1、1上杭县官庄中心小学集体备课教案 1 教 学 预 案 调整与补充 课题一：垂直与平行的概念【教学内容】同一平面内两条直线的位置关系：垂直与平行。 （课文第 64 页的例 1，相应的“做一做” ，及练习十一的第 12 题。 ）【教学目标】1、让学生结合生活情境，通过自主探究活动，初步认识平行线、垂线。2、通过讨论交流，使学生独立思考能力与合作精神得到和谐发展。3、在比较分析、综合的观察与思维中渗透分类的思想方法。4、通过观察、操作学习活动，让学生经历认识垂直与平行线的过程，掌握其特征。5、培养学生学以致用的习惯，体会数学的应用与美感，激发学生学习数学的兴趣、增强自信心。【教学重难点】重点：通过学
2、生的自主探究活动，初步认识平行线与垂线。难点：理解永不相交的含义【教学准备】铅笔、小棒、展示板、三角板、直尺、手工纸、挂图学具准备。【教学过程】一、创设情境，引入新课通过创设情境，联系生活，提出问题：两根铅笔落在地上后可能会形成哪些图形？二、探索比较，掌握特征（一）动手操作，反馈展示。2上杭县官庄中心小学集体备课教案 1 教 学 预 案 调整与补充 1、每个同学先独立思考，把可能出现的图形用铅笔摆一摆，摆完后，小组长组织大家把可能出现的图形用小棒摆在展示板上。2、教师巡视，参与讨论，了解情况。3、集中显示典型图形，强化图形表征。（1）展示其中一个小组的展示板。（2）除了展示板上的这几种情况，其
3、他小组还有补充吗？（二）小组讨论交流，探索图形特征。1、整理图形，把其中具有代表性的图形通过电脑课件来展示，并编上序号。这些图形，同学们能不能对它们进行分类呢？可以分成几类？为什么这样分？2、师引导根据研究需要，按照“相交”和“不相交”的标准进行分类。将学生的分类结果画在黑板上。不相交： 相交：3、师： 不相交的两条直线画长一些会怎样？量一量两条相交直线做组成的角分别是多少度？4、由小组同学在原记录单上动手合作操作，并进行讨论、汇报。5、师生共同总结：不相交的两条直线画长一些仍不相交，这两条直线叫平行线，也可以说它们相互平行；相交的两条直线形成的四个角，如果都是 90 度，就说这两条直线相互垂
4、直，其中一条叫另外一条的垂线，这两条直线的焦点叫做垂足。（三）归纳特征，构建新知3上杭县官庄中心小学集体备课教案 1 教 学 预 案 调整与补充 1、通过同学们自己的探索研究，我们发现了在同一平面内，两条直线的相互位置关系的两种不同情况：一种是相交，一种是不相交。2、再次分类，并归纳“平行”与“垂直”的特征，让学生质疑。（揭示课题）3、其实我们天天都在和垂线与平行线打交道。你们看：书本面相邻的两边是互相垂直的，相对的两边是互相平行的。同学们，你们还能找一找、想一想你的身边还有哪些物体的边是互相垂直的，哪些物体的边是互相平行的？找到后快快把你的发现告诉同组的同学4、学生试着说概念师归纳总结并板书
5、。互相平行和互相垂直、垂线和垂足的概念三、解释应用，巩固新知（一） 、折纸1、同学们已经找到了生活中很多的平等线与垂线，那要是给每个同学一张这样的不规则纸，你们能动手折一折，折出垂线与平行线吗？这可有一定难度，愿意接受挑战吗？2、学生动手折垂线，教师巡视，进行个别指导。3、大家都折出垂线了吗？哪个小老师愿意向全班同学展示一下你是怎样折的？4、请在刚才折的基础上，再折一折，使两条折痕互相平行。有困难的，可以和小组同学讨论讨论。5、学生演示。（二） 、拓展练习：贴挂图 69 页 7 题四、全课总结，完善认知。同学们，你觉得这节课里你表现怎样？你有什么收获和体会？ 4上杭县官庄中心小学集体备课教案
6、1 教 学 预 案 调整与补充 五、课后作业：P65 1、2课题二 ：画垂线【教学内容】学习画垂线，认识点到垂线的距离。 （课文第66页的例2、练习十一中的第3、4题的相应小题，第5、6题。 ）【教学目标】 1、使学生明确垂线的重要性质，直线外一点到这条直线间的距离垂线最短。学会用三角板准确的画垂线。2、培养学生良好的学习习惯。初步培养学生空间想象能力。3、通过动手操作活动，使学生经历画垂线的过程，培养学生的作图能力。4、通过活动，让学生从中感受到学习的乐趣，体会到成功的喜悦，从而提高学习的兴趣。【教学重难点】：重点：学会用三角板准确的画垂线。难点：准确的画出垂线。使学生明确垂线的重要性质，直
7、线外一点到这条直线间的距离垂线最短。【教具准备】：三角板、直尺。【教学过程】：一、复习导入：1、回忆一下，你记得什么叫垂直吗？2、看我们的数学书，每两条边都是怎样的？怎样用三角板画垂线呢？这节课我们来学习画垂线。板书课题：画垂线二、探究新知教学垂线的画法。师首先说明画垂线在生活中有广泛的应用，例5上杭县官庄中心小学集体备课教案 1 教 学 预 案 调整与补充 如工人师傅做门、窗，经常要画垂线。他们用角尺在工件上画垂线。最后说明画垂线主要有两种情况：(1)通过直线上的一点画与这条直线垂直的直线。师演示：先横着画一条直线，在直线上点个点，说明要过直线上的这一点画一条垂线。画的方法和步骤：第一步：把
8、三角板的一条直角边与直线重合。第二步：沿着直线向右移动三角板，使直角顶点与直线上的点重合。第三步：沿另一条直角边画一条直角边画一条直线。所画直线就是原直线的垂线。(2)过直线外一点画与这条直线垂直的直线。边板演，边讲解。方法和步骤：第一步：把三角板的一条直角边与直线重合。第二步：沿着直线向右移动三角板，使另一条直角边与直线外的点重合。第三步：沿另一条直角边通过直线外的点画一条直线。所画直线就是原直线的垂线。由学生归纳画垂线的方法。3、理解垂线的性质，建立距离的概念。(1)过 A 点向这条直线画4 条不同长度的线段。(2)测量每条线段的长度。(3)你所画的线段之中，哪一条最短？(4)哪条线段是这
9、条直线的垂线？学生通过用三角板检测得出：从线外一点到这条直线所画的线段中，垂线最短。师指出：从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。三、巩固新知1、68 页第 4 题的第(1)小题画一画。2、69 页 5 题。我们在测定跳远成绩时，怎样测量比较准确呢？为什么？3、69 页 6 题怎样修路最近呢？ 6上杭县官庄中心小学集体备课教案 1 教 学 预 案 调整与补充 你能用一把直尺和一个量角器画一条直线的垂线吗？四、课堂小结：通过学习画垂线，你有什么体会？五、作业：练习画垂线。课题三：画平行线、画长方形。【教学内容】：学习平行线，画长方形的方法。 （课文第67
10、页的例3、练习十一的第3、4（2） （3）题。 ）【教学目标】：1、用三角尺和直尺熟练准确的画出一组平行线。2、会利用画垂线的方法准确的画出长方形。3、通过操作活动，使学生经历画平行线的全过程，培养学生作图的能力。 4、通过活动，让学生从中感受到学习的乐趣，体会到成功的喜悦，从而提高学习的兴趣。【教学重难点】：重点：巩固对平行线的认识，会用三角尺和直尺准确的画出一组平行线。难点：准确的画出垂线和一组平行线。会利用画垂线和画平行线的方法准确的画出长方形。【教具准备】：直尺或三角板。【教学过程】：一、复习导入1、回忆一下，什么叫平行线？2、我们身边哪些物体的边是互相平行的。我们怎么样才能画出一组平
11、行线呢？这节课我们就来学习画平行线。板书课题：画平行线7上杭县官庄中心小学集体备课教案 1 教 学 预 案 调整与补充 二、探究新知1可以用直尺和三角尺画平行线。步骤：（1）用左手固定直尺，用右手将三角尺的一条直角边紧贴着直尺，沿另一条直角边画一条直线。（2）将三角尺紧贴着直尺移动位置，再画出一条直线，这条直线与第一步画出的直线平行。可以用画平行线的方法检验两条直线是不是互相平行。2、大家用自己手中的直尺和三角板自己画一组平行线，然后小组内的同学互相检查，对方画的是否平行。3、小组活动：在你所画的这组平行线之间画几条与平行线垂直的线段，量一量这些线段的长度，你能发现什么？在小组内交流一下全班汇
12、报。小结：平行线间的距离是相等的。4、小组讨论：怎样画一个长 3 厘米、宽 2 厘米的长方形？长方形的对边是互相平行的。相邻的两条边是互相垂直的。可以用垂线或平行线的方法来画。三、巩固新知1、独立画一个边长是 4 厘米的正方形。2、利用所学的画平行线和垂线的方法，自己设计一幅图画。四、课堂小结：通过学习画平行线，你有什么体会五、作业：68 页第 4 题第(2)、(3)小题。【教学后记】课题四：四边形分类、平行四边形、梯形特征8上杭县官庄中心小学集体备课教案 1 教 学 预 案 调整与补充 【教学内容】：四边形分类、关系、平行四边形和梯形的概念（课文第70页的例1）【教学目标】：1、学生理解平行
13、四边形和梯形的概念及特征。2、使学生了解学过的所有四边形之间的关系，并会用集合图表示。3、通过操作活动，使学生经历认识平行四边形和梯形的全过程，掌握它们的特征。 4、通过活动，让学生从中感受到学习的乐趣，体会到成功的喜悦，从而提高学习的兴趣。【教学重难点】：重点：理解平行四边形和梯形的概念及特征。了解学过的所有四边形之间的关系，并会用集合图表示。难点：理解平行四边形和梯形的概念及特征。用集合图表示学过的所有四边形之间的关系。【教具准备】：图形、剪子、七巧板。【教学过程】：一、创设情景 感知图形1、出示校园图（70 页）在我们美丽的校园中，你能找到哪些四边形？2、画出你喜欢的一个四边形。说一说什
14、么样的图形是四边形？展示学生画出的四边形，请学生标出它们的名称。长方形 平行四边形9上杭县官庄中心小学集体备课教案 1 教 学 预 案 调整与补充 四边形 梯形 正方形3、小组交流：从四边形的特点来看，四边形可以分成几类？学生讨论交流。二、自主探索 理解概念1归纳平行四边形和梯形的概念。有什么特点的图形是平行四边形？（两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 ）强调说明：只要四边形的每组对边分别平行，就能确定它的每组对边相等。因此平行四边形的定义是两组对边分别平行的四边形。提问：生活中你见过这样的图形吗？它们的外形像什么？这些图形有几条边？几个角？是什么图形？这几个四边形的边有什么特点？它是平
15、行四边形吗？你们在量这些图形时，是否发现它们都有一个共同的特点？如果有，是什么？只有一组对边平行的四边形叫做梯形。2、现在你有什么问题吗？长方形和正方形是平行四边形吗？为什么？3、用集合图表示四边形之间的关系。我们学过的长方形、正方形、平行四边形、刚刚认识的梯形，你能用这个集合圈来表示他们的关系吗？4、 判断：10上杭县官庄中心小学集体备课教案 1 教 学 预 案 调整与补充 长方形、正文形都是特殊的平行四边形。 （ ）两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。 （ ）有一组对边平行的四边形叫做梯形。 （ ）三、动手操作 巩固新知。1、在梯形里画两条线段，把它分割成三个三角形。你有几种画法？学
16、生展示2、七巧板拼一拼用两块拼一个梯形用三块拼一个梯形用一套七巧板拼一个平行四边形1、下面的图形中有（ ）个大小不同的梯形。2、用两个完全一样的梯形，能拼成一个平行四边形吗？把 1 张梯形纸剪一次，再拼成一个平行四边形。拿一张长方行纸，不对折，剪一次，再拼出一个梯形。四、课堂小结 知情共融11上杭县官庄中心小学集体备课教案 1 教 学 预 案 调整与补充 通过这节课的学习，你有何体会和收获？五、课外延伸 应用新知1、把一个平行四边形剪成两个图形，然后拼成一个三角形，这个三角是什么三角形？有几种剪拼的方法？2、把一张平行四边形的纸剪一下，分成两个梯形，有多少种剪法？【优秀案例】“平行四边形和梯形
17、” 课堂实录教学内容：义务教育课程标准实验教科书数学（四年级上册）教科书 7071 页例1，练习十二相关练习题。知识目标：1、认识平行四边形和梯形，掌握平行四边形和梯形的特征；2、学会四边形分类；概括出长 方形、正方形是特殊的平行四边形，正方形是特殊的长方形的关系；能力目标：培养学生动手操作能力和概括能力， 发展空间思 维能力。情感目标：在小组合作中,培养学生团结合作互助精神，在拼图的过程中感受图形的美。教学重点：掌握平行四边形和梯形的特征。教学难点：理解平行四边形、长 方形、正方形的关系。教学准备：教具：课件，四边形关系图，长方形、正方形、平行四 边形、梯形模具各一个。 学具：三角尺，直尺，
18、量角器。教学过程：一、 回顾旧知，引入新课。12上杭县官庄中心小学集体备课教案 1 教 学 预 案 调整与补充 师：我们以前已学过很多图形了， 请认真观察下面图形它们 是由几条边围成的？（课件出示）生：四条。师：你观察得真仔细。由四条边围 成的这些图形叫四边形。师：在这些四边形中，你最熟悉的是什么 图形？生：长方形，正方形。师：长方形、正方形的边和角各有什么特点？生：长方形的对边相等,对边平行,四个角都是直角。 （板书）生：正方形的四条边都相等，对边 平行，四个角都是直角。 （板书）师：看来同学们对以前的知识掌握得真牢固！正方形是长方形吗？生：是。师：正方形是特殊的长方形，我 们也可以说长方形
19、包含正方形。师： 你知道这两个图形的名称吗？（指课件中的平行四边形和梯形）。生：平行四边形和梯形。师：你们认识得真多，这节课我 们就一起来探究一下平行四 边形和梯形的有关知识。 （板书课题）二、合作学习，探究新知（一）动手操作初步感知平行四边形和梯形的特点。师：平行四边形和梯形又有什么特点呢？现在我们用学具分别量一量它们的边、角各有什么特点，把你的发现像这样写下来。并相互说说你是怎样发现的？四人小组活动开始。生：学生活动，教师巡视。（二）教学平行四边形的特点。1、汇报发现。师：谁来大胆汇报自己的发现？你是怎样知道的？（指名说说平行四边形的特点）13上杭县官庄中心小学集体备课教案 1 教 学 预
20、 案 调整与补充 师：谁还有其它的发现吗?2、验证结论师：刚才有的同学找到平行四边形的两组对边是互想平行的，我们一起来验证吧，请看大屏幕！（大屏幕展示方法：用直尺、三角尺平移验证）3、总结概念。师：（边操作边说）这组对边平行， 这组对边也平行，两 组对边 都平行。师：你们能用自己的话说说怎样的四边形叫“平行四边形”吗？（指名回答）师：请打开课本 71 页，找找课 本是怎么说的，画起来 齐读一遍。揭示概念：课件展示两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 （并板书）4、引导学生找出关键词。师：在这定义中,你认为哪些词语比较重点？生：两组， 平行， 四边形。师：你真会找。我们把重点词读 重音， 齐
21、读一遍。生：学生读。师：下面我们男女同学比赛，看 谁读得好。 （男女分别读）师反问：要想判断一个图形是不是平行四边形，必 须符合什么条件？5、穿插练习。（三）认识梯形1、汇报发现师：梯形的边又有哪些特点呢？生：只有一组对边平行。师：你们都有同样的发现吗？（板书）生：有。2、验证结论14上杭县官庄中心小学集体备课教案 1 教 学 预 案 调整与补充 师：我们一起来验证一下。师：（边操作边说）这组对边不平行， 这组对边平行，只有一组对边平行。3、总结概念。师：你们能用自己的话说说怎样的四边形叫“梯形”吗？师：请打开课本 71 页，找找课 本是怎么说的，画起来 齐读一遍。揭示概念：课件展示只有一组对
22、边平行的四边形叫做梯形。（并板书）4、 引导学生找出关键词。师：在这定义中,你又认为哪些词语比较重点？生：只有一组， 平行 四 边形。师：你找得真准确，我们把重点 词读重音，再 读一遍。师：下面我们来小组比赛，看哪个小 组读得好。师反问：要想判断一个图形是不是梯形，必 须要符合什么条件？5、穿插练习。6、比较平行四边形与梯形有什么不同。师：（指练习中的平行四边形）问：它为什么不是梯形？它其实是个平行四边形，那平行四边形与梯形有什么不同？三、 教学四边形之间的关系。师：我们已经认识了这么多的图形了， 这些图形都是四边形。 （课件出示四边形的集合图）师：我们先看长方形，正方形和平行四 边形的边都有
23、什么共同的特点？生：两组对边都平行。师：那长方形，正方形是特殊的平行四边形吗？（四人小组讨论 ）师：指名汇报。师总结：长方形，正方形是特殊的平行四边形。它 们特殊在哪里？生：四个角都是直角。15上杭县官庄中心小学集体备课教案 1 教 学 预 案 调整与补充 师：梯形有没有两组对边平行？生：没有。师：所以梯形自己为一类。教师总结：所以在四边形这个大家族中展示：四边形集合圈，有平行四边形、梯形、一般四边形 这几个家庭组成展示：平行四边形、梯形集合圈，在平行四边形这个家庭中，包含有长方形这个特殊的小家庭展示：长方形集合圈，长方形 这个小家庭中又包含正方形 这个特殊的成员展示：正方形集合圈。师：现在我
24、们对照课本 71 页的这个集合图，同桌互相 说说这 些四边形之间的关系。生：学生活动。师：谁来说说它们的关系。 （指名 说）四、质疑。师：请打开课本 70-71 页，看书有没有要问老师的呢？五、巩固练习。1、判断：（1） 两组对边分别平行的图形是平行四边形。 （ ） （2） 有一组对边平行的四边形是梯形。 （ ）（3） 平行四边形的两组对边分别平行并且相等。 （ ）（4） 长方形、正方形都是特殊的平行四边形。 （ ）2、找一找生活中的平行四边形和梯形。师：你们判断得真准确。其实平行四 边形和梯形就在我们的身 边，你 们在哪里看到过平行四边形和梯形呢？（指名说说）师：好，老师现在带你们去校园找找
25、，看这美丽的校园哪里有平行四 边形和梯形呢？（主题图）师：谁愿意上来找找？16上杭县官庄中心小学集体备课教案 1 教 学 预 案 调整与补充 师：同学们真会找，我们在生活中也要仔 细观察身边的事物。老师也找到了一些生活中的平行四边和梯形。我 们一起来欣赏一下。 （课件欣赏生活中的平行四边形和梯形）师：我们生活中很多建筑物都要用到我们学过的图形的。你们想不想利用我们学过的图形亲手拼一幅美丽的图画呢？生：想。3、拼图。师：拼图要求：用学过的图形，拼出你 们喜欢的图画。（1）找图形 （2）小组拼图画。 （3）展示作品。生：学生动手拼。师：同学们真能干，能利用我们 学过的图形拼出这么漂亮的 图画，你
26、们的手真巧。在这些美丽的图画中，你最喜欢哪一幅？它是由哪些 图形拼成的？六、总结：谈收获。师：同学们，你觉得这节课里你表 现怎样？你有什么收获和体会？课题五：进一步认识平行四边形和梯形。【教学内容】：认识平行四边形的不稳定性，认识平行四边形的底和高，学习画高，梯形的各部分的名称。课文第71的例2、第72页的“做一做”及练习十二的第13题【教学目标】： 1、通过动手操作，使学生经历认识梯形的底和高的意义和画高的全过程，进一步培养学生的空间观念。2、使学生感受到学习的乐趣，体会到成功的喜悦，从而提高学习的兴趣。17上杭县官庄中心小学集体备课教案 1 教 学 预 案 调整与补充 【教学重难点】：重点
27、：理解平行四边形的特征以及梯形底和高的意义难点：会画平行四边形和梯形的高。【教具准备】：图形，剪子。【教学过程】：一、感受新知1、平行四边形的特性。同学们已经学过三角形，知道三角形具有稳定性的特性，那么平行四边形有什么特征呢？举例：说说哪些物体表面是平行四边形？(1)教师演示。教师拿出一个用四根木条钉成的长方形，两手捏住长方形的两个对角，向相反方向拉，观察两组对边有什么变化？拉成了什么图形？为什么没有变？ (2)动手操作。学生自己把准备长方形框拉成了平行四边形，并动手测量一下两线对边是否还平行。(3)归纳。根据刚才的实验、测量，引导学生概括出：平行四边形具有不稳定性。(4)对比。三角形具有稳定
28、性，不容易变形；平行四边形与三角形不同它容易变形，也就是不稳定性。你能举出例子日常生活中应用平行四边形容易变形这一性质的应用吗？师强调说明：只要四边形每组对边分别平行就能确定它的两组对边相等，因此平行四边形的定义是“两组对边分别平行的四边形” 。二、探究新知1学习平行四边形的底和高。(1)认识平行四边形的底和高。18上杭县官庄中心小学集体备课教案 1 教 学 预 案 调整与补充 (2)找出相对应的底和高。(3)画平行四边形的高。教师讲解后，学生动手画高，72 页“做一做”第 2 题。73 页 1 题。2认识梯形各部分名称。（1） 、结合图说明，说一说梯形个部分的名称。提问：梯形的高是从哪一边到
29、哪一边的垂线？高能不能画在腰上？完成 72 页做一做 2，73 页第 1 题 。在梯形中试画高。再想一想，你怎样区分梯形的底和腰呢？在学生思考的基础上，再次强调：梯形的底和腰是根据对否平行来区分的。（2）认识等腰梯形。小组研究：每组一个等腰梯形，研究它的特点。小组交流汇报。对折后两腰相等，并且重合。用尺子测量后，也同样得到两腰相等的特征。概括。两腰相等的梯形叫做等腰梯形。三、巩固练习1、73 页第 2 题，在点子图上画平行四边形和梯形，分别画出它们的高。2、73 页第 3 题。剪一剪。在平行四边形纸上剪一刀，使剪下的两个图形都是梯形。在梯形纸上剪一刀，使剪下的两个图形有一个是平行四边形。那么另
30、一个图形是什么形呢？四、课堂小结：你对平行四边形和梯形的学习有什么收获和体会？19上杭县官庄中心小学集体备课教案 1 教 学 预 案 调整与补充 五、作业：7476 页 4、8、10 题。【教学后记】课题六：综合练习课【教学内容】：本单元知识的综合练习。 （课文第74-76页的内容）【教学目标】：1、使学生通过实际测量充分感知四边形内角和为 360 度这一规律。2、提高学生综合运用知识解决问题的能力。 。3、通过动手测量，使学生经历充分感知四边形内角和为 360 度这一规律的全过程，并渗透归纳、猜想和验证的数学思想。 4、使学生感悟到数学的神奇和奥妙，增强学好数学的信心。【教学重难点】：感知四
31、边形内角和是 360 度这一规律。【教具准备】：量角器。【教学过程】：一、引发探究师：这节课我们继续来研究四边形。板书课题：平行四边形和梯形。二、探究新知展示一个平行四边形，请学生用量角器测量一下每个角的度数。再把四个角的度数相加，是多少度呢？这是一个四边形，其他的四边形是什么情况呢？20上杭县官庄中心小学集体备课教案 1 教 学 预 案 调整与补充 小组研究，总结规律：1、组内分工测量 75 页 8 题中的每个四边形的各个角的度数。2、汇总填表 75 页 9 题。3、共同讨论总结规律，全班汇报交流。出示图形，小组内可再任意画一个四边形试一试。小结：任意一个四边形四个角的度数之和都是 360
32、度。三、巩固新知1、判断。 （对的画“” ，错的画“” ）（1） 、梯形是特殊的平行四边形。 （ ）（2） 、两个梯形一定可以拼成一个平行四边形。 （ ）（3）平行四边形的对角线相等。 （ ）（4）四边形的内角和是 180 度。 （ ）2、在图中填写合适的四边形名称。并说说它们的内角和各是多少度？3、补充练习：从河里连接一条水管通往水厂，怎样铺水管最近？请画出示意图，并说明理由。四、课堂小结：这节课有什么收获？五、作业：76 页 1012。【教学后记】 【相关链接】神奇的莫比乌斯带公元 1858 年，德国数学家莫比 乌斯（Mobius， 17901868）发现：把一个扭转 180后再两头粘接起
33、来的纸条，具有魔术般的性质。 21上杭县官庄中心小学集体备课教案 1 教 学 预 案 调整与补充 因为，普通纸带具有两个面（即双 侧曲面），一个正面，一个反面，两个面可以涂成不同的颜色；而这样的纸带只有一个面（即单侧曲面），一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘！ 我们把这种由莫比乌斯发现的神奇的单面纸带，称 为“ 莫比乌斯带”。 拿一张白的长纸条，把一面涂成黑色，然后把其中一端翻一个身，如同书上页图那样粘成一个莫比乌斯带。现在像图中那样 用剪刀沿纸带的中央把它剪开。你就会惊奇地发现， 纸带不仅没有一分为 二，反而像图中那样剪出一个两倍长的纸圈！ 有趣的是：新得到的这个较长的纸圈，本身却是
34、一个双 侧曲面，它的两条边界自身虽不打结，但却相互套在一起！ 为了让读 者直观地看到这一不太容易想象出来的事实，我 们可以把上述纸圈，再一次沿中线剪开，这回可真的一分为二了！得到的是两条互相套着的 纸 圈，而原先的两条边界，则分别包含于两条 纸圈之中，只是每条 纸圈本身并不打 结罢了。 莫比乌斯带还有更为奇异的特性。一些在平面上无法解决的 问题，却不可思议地在莫比乌斯带上获得了解决！ 比如在普通空间无法实现的“手套易位问题：人左右两手的手套虽然极为相像，但却有着本质的不同。我们不可能把左手的手套 贴切地戴到右手上去；也不能把右手的手套贴切地戴到左手上来。无论你怎么扭来转去，左手套永远是左手套，
35、右手套也永远是右手套！不 过，倘若你把它搬到莫比乌斯带上来，那么解决起来就易如反掌了。 在自然界有许多物体也类似于手套那样，它 们本身具备完全相像的对称部分，但一个是左手系的，另一个是右手系的，它们之间有着极大的不同。 试画一只“扁平的猫” ，规定这只猫只能在纸面上紧贴着纸行走。现22上杭县官庄中心小学集体备课教案 1 教 学 预 案 调整与补充 在这只猫的头朝右。读者不难 想象，只要 这只猫紧贴着纸面，那么无论它怎么走动，它的头只能朝右。所以我们可以把这只猫称为 “右侧扁平猫”。 再看一看，在单侧的莫比乌 斯带上，扁平猫的遭遇究竟如何呢？画一只“左侧扁平猫” ，它紧贴着莫比乌斯带，走呀走，走
36、呀走，最后竟走成一只“右侧扁平猫” ！ 扁平猫的故事告诉我们：堵塞在一个扭曲了的面上，左、右手系的物体是可以通过扭曲时实现转换的！让我们展开想象的翅膀，设想我们的空间在宇宙的某个边缘，呈现 出莫比乌斯带式的弯曲。那么，有朝一日，我们的星际宇航员会带着左胸腔的心脏出发，却 带着右胸腔的心 脏返回地球呢！瞧，莫比乌斯带是多么的神奇！想必 读者已经注意到，莫比乌斯带具有一条非常明显的边界。 这似乎是一种美中不足。公元 1882 年，另一位德国数学家克莱茵（Klein， 18491925）， 终于找到了一种自我封闭而没有明显边界的模型，称 为“ 克莱茵瓶”。这种怪瓶实际 上可以看作是由一对莫比乌斯带，沿边界粘合而成。因而克莱茵瓶比莫比乌斯带更具一般性。
