数学”代表的三位数是多少
12、？分析：学=1，我=8，数=6 ，81619*81619=6661661161例 5 （）=24 在式中的 4 个方框内填入 4 个不同的一位数，使左边的数比右边的数小，并且等式成立。思路导航 ：这样，我们可以先用字母代替数字，原等式写成：a/(b/c/d)=a/(b/c*d)=a*c*d/b，(a、”等。表示运算意义的表达式，通常是使用四则运算符号，例如 ab=3a-3b，新运算使用的符号是，而等号右边表示新运算意义的则是四则运算符号。正确解答定义新运算这类问题的关键是要确切理解新运算的意义，严格按照规定的法则进行运算。如果没有给出用字母表示的规则，则应通过给出的具体的数字表达式，先求出表示
13、定义规则的一般表达式，方可进行运算。值得注意的是：定义新运算一般是不满足四则运算中的运算律和运算性质，所以，不能盲目地运用定律和运算性质解题。1、例题与方法指导例 1. 设 ab 都表示数，规定 ab 表示 a 的 4 倍减去 b 的 3 倍，即 ab=4a-3b,试计算 56，65。解 56-54-63=20-18=265=64-53=24-15=9说明 例 1 定义的没有交换律，计算中不得将前后的数交换。例 2. 对于两个数 a、b,规定 ab 表示 3a+2b,试计算（56）7，5（67） 。思路导航 ：先做括号内的运算。解 （56）7=（53+62）7=277=273+72=955（6
14、7）=5（63+72）=532=53+322=79说明 本题定义的运算不满足结合律。这是与常规的运算有区别的。例 3. 已知 23=234，42=45，一般地，对自然数 a、b，ab 表示 a(a+1)（a+b-1）.计算（63）-（52） 。思路导航 ：原式=67-56=336-30规定：a=a+(a+1)+(a+2)+（a+b-1）,其中 a,b 表示自然数。例 4. 求 1100 的值。已知 x10=75,求 x.思路导航 ：桑博教学设计 五年级奥数- 10 -（1）原式=1+2+3+100=（1+100）1002=5050（2）原式即 x+(x+1)+(x+2)+（X+9）=75,所以
15、10X+(1+2+3+9)=7510x+45=75 10x=30x=32、巩固训练1. 若对所有 b,ab =ax,x 是一个与 b 无关的常数；ab=(a+b)2,且（13）3=1（33） 。求（14）2 的值。2. 如果规定：=234，=345，=456，=8910，求+-+-+-的值。3、能力提升桑博教学设计 五年级奥数- 11 -（4） 行程问题行程问题是小学奥数中变化最多的一个专题，不论在奥数竞赛中还是在“小升初”的升学考试中，都拥有非常重要的地位。行程问题中包括：火车过桥、流水行船、沿途数车、猎狗追兔、环形行程、多人行程，等等。每一类问题都有自己的特点，解决方法也有所不同，但是，行
16、程问题无论怎么变化，都离不开“三个量，三个关系”：这三个量是：路程(s)、速度(v)、时间(t)三个关系：1. 简单行程： 路程 = 速度 时间2. 相遇问题： 路程和 = 速度和 时间3. 追击问题： 路程差 = 速度差 时间牢牢把握住这三个量以及它们之间的三种关系，就会发现解决行程问题还是有很多方法可循的。 追击及遇问题1、例题与方法指导例 1. 有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行。甲每分钟走 40 米，乙每分钟走 38 米，丙每分钟走 36 米。在途中，甲和乙相遇后 3 分钟和丙相遇。问：这个花圃的周长是多少米？ 思路导航 ：这个三人行
17、程的问题由两个相遇、一个追击组成，题目中所给的条件只有三个人的速度，以及一个“3 分钟”的时间。第一个相遇：在 3 分钟的时间里，甲、丙的路程和为（40+36）3=228（米） 第一个追击：这 228 米是由于在开始到甲、乙相遇的时间里，乙、丙两人的速度差造成的，是逆向的追击过程，可求出甲、乙相遇的时间为228 （38-36）=114（分钟）第二个相遇：在 114 分钟里，甲、乙二人一起走完了全程所以花圃周长为（40+38）114=8892（米）我们把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题，使解题思路更加清晰。桑博教学设计 五年级奥数- 12 -例 2. 东西两地间有一条公路长 217
18、.5 千米，甲车以每小时 25 千米的速度从东到西地，1.5 小时后，乙车从西地出发，再经过 3 小时两车还相距 15 千米。乙车每小时行多少千米？思路导航 ：从图中可以看出，要求乙车每小时行多少千米，关键要知道乙车已经行了多少路程和行这段路程所用的时间。解：（1）甲车一共行多少小时？1.5+3=4.5（小时）（2）甲车一共行多少千米路程？254.5=112.5（千米）（3）乙车一共行多少千米路程？217.5-112.5=105（千米）（4）乙车每小时行多少千米？ (105-15)3=30（千米）答：乙车每小时行 30 千米。例 3. 兄妹二人同时从家里出发到学校去，家与学校相距 1400 米
19、。哥哥骑自行车每分钟行 200 米，妹妹每分钟走 80 米。哥哥刚到学校就立即返回来在途中与妹妹相遇。从出发到相遇，妹妹走了几分钟？相遇处离学校有多少米？思路导航 ：从图中可以看出，哥与妹妹相遇时他们所走的路程的和相当于从家到学校距离的 2 倍。因此本题可以转化为“哥哥妹妹相距 2800 米，两人同时出发，相向而行，哥哥每分钟行 200 米，妹妹每分钟行 80 米，经过几分钟相遇？”的问题，解答就容易了。解：（1）从家到学校的距离的 2 倍：14002=2800（米）（2）从出发到相遇所需的时间：2800（200+80）=10（分）（3）相遇处到学校的距离：1400-8010=600（米）答：
20、从出发到相遇，妹妹走了 10 分钟，相遇处离学校有 600 米。2、巩固训练1. 两城市相距 328 千米，甲、乙两人骑自行车同时从两城出发，相向而行。甲每小时行 28 千米，乙每小时行 22 千米，乙在中途修车耽误 1 小时，然后继续行驶，与甲相遇，求出发到相遇经过多少时间？2. 快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，已知快车每小时行 40 千米，经过 3 小时快车已过中点 12 千米与慢车相遇，慢车每小时行多少千米？桑博教学设计 五年级奥数- 13 -3. 小华和小明同时从甲、乙两城相向而行，在离甲城 85 千米处相遇，到达对方城市后立即以原速沿原路返回，又在离甲城 35 千米处相遇，两城相距
21、多少千米？3、拓展提升1. 客车和货车同时从甲、乙两地相对开出，客车每小时行 54 千米，货车每小时行 48 千米，两车相遇后又以原来的速度继续前进，客车到达乙站后立即返回，货车到达甲站后也立即返回，两车再次相遇时，客车比货车多行 216 千米。求甲乙两站相距多少千米？2. 甲、乙、丙三辆车同时从 A 地出发到 B 地去，甲、乙两车速度分别为每小时 60 千米和 48 千米，有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后 6 小时、7 小时、8 小时先后与甲、乙、丙三车相遇。求丙车的速度。桑博教学设计 五年级奥数- 14 -3. 两列火车从某站相背而行，甲车每小时行 58 千米，先开出 2 小时后，车以
22、每小时 62 千米才开出，乙车开出 5 小时后，两列火车相距多少千米？ 火车过桥过桥问题也是行程问题的一种。首先要弄清列车通过一座桥是指从车头上桥到车尾离桥。列车过桥的总路程是桥长加车长，这是解决过桥问题的关键。过桥问题也要用到一般行程问题的基本数量关系：过桥问题的一般数量关系是：因为： 过桥的路程 = 桥长 + 车长 所以有：通过桥的时间 =（桥长 + 车长）车速车速 = （桥长 + 车长）过桥时间公式的变形：桥长 = 车速过桥时间 车长车长 = 车速过桥时间 桥长后三个都是根据第二个关系式逆推出的。火车通过隧道的问题和过桥问题的道理是一样的，也要通过上面的数量关系来解决。1、例题与方法指导
23、例 1. 一列客车经过南京长江大桥，大桥长 6700 米，这列客车长 100 米，火车每分钟行 400 米，这列客车经过长江大桥需要多少分钟？思路导航 ：桑博教学设计 五年级奥数- 15 -从火车头上桥，到火车尾离桥，这之间是火车通过这座大桥的过程，也就是过桥的路程是桥长 + 车长。通过“过桥的路程”和“车速”就可以求出火车过桥的时间。（1）过桥路程：6700 + 100 = 6800（米）（2）过桥时间：6800400 = 17（分）答：这列客车通过南京长江大桥需要 17 分钟。例 2. 一列火车长 160 米，全车通过 440 米的桥需要 30 秒钟，这列火车每秒行多少米？思路导航 ：要想
24、求火车过桥的速度，就要知道“过桥的路程”和过桥的时间。（1）过桥的路程：160 + 440 = 600（米）（2）火车的速度：60030 = 20（米）答：这列火车每秒行 20 米。例 3. 某列火车通过 360 米的第一个隧道用了 24 秒钟，接着通过第二个长 216 米的隧道用了 16 秒钟，求这列火车的长度？思路导航 ：火车通过第一个隧道比通过第二个隧道多用了 8 秒，为什么多用 8 秒呢？原因是第一个隧道比第二个隧道长 360216 = 144（米） ，这 144 米正好和 8 秒相对应，这样可以求出车速。火车 24 秒行进的路程包括隧道长和火车长，减去已知的隧道长，就是火车长。（1）
25、第一个隧道比第二个长多少米？360216 = 144（米）（2）火车通过第一个隧道比第二个多用几秒？2416 = 8（秒）（3）火车每秒行多少米？1448 = 18（米）（4）火车 24 秒行多少米？1824 = 432（米）（5）火车长多少米？432360 = 72（米）答：这列火车长 72 米。桑博教学设计 五年级奥数- 16 -2、巩固训练1. 某列火车通过 342 米的隧道用了 23 秒，接着通过 234 米的隧道用了 17秒，这列火车与另一列长 88 米，速度为每秒 22 米的列车错车而过，问需要几秒钟？2. 一列火车全长 265 米，每秒行驶 25 米，全车要通过一座 985 米长
26、的大桥，问需要多少秒钟？3. 一列长 50 米的火车，穿过 200 米长的山洞用了 25 秒钟，这列火车每秒行多少米？3、拓展提升1. 一列长 240 米的火车以每秒 30 米的速度过一座桥，从车头上桥到车尾离桥用了 1 分钟，求这座桥长多少米？2. 一列货车全长 240 米，每秒行驶 15 米，全车连续通过一条隧道和一座桥，共用 40 秒钟，桥长 150 米，问这条隧道长多少米？3. 一列火车开过一座长 1200 米的大桥，需要 75 秒钟，火车以同样的速度开过路旁的电线杆只需 15 秒钟，求火车长多少米？桑博教学设计 五年级奥数- 17 -4. 在上下行轨道上，两列火车相对开来，一列火车长
27、 182 米，每秒行 18米，另一列火车每秒行 17 米，两列火车错车而过用了 10 秒钟，求另一列火车长多少米？桑博教学设计 五年级奥数- 18 -（5） 列方程解应用题同学们在解答数学问题时，经常遇到一些数量关系较复杂的，或较隐蔽的逆向问题。用算术方法解答比较困难，如果用方程解就简便得多。它可以进一步培养我们分析问题和解决问题的能力，抽象思维能力，列方程解应用题一般分为五步：（一）审题；（弄清已知数和未知数以及它们之间的关系）（二）用字母表示未知数；（通常用“x”表示）（三）根据等量关系列出方程；（四）解方程求出未知数的值；（五）验算并答题。一、例题与方法指导例 1. 金台小学学生参加申奥
28、植树活动，六年级共植树 252 棵，比五年级植树总数的14倍少 8 棵，五年级植树多少棵？思路导航 ：六年级比五年级植树总数的14倍少 8 棵，就是六年级的14倍的数少 8，等于六年级植树的总数。等量关系是：五年级的14倍8六年级的植树总数。解：设五年级植树 x 棵，根据题意列方程，得14825x60x2148验算：把 x0代入原方程左边1425右边252左边右边x08是原方程的解。答：五年级植树 208 棵。桑博教学设计 五年级奥数- 19 -例 2. 一瓶农药 700 克，其中水比硫磺粉的 6 倍还多 25 克，含硫磺粉的重量是石灰的 2 倍，这瓶农药里，水、硫磺粉和石灰粉各多少克？思路导
29、航 ：这是道比较复杂的“和倍应用题” ，硫磺粉和水有直接关系，硫磺粉和石灰也有直接关系，因此应设未知数硫磺粉为 x 克。水的重量是硫磺的 6 倍还多 25克，也就是（6x25）克，石灰的重量就是硫磺粉的重量除以 2，也就是1x克。等量关系式表示为：水硫磺粉石灰农药重量解：设硫磺粉的重量是 x 克，那么，水的重量是（ 65x）克，石灰重量是12x克。根据题意列方程，解。651270x256.x90验算：把 代入原方程左边62517右边700左边右边x90是原方程的解。例 3. 两袋米同样重，第一袋吃去 18 千克，第二袋吃去 25 千克，余下的第一袋刚好是第二袋的 2 倍，两袋原来各有多少千克？
30、思路导航 ：题中告诉我们原来两袋大米同样重，解答时可以设两袋大米原来各重 x 千克，第一袋剩下的则是 ()x18千克，第二袋剩下的则是 ()x25千克。根据题意，第一袋剩下的大米是第二袋剩下的 2 倍，也就是说，如果把第二袋剩下的扩大 2 倍就和第一袋剩下的相等。解：设两袋大米原来的重量各为 x 千克，根据题意，列方程得()xx521803验算：左边 ()524右边321814左边右边x32 是原方程的解桑博教学设计 五年级奥数- 20 -答：两袋大米原来各重 32 千克。2、巩固训练1. 李红看一本小说，上午看了 60 页，相当于下午看的页数的78又 4 页，李红这天共看了多少页小说？思路导
31、航 ：这道题和求的问题是这一天共看了多少页小说。题目中已知上午看了 60 页，所以，只要求出下午看的页数，就可以了。题目中明确告诉了我们等量关系即“上午看了 60 页，相当于下午看的页数的78又 4 页” 。等量关系：下午看的页数 4上午看的页数解：法（一）：设下午看了 x 页。78460x5x67846064124 页答：这天共看了 124 页。解：解法（二）：这一天共看了 x 页。()x6078460524x.7810x7824.答：这一天共看了 124 页。2. 已知一个长方形的长是 20 米，如果把它的宽减少 4 米，新得到一桑博教学设计 五年级奥数- 21 -个长方形，它的面积想法于
32、原来长方形的面积的57，原来长方形的周长是多少？思路导航 ：这道题的所求问题是求原来长方形的周长，而题目中明确告诉了我们等量关系即“新得到的长方形的面积相当于原来长方形面积的57。 ”如果没有原来长方形的宽为 x 米，原来长方形的面积就是 20x 平方米；新的长方形的宽就是（x4）米；新的长方形面积就是 204()x平方米。等量关系：原长方形面积57新长方形面积解：设原长方形的宽是 x 米根据题意列方程，得2042057()x81xx407x81()14206答：原来长方形的周长是 68 米。3. 两根绳共长 90 米，已知第一根绳长的25等于第二根绳长的12，求两根绳各长多少米？思路导航 ：
33、解答时，首先抓住题目中的等量关系“第一根绳长的25等于第二根绳长的12”再根据第一根绳长为（90x）米，就可以列出方程。桑博教学设计 五年级奥数- 22 -等量关系：第一根绳长25第二根绳长12解：设第一根绳长 x 米，第二根绳长（ 90x）米，根据题意列方程，得25190x()410x59905040答：第一根绳长 50 米，第二根绳长 40 米。3、拓展提升1. 甲乙两个粮仓共有粮食 55 万千克，如果甲仓运出35，乙仓运出 6 万千克，则甲乙两仓存粮相等，甲、乙两仓原来各存粮多少万千克？解：设甲仓原有粮食有 x 万千克，则乙仓原有粮食（ x）万千克。根据题意列方程，得()1356x249
34、x75x493553520答：甲仓原有 35 万千克，乙仓原有 20 万千克。2. 用 5 千克含盐 20%的盐水，如果把它稀释为含盐 15%的盐水，需要加水多少千克？解：设需要加水 x 千克。()1%20x桑博教学设计 五年级奥数- 23 -x123答：需要加水 千克。3. 有甲、乙两筐苹果，如果从甲筐取 10 千克放入乙筐，则两筐相等；如果从两筐中各取出 10 千克，这时甲筐余下的310比乙筐余下的13多 5 千克。求两筐苹果原来各多少千克？解：设乙筐原有苹果 x 千克。()()x10352013103xxx4402060答：甲筐原有苹果 60 千克，乙筐原有 40 千克。4. 同学们到郊
35、区野炊。一个同学到老师那里去领碗，老师问他领多少，他说领 55 个。又问“多少人吃饭” ，他说：“一人一个饭碗，两人一个菜碗，三人一个汤碗。 ”算一算，有多少人吃饭。解：设参加野炊活动的人数为 x 人。x12356x130答：参加野炊活动的有 30 人。（6） 抽屉原理如果将 5 个苹果放到 3 个抽屉中去，那么不管怎么放，至少有一个抽屉中放的苹果不少于 2 个。道理很简单，如果每个抽屉中放的苹果都少于 2 个，即放 1 个或不放，那么 3 个抽屉中放的苹果的总数将少于或等于 3，这与有 5 个桑博教学设计 五年级奥数- 24 -苹果的已知条件相矛盾，因此至少有一个抽屉中放的苹果不少于 2 个
36、。同样，有 5 只鸽子飞进 4 个鸽笼里，那么一定有一个鸽笼至少飞进了 2 只鸽子。以上两个简单的例子所体现的数学原理就是“抽屉原理” ，也叫“鸽笼原理”。抽屉原理 1：将多于 n 件的物品任意放到 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于 2 件。说明这个原理是不难的。假定这 n 个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到2 件，那么每一个抽屉中的物品或者是一件，或者没有。这样，n 个抽屉中所放物品的总数就不会超过 n 件，这与有多于 n 件物品的假设相矛盾，所以前面假定“这 n 个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到 2 件”不能成立，从而抽屉原理 1 成立。从最不利原则也可以说明抽屉原理 1。
37、为了使抽屉中的物品不少于 2 件，最不利的情况就是 n 个抽屉中每个都放入 1 件物品，共放入 n 件物品，此时再放入 1 件物品，无论放入哪个抽屉，都至少有 1 个抽屉不少于 2 件物品。这就说明了抽屉原理 1。1、例题与方法指导例 1. 某幼儿园有 367 名 1996 年出生的小朋友，是否有生日相同的小朋友？分析与解：1996 年是闰年，这年应有 366 天。把 366 天看作 366 个抽屉，将367 名小朋友看作 367 个物品。这样，把 367 个物品放进 366 个抽屉里，至少有一个抽屉里不止放一个物品。因此至少有 2 名小朋友的生日相同。例 2. 在任意的四个自然数中，是否其中
38、必有两个数，它们的差能被 3 整除？分析与解：因为任何整数除以 3，其余数只可能是 0，1，2 三种情形。我们将余数的这三种情形看成是三个“抽屉” 。一个整数除以 3 的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”里。将四个自然数放入三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以 3 的余数相同。这两个数的差必能被 3 整除。例 3. 在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是 3 的倍数？分析与解：根据例 2 的讨论，任何整数除以 3 的余数只能是 0，1，2。现在，对于任意的五个自然数，根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的数，于是可分下面两种情形来加以讨
39、论。第一种情形。有三个数在同一个抽屉里，即这三个数除以 3 后具有相同的余数。因为这三个数的余数之和是其中一个余数的 3 倍，故能被 3 整除，所以这三个数之和能被 3 整除。第二种情形。至多有两个数在同一个抽屉里，那么每个抽屉里都有数，在每个抽屉里各取一个数，这三个数被 3 除的余数分别为 0，1，2。因此这三个数之和能被 3 整除。综上所述，在任意的五个自然数中，其中必有三个数的和是 3 的倍数。桑博教学设计 五年级奥数- 25 -2、巩固训练1. 有苹果和桔子若干个，任意分成 5 堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶数？分析与解：由于题目只要求判断两堆水果的个数关系，因此
40、可以从水果个数的奇、偶性上来考虑抽屉的设计。对于每堆水果中的苹果、桔子的个数分别都有奇数与偶数两种可能，所以每堆水果中苹果、桔子个数的搭配就有 4 种情形：（奇，奇） ， （奇，偶） ， （偶，奇） ， （偶，偶） ，其中括号中的第一个字表示苹果数的奇偶性，第二个字表示桔子数的奇偶性。将这 4 种情形看成 4 个抽屉，现有 5 堆水果，根据抽屉原理可知，这 5 堆水果里至少有 2 堆属于上述 4 种情形的同一种情形。由于奇数加奇数为偶数，偶数加偶数仍为偶数，所以在同一个抽屉中的两堆水果，其苹果的总数与桔子的总数都是偶数。2. 用红、蓝两种颜色将一个 25 方格图中的小方格随意涂色（见右图） ，
41、每个小方格涂一种颜色。是否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？分析与解：用红、蓝两种颜色给每列中两个小方格随意涂色，只有下面四种情形：将上面的四种情形看成四个“抽屉” 。根据抽屉原理，将五列放入四个抽屉，至少有一个抽屉中有不少于两列，这两列的小方格中涂的颜色完全相同。在上面的几个例子中，例 1 用一年的 366 天作为 366 个抽屉；例 2 与例 3用整数被 3 除的余数的三种情形 0，1，2 作为 3 个抽屉；例 4 将一条线段的 10等份作为 10 个抽屉；例 5 把每堆水果中，苹果数与桔子数的奇偶搭配情形作为4 个抽屉；例 6 将每列中两个小方格涂色的 4 种情形作为 4 个抽屉
42、。由此可见，利用抽屉原理解题的关键，在于恰当地构造抽屉。 3. 在长度是 10 厘米的线段上任意取 11 个点，是否至少有两个点，它们之间的距离不大于 1 厘米？分析与解：把长度 10 厘米的线段 10 等分，那么每段线段的长度是 1 厘米（见下图） 。将每段线段看成是一个“抽屉” ，一共有 10 个抽屉。现在将这 11 个点放到这 10 个抽屉中去。根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的点桑博教学设计 五年级奥数- 26 -（包括这些线段的端点） 。由于这两个点在同一个抽屉里，它们之间的距离当然不会大于 1 厘米。所以，在长度是 10 厘米的线段上任意取 11 个点，至少存在两个点
43、，它们之间的距离不大于 1 厘米。3、拓展提升1. 有 5 个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出 3 枚棋子.请你证明，这 5 个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。分析与解答 首先要确定 3 枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有：3黑，2 黑 1 白，1 黑 2 白，3 白共 4 种配组情况，看作 4 个抽屉.把每人的 3 枚棋作为一组当作一个苹果，因此共有 5 个苹果.把每人所拿 3 枚棋子按其颜色配组情况放入相应的抽屉.由于有 5 个苹果，比抽屉个数多，所以根据抽屉原理，至少有两个苹果在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的。2. 一副扑
44、克牌（去掉两张王牌） ，每人随意摸两张牌，至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的？分析与解答 扑克牌中有方块、梅花、黑桃、红桃 4 种花色，2 张牌的花色可以有：2 张方块，2 张梅花，2 张红桃，2 张黑桃，1 张方块 1 张梅花，1 张方块 1张黑桃，1 张方块 1 张红桃，1 张梅花 1 张黑桃，1 张梅花 1 张红桃，1 张黑桃1 张红桃共计 10 种情况.把这 10 种花色配组看作 10 个抽屉，只要苹果的个数比抽屉的个数多 1 个就可以有题目所要的结果.所以至少有 11 个人。3. 从 2、4、6、30 这 15 个偶数中，任取 9 个数，证明其中一定有
45、两个数之和是 34。分析与解答 我们用题目中的 15 个偶数制造 8 个抽屉：凡是抽屉中有两个数的，都具有一个共同的特点：这两个数的和是 34。现从题目中的 15 个偶数中任取 9 个数，由抽屉原理（因为抽屉只有 8 个） ，必有两个数在同一个抽屉中.由制造的抽屉的特点，这两个数的和是 34。（7） 不规则图形面积计算（1）桑博教学设计 五年级奥数- 27 -我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们
46、的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系 ，问题就能解决了。一、例题与方法指导桑博教学设计 五年级奥数- 28 -例 1 如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是 10 厘米和12 厘米.求阴影部分的面积。思路导航 ：阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（ABG、BDE、EFG）的面积之和。例 2 如右图，正方形 ABCD 的边长为 6 厘米，ABE、ADF 与四边形 AECF 的面积彼此相等，求三角形 AEF 的面积. 思路导航 ：ABE、ADF 与四边形 AECF 的面积彼此相等，四边形 AECF 的面积与ABE、ADF 的面积都等于正方形 ABCD 的 。13在ABE 中，因为 AB=6.所以 BE=4，同理 DF=4，因此 CE=CF=2，ECF 的面积为 222=2。所以 SAEF=S 四边形 AECF-SECF=12-2=10（平方厘米）。例 3 两块等腰直角
