1、2008 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学一、填空题：本大题共 1 小题，每小题 5 分，共 70 分1若函数 最小正周期为 ，则 .cos()(06yx解： 25T2若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具） ，先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为 4 的概率是 解：基本事件共 66 个，点数和为 4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共 3 个，故 3162P3若将复数 表示为 是虚数单位）的形式，则 1i(,abiRiab解： ， ，因此2ii0,11ab4若集合 ，则 中有 个元素2|(1)37,AxxRAZ解：由 得 ,
2、，2()560(1,6)因此 ，共有 6 个元素0,4,Z5已知向量 和 的夹角为 ， ，则 ab012|,|3ab|5|ab解： = ，2 25A2211034957ab6在平面直角坐标系 中，设 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域， 是xoyDE到原点的距离不大于 1 的点构成的区域，向 中随机投一点，则所投点在 中的概率是 E解：如图：区域 D 表示边长为 4 的正方形的内部（含边界） ，区域 E 表示单位圆及其内部，因此216P8设直线 是曲线 的一条切线，则实数 的值是 bxy21)0(lnxyb解： ，令 得 ，故切点坐标为（2，ln2） ，代入直线方程得 l1l
3、1b7某地区为了解 岁的老人的日平均睡眠时间（单位：708） ，h随机选择了 50 位老人进行调查，下表是这 50 位老人睡眠时间的频率分布表：在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的 S 的值为 解：由算法流程图可知 S 为 5 组数据中的组中值（ ）与对应频率（ ）之积的和，iGiF12345SGFGF.012.06.547.028.569如图，在平面直角坐标系 中，设三角形 的顶点分别为 ，点xoyABC)0,(,),(cCbBaA在线段 AO 上的一点（异于端点） ，这里 均为非零实数，(0,)Pp pcba,设直线分别与边 交于点 ，某同学已正确求得直线 的CB,AB,
4、FE, OE方程为 ，请你完成直线 的方程：011yapxcb( ) 。序号 i分组（睡眠时间）组中值（）iG频数（人数）频率（ ）iF1 4,5).6 0.122 6103 ,7).20 .44 8510 025 ,9.4 .8开始S0输入 Gi，F ii1S S GiFii 5i i1NY输出 S结束AB CxyPOF E解：画草图，由对称性可猜想填 事实上，由截距式可得直线 AB： ，直线 CP：1cb 1xyba，两式相减得 ，显然直线 AB 与 CP 的交点 F 满足此方程，1xycp0xypa又原点 O 也满足此方程，故为所求直线 OF 的方程10将全体正整数排成一个三角形数阵：按
5、照以上排列的规律，第 行（ ）从左向右的第 3 个数为 n3解：前 n1 行共有正整数 12（n1）个，即 个，2n因此第 n 行第 3 个数是全体正整数中第 3 个，即为 22611设 为正实数，满足 ，则 的最小值是 ,xyz0xyz2yxz解：由 得 ，代入 得 ，230322296344zxz当且仅当 3 时取“” xz12在平面直角坐标系 中，椭圆 的焦距为 2c，以 O 为圆心， 为半径Oy)0(12bayx a作圆 ，若过 作圆 的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为 M20aPc， M解：设切线 PA、PB 互相垂直，又半径 OA 垂直于 PA，所以OAP是等腰直角三角形，故 ，
6、解得 2ac2cea13满足条件 的三角形 的面积的最大值 BCA, A12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15解：设 BC ，则 AC ，根据面积公式得 = ，x2xABCS 21sin1cos2Bx根据余弦定理得 ，代入上式得24cosABCx24=ABCS 2218416xx由三角形三边关系有 解得 ，2x2x故当 时 取最大值21,3xABCS128614设函数 ，若对于任意的 都有 成立，则实数 的()()faxR1,x0)(xfa值为 解：若 ，则不论 取何值， 显然成立；0x0fx当 即 时， 可化为，(,13()1a231ax设 ，则 ， 所以 在区间 上
7、单调递增，在区间23gx 42xgg0,上单调递减，因此 ，从而 ；1,max124a当 即 时， 可化为 ，0x1,3()0f231x 412xg0在区间 上单调递增，因此 ，从而 ，综上g, ma4ngxa二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15如图，在平面直角坐标系 中，以 轴为始边作两个锐角 ，它们的终边分别交单位xOyx，圆于 两点已知 两点的横坐标分别是 ， AB， AB， 2105（1）求 的值； （2）求 的值tan() BA xyOABCDEFBCDAOP解：（1）由已知条件即三角函数的定义可知 ，
8、25cos,cs10因 故 ，从而为 锐 角 ， sin027in同理可得 ， 因此 .25i1co1ta,tn2所以 = ;tan()17tant32A（2） ,ta(2)ta()11(3)0,02,又 故从而由 得 .tan(2)416如图，在四面体 中， ，点 分别是 的中点ABCDADB， E， AD，求证：（1）直线 面 ；（2）平面 面/EFFCC证： （1）E,F 分别是 的中点，EF 是ABD 的中位线，EFAD，EF 面 ACD，AD 面 ACD，直线 EF面ACD；（2）ADBD，EFAD，EFBD，CB=CD，F 是的中点，CFBD又 EFCF=F, BD面 EFC，BD
9、 面 BCD，面 面CBD17如图，某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的两个顶点 A，B 及 CD 的中点 P处AB20km ，BC10km为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B 等距的一点 O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道 AO，BO，PO记铺设管道的总长度为 ykm（1）按下列要求建立函数关系式：（）设 （rad ） ，将 表示成 的函数；BAOy（）设 （km） ，将 表示成 的函数； （2）请你选用（1）中的Pxx一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。解：（）由条件知 PQ 垂直平分 AB，若BAO= (rad)
10、，则 , 0cosAQO故 ，又 OP ，10cosOB10tan所以 ， 10tancosyAP所求函数关系式为 2iy4若 OP= (km) ，则 OQ10 ，所以 OA =OB=xx22100xx所求函数关系式为 20y（）选择函数模型， 2 21cossin1sincscoiA令 0 得 sin ，因为 ，所以 = ，y2046当 时， ， 是 的减函数；,6y当 时， ， 是 的增函数，所以当 = 时， 。,406min103y这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离 AB 边 km 处。18在平面直角坐标系 中，记二次函数 （ ）与两坐标轴有xOy2()fxbxR
11、三个交点经过三个交点的圆记为 C（1）求实数 b 的取值范围；（2）求圆 的方程；C（3）问圆 是否经过定点（其坐标与 的无关）？请证明你的结论b解：本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法（）令 ，得抛物线与 轴交点是 ；0xy0,令 ，由题意 且 ，解得 且 20fxb0b1b0（）设所求圆的一般方程为 2x0yDEF令 得 这与 是同一个方程，故 0y2xDF2,DFb令 得 ，此方程有一个根为 ，代入得出 0Eyb1b所以圆 的方程为 .C2(1)0xy（）圆 必过定点，证明如下：假设圆 C 过定点 ，将该点的坐标代入圆 C 的方程，00(,),)yb不 依 赖 于并变形为 （
12、*）20(1xy为使（*）式对所有满足 的 都成立，必须有 ，结合（*）式得)b01y，解得200xy002 1xxyy， ，或， ，经检验知，点 均在圆 上，因此圆 过定点。(,1)2,C19 （1）设 是各项均不为零的 （ ）项等差数列，且公差 ，若将此数列删na n4 0d去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列（i）当 时，求 的数值；41ad（ii）求 的所有可能值n（2）求证：对于给定的正整数 ( )，存在一个各项及公差均不为零的等差数列n4，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列12b， ， ， n解：（1）当 n=4 时, 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连
13、续三项成等比数1234,a列，则推出 d=0。若删去 ，则 ，即 化简得 ，得22314211()(3)dad140ad14a若删去 ，则 ，即 化简得 ，得3a214a21111综上，得 或 。1d当 n=5 时, 中同样不可能删去 ，否则出现连续三项。12345,a1245,a若删去 ，则 ，即 化简得 ，因为3a1524a111()()3)adad20，所以 不能删去；0d当 n6 时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列 中，由于不12321,nna能删去首项或末项，若删去 ，则必有 ，这与 矛盾；同样若删去 也有2a132nna0d1，这与 矛盾；若删去 中任意一个，则必有 ，这与1
14、32nna0d, 12nn矛盾。 (或者说：当 n6 时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)0d综上所述， 。4（2）假设对于某个正整数 n，存在一个公差为 d 的 n 项等差数列 ，nb,.21其中 （ ）为任意三项成等比数列，则 ，11,xyzb01xyz11yxz即 ，化简得 （*）21()()()dbd 22()()yxzzd由 知， 与 同时为 0 或同时不为 01z当 与 同时为 0 时，有 与题设矛盾。2yxzyz故 与 同时不为 0，所以由（*）得221byxzd因为 ，且 x、y、z 为整数，所以上式右边为有理数，从而 为有理数。01xyzn 1bd于是，对于任意的正
15、整数 ，只要 为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。)4(1bd例如n项数列1， ， ， 满足要求。12()2n20已知函数 ， （ 为常数） 函数 定义为：对每个11()3xpf22()3xpf12,Rp()fx给定的实数 ， 122,()()()ffff若若（1）求 对所有实数 成立的充分必要条件（用 表示） ；1()fxx12,p（2）设 是两个实数，满足 ，且 若 ，求证：函数 在区间,abab12,(,)pab()fb()fx上的单调增区间的长度之和为 （闭区间 的长度定义为 ）, mnnm解：（1）由 的定义可知， （对所有实数 ）等价于()fx1()fxx（对所有实数 ）这
16、又等价于 ，即12123ppAOyx(a,f(a)(b,f(b)图 1Oyx(a,f(a) (b,f(b)(x0,y0)(p2,2)(p1,1)图 2对所有实数 均成立. （*）123log23xpx由于 的最大值为 ，21212()()()xppxR12p故（*）等价于 ，即 ，这就是所求的充分必要条件133log（2）分两种情形讨论（i）当 时，由（1）知 （对所有实数 ）123plog1()fx,xab则由 及 易知 ， fafbpb2b再由 的单调性可知，111,()3px函数 在区间 上的单调增区间的长度f,ab为 （参见示意图 1）2b（ii） 时，不妨设 ，则 ，于是13plog
17、12,p213logp当 时，有 ，从而 ；x11()3()xxff 1()fx当 时，有2 31212122log()ppppxpfA从而 ；()fx当 时， ，及 ，由方程12p11()3xpf22()3pxf123xppx解得 图象交点的横坐标为()fx与1203log显然 ，12212()pxpp这表明 在 与 之间。由易知0101022(),()pxffx综上可知，在区间 上， （参见示意图 2）,ab012(),()axff b故由函数 及 的单调性可知， 在区间 上的单调增区间的长度之和为1()fx2f ()f,，由于 ，即 ，得012()()xpb()fab123pabp3lo
18、g2故由、得 01123()()logaxp综合（i） （ii）可知， 在区间 上的单调增区间的长度和为 。f,ab2b2008 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学 附 加 题21：从 A，B，C，D 四个中选做 2 个，每题 10 分，共 20 分A选修 41 几何证明选讲如图，设ABC 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线交于点 E，BAC 的平分线与 BC 交于点 D求证： 2EA证明：如图，因为 是圆的切线，所以， ,BCE又因为 是 的平分线，D所以 A从而 ACD因为 , EBEACE所以 ,故 .D因为 是圆的切线，所以由切割线定理知,A, 而 ,2C所以 EBB
19、选修 42 矩阵与变换在平面直角坐标系 中，设椭圆 在矩阵 对应的变换作用下得到曲线 F，求 FxOy241xy2 00 1的方程解：设 是椭圆上任意一点，点 在矩阵 对应的变换下变为点0(,)P0(,)PA则有 xy，即 ，所以002 1xy02xy02xy又因为点 在椭圆上，故 ，从而P204120()1所以，曲线 的方程是 FxyB C EDAC选修 44 参数方程与极坐标在平面直角坐标系 中，点 是椭圆 上的一个动点，求 的最大值xOy()Pxy， 213xySxy解： 因椭圆 的参数方程为213cos (in为 参 数 ）故可设动点 的坐标为 ，其中 .P(3cs,） 02因此 1o
20、in2(cosin)si()3Sxy所以，当 时， 取最大值 26SD选修 45 不等式证明选讲设 a，b，c 为正实数，求证： 3312abc+证明：因为 为正实数，由平均不等式可得, 33 311abcabcA即 331abca所以 ，cb而 223cabaA所以 3312abc+22 【必做题】如图，设动点 P 在棱长为 1 的正方体 的对角线 上，记1-ABCD1BD1DPB当 为钝角时，求 的取值范围AC解：由题设可知，以 、 、 为单位正交基底，DAC1建立如图所示的空间直角坐标系 ，xyz则有 , , ,(10)()B(0)(,)由 ，得 ，所以D11PDB1(,)(,)(,1)
21、PA0C显然 不是平角，所以 为钝角等价于APC，则等价于coscs,AP 0PAC即 ，得2(1)()1()(1)313因此， 的取值范围是 ,323 【必做题】 请先阅读：在等式 （ ）的两边求导，得： ，2cos1xxR2(cos)(cs1) xx由求导法则，得 ，化简得等式： (in)4cos(in) xAinoinA（1）利用上题的想法（或其他方法） ，结合等式 （ ，012(1+=CCnxx R正整数 ） ，证明： 2n 12(1)nknx（2）对于正整数 ，求证：3（i） ； （ ii） ； （iii ） 1()C0nknk21()C0nknk102CnnkkxyzCBADD1
22、C1B1A1P证明：（1）在等式 两边对 求导得012(1+x)=CCn nnxx 121()nn 移项得 （*）112()nnkxx（2） （i）在（*）式中，令 ，整理得 1()0nknkC所以 1()0nknkC（ii）由（1）知 12121(),3nnnxxCx 两边对 求导，得x 32() ()nnnxA在上式中，令 12320(1)(1)nnnCCA即 ，22(1)(0nknk亦即 （1） 22()nkknkC又由（i）知 （2）1()0nknk由（1）+（2）得 21()Cknk（iii ）将等式 两边在 上对 积分02(x)=n nnxx 0,1x110120(C)nndd由微积分基本定理，得 1100)(knkxx所以 102nnkkC
