1、2015 年第 五 届 成都 学而思综合能力测评（学而思杯） 数学试卷 解析 （ 五 年级） 一 填空题 （每题 5 分，共 20 分） 1. 4 月 5 日清明节是中国二十四节气之一已知一年有 24 个节气，那么 ， 平均每个月有 _个节气 【 考点 】 平均数问题 【 难度 】 【答案】 2 【分析】 24 12 2 2. 甲、乙两人玩井字棋游戏，轮流在一个 33 的方格棋盘内画符号，甲画“ d ”先走，乙画“ ”后走 谁能将棋盘的一整行、一整列或一整条对角线的 3 个格都画上自己的符号，谁就赢如果前 4 步甲乙所下位置如下左图所示，那么，甲下一步应该下在 _号位置（位置编号如下右图所示）
2、，才能保证必胜 54321【 考点 】 必胜策略 【 难度 】 【答案】 1 【分析】 甲不得不走 1，此时 3、 4 双杀，乙挡不住了 3. 俗话说：卢沟桥的狮子，数不清 俊俊去卢沟桥数狮子，发现一共有 300 只狮子其中 大狮子与小狮子的数量之比是 2:1 ，那么，小狮子有 _只 【 考点 】 比例应用题 【 难度 】 【答案】 100 【分析】 300 (2 1) 1 100 4. 如图，已知圆的半径是 10 厘米，六条直径将圆十二等分 那么，阴影面积之和是 _平方厘米 （ 取 3.14） 【 考点 】 圆与扇形 【 难度 】 【答案】 157 【分析】 2 10 2 157 二 填空题
3、 （每题 6 分，共 24 分） 5. 佳佳是一位国旗爱好 者，他从全世界 193 个国家的国旗中，挑出了 43 面带星星图案或带月亮图案的国旗，发现其中带星星图案的国旗有 34 面 带月亮图案的国旗有 18 面，那么，既带星星图案又带月亮图案的国旗有 _面 【 考点 】 容斥原理 【 难度 】 【答案】 9 【分析】 34 18 43 9 6. 东东喝一瓶浓度是 40%的饮料，喝到剩 60 克饮料时，觉得饮料太浓了，就加了一些水，将饮料的浓度兑成了 30%那么，东东 加了 _克水 【 考点 】 浓度问题 【 难度 】 【答案】 20 【分析 】 4 0 % 6 0 3 0 % 6 0 2 0
4、 ，或用十字交叉算出饮料和水的质量比为 3:1 也可以 7. 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0 的计算结果末尾有 _个连续的 0 【 考点 】 质数与合数 【 难度 】 【答案】 2 【分析】 末尾的 0 由质因数 2 和 5 的个数共同决定，质因数 5 只有 2 个，质因数 2 有不止 2 个 8. 一个容积是 100 立方厘米的水杯（即这个水杯装满水时，水的体积是 100 立方厘米），内有一部分水，盛盛向杯中放入了一个小正方体，水溢出了 20 立方厘米；盛盛又向杯中放入了一个 相同的小正方体，水又溢出了 30 立方厘米（如图） 那么，原来水杯中装有 _立方厘米
5、的水 溢出 20cm3又溢出 30cm3【 考点 】 水中浸物 【 难度 】 【答案】 90 【分析】 第二个正方体体积是 30cm3，所以第一个也是，那么只溢出 20cm3 说明原来有 10cm3 的空，所以原有水 90cm3. 三 填空题 （每题 7 分，共 28 分） 9. 一项工程，甲、乙、丙三人合作完成 原定甲做 1 天，乙做 2 天，丙做 3 天，刚好可以完成这项工程 但是在开工之前， 甲因故退出，乙和丙只得代替甲完成工作 方案有两种：乙额外做 3 天，或者乙、丙额外各做 1 天，都能完成甲的工作 那么，这项工程如果由 乙单独完成，需要 _天 【 考点 】 工程问题 【 难度 】
6、【答案】 11 【分析】 从题目描述中可以得知，乙做 3 天顶甲做 1 天，丙做 1 天顶乙做 2 天，所以 丙做 3 天的活乙要做 6 天， 3 2 6 11 10. 下图“七角星”中共有 _个三角形 【 考点 】 几何计数 【 难度 】 【答案】 35 【分析】 七条边两两相交且三线不共点， 37C 35 11. 定 义新运算符号“ ”和“ d ” ：如果 ab ，那么“ ab ”表示 a 与 b 中较小的数，“ abd ”表示 a 与 b 中较大的数那么， 3 5 5 2 8 8 4 11 1 3 2 0 1 5 2 8 8 d的计算结果的 整数部分 是 _ 【 考点 】 比较与估算 【
7、 难度 】 【答案】 21 【分析】 左括号由于取小，结果必然不大于 ，即不超过 3.142，右括号由于取大，结果大于 17（ 288 288 12015 2016 7），所以原式结果接近 13.1427，但不会超过它， 3.142 7 22 ，所以不会超过 22. 12. 下面的加法竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字 那么，四位数喜 气 羊 羊 的最大值是 _ 3羊 开 泰羊 羊 得 意羊 年 大 吉喜 气 羊 羊【 考点 】 数字谜 【 难度 】 【答案】 7922 【分析】 一共出现了 10 个不同汉字，所以 10 个不同数字均出现了，接下来极端分析： 若 喜 =
8、9， 则羊可以是 2 或 3，若羊 =3， 上下总数字和为 45 5 3 3 63 ，而上下数字和差 9的倍数，结合题目，百位不能向千位进位，和又是奇数，所以 上下方数字和的 差是 3 9 27 或 9，此时下方数字和为 18 或 27，气 =3 或 12，均不成立； 若喜 =9，羊 =2，上下总数字和为 45 5 2 3 58 ，而上下数字和差 9 的倍数，结合题目，百位向千位进 2 位，和又是偶数，所以上下方数字和的差可以为 18 或 36，此时下方数字和为 20 或11，气 =7，经验证无法向千位进两位； 若 喜 =8，则 羊 =2，上下总数字和为 45 5 2 3 58 ， 而上下数字
9、和差 9 的倍数，结合题目，百位向千位进 1 位，和又是偶数，所以上下方数字和的差可以为 18 或 36， 此时下方数字和为 20或 11，气均没有合适的取值； 若喜 =7，则羊可以是 1 或 2，若羊 =2，类似喜 =8 时的分析，得出可能合理的四位数“ 7922”，经验证成立，如图，则其在喜取得最大值的前提下后三位均为合理的最大值，必然为最大值 3 2 8 12 2 0 52 4 3 67 9 2 2 四 填空题 （每题 8 分，共 32 分） 13. 两对夫妇约好下班后一起吃饭 他们预定了一家饭店的某张饭桌，饭桌的桌椅分布如下图所示 已知他们四人先后入座，座位可自选，但要求同一对夫妇两人
10、必须坐在桌子的同一侧那么 ， 这四人的入座方法有 _种（坐的位置不同，或者入座顺序不同，都算不同的入座方法） 椅椅椅椅桌【 考点 】 排列组合 【 难度 】 【答案】 192 【分析】 若按先后顺序考虑，第四人不用考虑，第一人 4 种情况，其座位 4 种情况，第二人若是第一人伴侣， 1 种情况，其座位 1 种情况，第三人 2 种情况，其座位 2 种情况；若不是第一人伴侣， 2种情况，其座位 2 种情况，第三人 2 种情况，其座位 1 种情况，所以是 4 4 (1 1 2 2 2 2 2 1 ) 1 9 2 种； 但考虑到先把座位定好，入座先后顺序只需乘以 44A ，而座位只有 222 （两对夫
11、妇互换、夫妇间互换）种情况，所以是 44A 2 2 2 192 种 . 14. 如图，直角三角形 ABC 中， 90ABC ， 14AC 四边形 BCDE 和四边形 ABFG 都是正方形连结 AD，与 BC 相交于点 H如果 GH 与 AC 平行，那么 ， 阴影四边形 BEDH 的面积是 _ HGFE DCBA【 考点 】 等积变形、勾股定理 【 难度 】 【答案】 98 【分析】 连接 BD，有 B H D A H C A H G A G FS S S S V V V V，所以 2 2 21 1 1 982 2 2B H D B E DS S S a b c VV（其中 a、 b、 c 代指
12、直角三角形三边） 15. 我们知道分母是 7 的真分数化成小数时，循环节由 1、 4、 2、 8、 5、 7 这六个数字组成，这六个数字还能组成一个恰好有 28 个因数的六位完全立方数 那么，这个六位数的后五位是 _ 【 考点 】 数论综合 【 难度 】 【答案】 21875 【分析】 这个数的数字和为 27，必然为 9 的倍数； 完全立方数由于是三个一样的数 乘出，指数是 3 的倍数，在此基础上逆用因数个数定理， 2 8 2 7 1 (3 1) (6 1) ，显然原数为 36pq 形式，即 23()pq ，且两质数中有一个是 3，且由于 340 64000 ， 34 5 2 0 2 5 4
13、5 1 0 0 0 0 0 ，所以底数只能是在 45100 之间，有可能的只有 23(3 7) 250047 、 23(3 11) 970299 、 23(3 5 ) 421875 16. 甲、乙两人从 A 地，丙从 B 地同时出发，相向而行 当甲、丙相遇时，乙刚好走了全程的 15；此时甲立即掉头向 A 地行走，乙、丙仍按原方向行走当甲、乙相遇时，丙距离 B 地 336 米；三人继续行走，当乙、丙相遇时，甲恰好回到 A 地那么， A、 B 两地之间的距离是 _米 【 考点 】 比例法解行程 【 难度 】 【答案】 720 【分析】 此类行程题，速度比最重要，注意到甲往返路程相同， 而最后乙丙正
14、好相遇，则在甲丙相遇时，乙丙应合走了全程的一半，则在此时刻三人路程比为 7:2:3，即 : : 7 : 2 : 3v v v 甲 乙 丙 ，所以甲乙相遇时，丙走了全程的 3 7 1 3 7()1 0 1 0 5 7 2 1 5 ， 7336 72015五 计算题 （每题 8 分，共 16 分） 17. 计算下列题目，写出简要的计算过程与计算结果： （ 1） 1 1 1 14 12 24 40 （ 2） 6 3 6 5 2 82 5 37 5 7 2 8 5 【 考点 】 分数计算 、裂项 【 难度 】 【答案】 25、 28 【分析】 （ 1）裂项， 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1
15、 1 1 1 1 1 24 1 2 2 4 4 0 2 4 4 6 6 8 8 1 0 2 4 4 6 6 8 8 1 0 5 或通分 ， 1 1 1 1 3 0 1 0 5 3 4 8 24 1 2 2 4 4 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 5 （ 2）提取公因数， 6 3 6 5 2 8 2 8 6 6 2 82 5 3 ( 2 3 ) 5 2 87 5 7 2 8 5 5 7 7 5 18. 解下列方程或方程组，写出简要的解方程过程与方程的解： （ 1） 15432xx（ 2） 3 4 324 3 31xyxy 【 考点 】 解分数方程、解二元 方程组
16、【 难度 】 【答案】 7x 、 45xy【分析】 （ 1） 154 2 ( 1 ) 2 4 3 ( 5 ) 732xx x x x （ 2） + ，得到 9xy ，从而得到 45xy六 解答题 （每题 15 分，共 30 分） 19. 如图，正方形 ABCD 与两个直角三角形 ADE、 BCF 拼成了等腰梯形 ABFE，已知 12AB ，4ED CF （ 1）请求出三角形 ADE 的面积（ 4 分） （ 2）请求出三角形 ABE 的面积（ 4 分） （ 3）请求出 :EGGB （ 4 分） （ 4）请求出阴影部分的总面积（ 3 分） OHGFE D CBA【 考点 】 基本公式、比例模型 【
17、 难度 】 【答案】 24、 72、 1:3、 63 【分析】 （ 1） 11 1 2 4 2 422A D ES A D D E V（ 2） 11 1 2 1 2 7 222ABES A B h V（ 3）由风筝模型， 24 172 3AEDABDSEGGB S VV；或由蝴蝶模型， 4112 3EG EDGB AB （ 4） 14AGEABES EGS EBVV， 11 7 2 1 844A G E A B ESS VV由风筝模型或蝴蝶模型， 53EOOB， 38AOBABES BOS EBVV， 33 7 2 2 788A O B A B ESS VV27 18 2 63 20. 将一个
18、数进行如 下反复四舍五入的操作，从最低位开始，直到某次操作后，只剩最高位，且其它位数都是 0 为止，例如： 1 5 4 6 . 4 7 1 5 4 6 . 5 1 5 4 7 1 5 5 0 1 6 0 0 2 0 0 0 ，记为 1546.47 2000T ； 66T 利用这种操作解决下列问题： （ 1）计算： 234.5T _， 144.5T _（只填空即可，每空 2 分，共 4 分） （ 2）使得 100Tx 的整数 x 有多少个？（ 5 分） （ 3）将一个数直接从第二高位进行一次四舍五入的操作记为 F 操作， 例如： 1487 1000F ； 66F 请问： 1 2 3 9 9 9
19、1 0 0 0T T T T T L和 1 2 3 9 9 9 1 0 0 0F F F F F L作比较，谁更大？大多少？（ 6 分） 【 考点 】 定义新运算 【 难度 】 【答案】 200， 200、 50 个 、 T 大，大 4500 【分析】 （ 1） 2 3 4 .5 2 3 5 2 4 0 2 0 0 ， 1 4 4 .5 1 4 5 1 5 0 2 0 0 （ 2） 三位数： 1 0 0 1 0 0 1 4 0 1 0 0 1 4 4；两位数： 100 9599 ， 50 个 （ 3） 会使 T 操作 与 F 操作结果 不符的原因 就是在 T 的前期操作中使第二高位由 4 变成了 5： 一位数 、两位数 的 T 操作 都 只进行一次操作，和 F 操作必然无区别； 三位数的 T 操作 在个位进十位会出问题的后两位只有 4549，从而使结果比 F 操作大 100，这样的数有 9 5 45 个，共 4500； 1000 的 T 操作与 F 操作无区别，综上， T 操作大 4500
