1、1 已知数列 na的前 n 项和 nS满足： (1)nna（a 为常数，且 0,1a） （）求 的通项公式； （）设 21nSba，若数列 nb为等比数列，求 a 的值；（）在满足条件（）的情形下，设 11nnnc，数列 nc的前 n 项和为 Tn求证： 123nT解：（） 11(),aS 1,a当 2n时， 1,nnnn1na，即 na是等比数列 naa； （）由（）知，2(1)(3)21nnnbaa，若 nb为等比数列，则有 213,而223,b故 ()aa，解得 ， 再将 3代入得 3nb成立， 所以 1a （III）证明：由（）知 1()3na，所以1113()()3nnnnnc 1
2、13nnnn12()nn， 由 1,33n得 11,33nn所以 2()2()nnc ， 从而 122231()()33n nTc 23111()()()33nn1n即 23nT 2 数列 na中， 12， 1nac（ 是常数， 123n， ， ， ），且 123a， ， 成公比不为 的等比数列。（I）求 c的值；（II）求 na的通项公式。解：（I） 12， c， 32ac，因为 1a， 2， 3成等比数列，所以 ()()c，解得 0或 当 0时， 123a，不符合题意舍去，故 2c （II）当 n 时，由于 21ac， 32， 1()nac，所以 1 (1)()n nc 。又 2， ，故
3、22()3a， ， 当 n=1 时，上式也成立，所以 (n， ，3 已知数列 na中， *11,(),)2nnaN（1）求证：数列 2与 都是等比数列；（2）求数列 na前 2的和2nT；（3）若数列 na前 的和为 2nT，不等式 22643(1)nnTak对 *N恒成立，求 k的最大值。解：（1） 1()2nn， 21na 数列 1321,na是以 1 为首项， 2为公比的等比数列；数列 24是以 为首项， 为公比的等比数列。 （2） 13212421()()2()()nnnnnTaa ()n（3） 2211646431643()3()22nnnn nTakkk当且仅当 时取等号，所以 6
4、4，即 8， 的最大值为484 已知等差数列 na的公差大于 0,且 53,a是方程 04512x的两根,数列 nb的前 n 项的和为 S，且 nb21.（1） 求数列 n， 的通项公式；（2） 记 ac,求证： nc1.解：（） a3， a5是方程 0452x的两根，且数列 na的公差 d0， a3=5， a5=9，公差 .35ad .12)(5nn 又当 n=1 时，有 b1=S1=1 .32,b当 ).2(31),(,211 nbSn nnnn有时数列b n是等比数列， .3,21qb .31nqb （）由（）知 ,3)12(,)(1nnncac .03)1(8)2(3)1(21 nnn
5、nc . 5 已知数列 na的前 项和为 nS，对一切正整数 n，点 ),(nSP都在函数xf2)(的图像上，且过点 ),(P的切线的斜率为 k（1）求数列 n的通项公式（2）若 kab，求数列 nb的前 项和 nT（3）设 ,2, NaxRNxQn ，等差数列 nc的任一项cn，其中 1c是 Q中的最小数， 150c，求 的通项公式.解：（1） 点 ),(nSP都在函数 xf2)(的图像上， 2*()nSN,当 n2时， 1.a当1 时， 13满足上式，所以数列 na的通项公式为 21.na （2）由 xf)(2求导可得 ()2fx过点 ,nSP的切线的斜率为 nk， .4(21)knba.
6、123354721)4nT+（由4，得 23414 )nn （-得： 23 1342)nn nT+-（114)4nn （ ） -（2669nnT（3） ,42,QxNRxnN , QR.又 ncQR，其中 1c是 R中的最小数， 16c.是公差是 4 的倍数， *046()mN.又 105c， *5,解得27.所以 104，设等差数列的公差为 d，则 1046129c ，6(1)26ncn，所以 n的通项公式为 6nc6 已知 nS是数列 na的前 项和， 123,a，且 11320nnSS，其中 *2,N. (1)求数列 n的通项公式 n；(2)求 .解： 1130nnS112()nnSS2
7、()a 又 1,也满足上式， *1naN12()nna（ *N）数列 n是公比为 2，首项为 2的等比数列 1na 12.nS012.1n 12.nna0122.n 10122.n n7 函数 )(xf对任意 xR 都有 f(x)f(1x) .12（1）求 )(1)(2Nnfnf和 的值；（2）数列 ),1(0 nafnfffa 求 数 列满 足 的通项公式。（3）令 nSbbTab nnn 1632,1422321 试比较 Tn与 Sn的大小。解：（1）令 )2(fx的令 )1()11nffnn得（2） ()(0fa又 )0)1( fffn ，两式相加 )0(1()1 fn2*)(41Nna
8、n,1na故 数 列是等差数列（3） bn4122221 131(6nbTn )(36n 1)12()(16nS32nT8、已知数列 na中 123,5，其前 n 项和为 满足 12(3)nnS（1）试求数列 的通项公式（2）令1,nbaT是数列 nb的前 n 项和，证明： 16nT（3）证明:对任意的 10,6m，均存在 Nn0，使得（2）中的 mTn成立解：（1）由 12(3)nnS得 112(3)nnSS1as， 12na，即 1na又 253()， 1()nn11221nnn231321nn （ ）故数列 na的通项公式为 2na （2）11 12 ,()2nnnnb123 12359
9、2nn nnTb 16n（3）证明：由（2）可知 123nnT若 nTm,则得 1nm,化简得 1632n1(0,)60， 1232log()166n m当 23logm，即 015n时 ， 取 即 可 当 (1)6，即 16m即 时 ， 则2l S记 （ ） 的 整 数 部 分 为，取 0s即可 ,综上可知,对任意的 (0,)均存在 0nN使得时（2）中的 nTm成立9 已知数列a n的前 n 项和为 Sn，并且满足 a12,na n1 S nn(n1).（1）求数列 nnaa的 通 项 公 式；（2）设 .,2nnn TT求项 和的 前为 数 列解：（1） )2(,)1(1 aaannns
10、 2, 122等 差所 以（2） 1213, nnnT11224,)(1nnnTT10 已知二次函数 f(x)ax 2bxc 的图象顶点坐标是( ， )，且 f(3)232 14（1）求 yf(x)的表达式，并求出 f(1),f(2)的值；（2）数列 ,nba，若对任意的实数 *1,(Nnxbaxfgxn都 满 足 ，其中 )(xg是定义在实数集 R 上的一个函数，求数列 ,n的通项公式；解：（1） 4123f0)2(,)1(2341)23()(,2 ffxxf aa所 以因 为（2）令 ,01nnn baba21nb则11 已知数列a n满足 a15,a 25,a n1 a n6a n1 (
11、n2 且 nN *)（1）求出所有使数列 成 等 比 数 列 的值，并说明理由；（2）求数列 n的通项公式；（3）求证： ).(211*2Nnaa解：（1） 23,0616,)1( 21 或 nnnaa（2） n23（3）当 k时， 2111,2 894849, )27)3(267(0)237(3414 34212331122 222 22 nnkkkkkkkkk kkkkkkn aaakna 时当 时当证 明12 已 知 数 列 n， b满 足 112,nnnb， 数 列 nb的 前 项 和 为2,nnSTS.（）求数列 nb的通项公式；（）求证： 1nT；（）求证：当 2 时， 271nS
12、 解：（1）由 1nba，得 nb，代入 12nna，得 12()1()nnbb，整理，得 10,从而有 1nb， 1a，1nb是首项为 1，公差为 1 的等差数列， ,n即 nb. （2） 2Sn ， 2112nnTS ，113nT ，1 10222nnnn， 21n1nT. （3） 2n ， 1122122nnnnSSS12212nnTTS.由（2）知 1222nnTT ， 127,，12212nnnSS21nTS 12n71n.13 已知数列 na的首项 132， a，前 项和为 n，且 1、 n、 1S分别是直线l上的点 A、B、C 的横坐标，点 B 分 AC所成的比为 2na，设 1
13、b12log()nnnbab。 判断数列 是否为等比数列，并证明你的结论； 设14nbca，证明： 1nkC。由题意得 1122nnnSa 1()nna数列 是以 12a为首项，以 2 为公比的等比数列。 则 2nnn（ *N）由 及 12log()nnnbab得 1n()nb则114(2)nnca12nn 121 433221 nnkC n 14 已知各项均为正数的数列 na满足 22*10()nnaN且 32a是 、4a的等差中项（1）求数列 na的通项公式 na；（2）若 1122log, nbsbb ，求使 1250ns成立的正整数 n的最小值。解： 21 11()0,()(),nnn
14、naaa 数列 的各项均为正数， 01(2)0na，即 *12()nN 数列 n是以 2 为公比的等比数列。3a 是 4,的等差中项， 43a1118,数列 n的通项公式为 2n（2）由（1）及 12lognba，得 b，（ 6 分）23412, 2nnss 34 1(1)n-得， 2 12()nns 要使 150成立，只需 150n成立，即 25,12ns成立的正整数 n 的最小值为 5。15 已知 0a，且 ，数列 na的前 项和为 nS，它满足条件 1naS.数列nb中， lgnn。（1）求数列 b的前 项和 nT；（2）若对一切 *N都有 1b，求 a的取值范围。解：（1） 1(),.
15、nnaSS 当 时，11a. 当 n2 时， 1nn=1()()nnna，*()aN此时 lgnbal= lgn，12nTb n= 23()lgnaa 设 3ua+ n，2()n 1n1(nn，12().na2)lg(naTa（2）由 11lg()lgnb可得01当 时，由 0a 可得 ， *1(),1nN a对一切 *N都成立， 此时的解为 a. 02当 1时，由 lg 可得 (),1nnn *(),01,a 0对一切 *N都成立，此时的解为 2. 由 01， 2可知，对一切 *nN都有 1nb的 a的取值范围是 102a或 .16 设数列 na的前 n 项和为 Sn=2n2， n为等比数列
16、，且 .)(,121bb（1）求数列 和 b的通项公式；（2）设 nc，求数列 nc的前 n 项和 T。解：（1）：当 1,2;aS时 ,24)1(, 2n时当故 an的通项公式为 ,4dan公 差是即 的等差数列.设 bn的通项公式为 .,1qdbq则故 421211 nnq的 通 项 公 式 为即 （2） ,)(411nnbac4)12(4)32(5314 ,51321nnnTc 两式相减得 .54)6(9 56)4312nn nnn17 设不等式 nxy3,0所表示的平面区域为 nD，记 n内的格点（ x， y）（ 、yz）的个数为 )(f（ N）.（） 求 1， 2的值及 )(f的表达
17、式；（）记 nnfT()，若对于任意 n ，总有 nTm 成立，求实数 m 的取值范围；（） 设 nS为数列 nb的前 项和，其中 nb )(2f，问是否存在正整数 n、t，使1nt 6成立？若存在，求出正整数 ，t；若不存在，请说明理由.解：（） )(f3， )2(f6. 由 x0，0 y nx，得 0 x3，又 N， x1，或 2.当 1，0 2 时，共有 2 个格点；当 2，0 时，共有 个格点. 故 nf3)(. （）由（1）知 T n2)1(9，则 1nT 12)(9n.当 3 时， 1 .又 19 2 3 7，所以 n 27，故 m . （）假设存在满足题意的 和 t，由（1）知
18、nb 3 n8，故 7)18(nS. 则 111)(nnnttS 6.变形得 8)7(81tn 6，即 )78(25tn0.1 （8 ）15.由于 、 t均为正整数，所以 t1. 附: 78nnttbS, 787811nnttbS.当 1t时, 由 61ntbS,得 5n,.当 2t时, 0nt,由 161ntbS,得 1587nt, 不存在.所以 n 1.18 已知二次函数 )(xfy的图像经过坐标原点，其导函数为 .26)(xf数列 na的前 n 项和为 nS，点 ),*Nn均在函数 xfy的图像上.（I）求数列 a的通项公式；（II）设 13nb， nbT是 数 列 的前 n 项和，求使
19、得 20mTn对所有 *Nn都成立的最小正整数 m.解：（I）设这二次函数 baxfabxxf )(,0()(2则 ，由于 )(bxf，得 xxfa23)(,2,3所 以又因为点 )(*fyNnS均 在 函 数 的图像上，所以 .2n当 )1(2)(3)2(,1 nnan时 .56（II）由（I）得知 5)1(6(31nabn).651(2n故 )165(137( nT).1(因此，要使 mNn成 立 的)(20)16(2*，必须且仅须满足 ,201m即 10m， 所以满足要求的最小正整数 m 为 10。 19 数列 bn和a，由下列条件确定：a 10，b 10.当 k2 时，a k和 bk满
20、足下列条件：当 1k1 ,2a02 kkk时 .（1）若 1， 51，分别写出a n、b n的前四项. （2）证明数列a kb k是等比数列.（3）设 n,是满足 b1b 2b n的最大整数时，用 a1、b 1表示 n 满足的条件.解：（1） ;41,321 aa85,52b（2）当 01ek时， )(22111 kkkk babb当 1eka时， .111kkka又 01b， 数列 kb是等比数列.（3）当 b1b 2b n（n2）时，b kb k-1(2kn).由（2）知： 01ka不成立， 021kba.从而对于 2kn 有 ak=ak-1,bk= 1k于是 11an .)21(2.)2
21、1(,)(11 nnn nabbab 若 0na，则 .1nn.,0)21(11 nnn babb这与 是满足 b1b 2b n（n2）的最大整数矛盾.n 是满足 n的最小整数. .20)21(02 11 nnn ababba .log12n 是满足大于 12log的最小整数20 已知函数 )(xf的定义域为 ,0，且同时满足：对任意 1,0x，总有 2)(xf，3)(f； 若 01， 2且 21x，则有 )(21ff （1）求 f的值；（2）试求 )(的最大值；（3）设数列 na的前 项和为 nS，且满足 *)3(2,1 NnaSann，求证： 121 23)()( fff 解：（1）令 0x，则 ，又由题意，有 )0(ff （2）任取 且 21，则 00，所以,从第 4 项起的各项均大于 0,故前 3 项之和最小.且 310(5)32S 52)1(25n
