1、1广东省各市 2015 年高考一模数学理试题分类汇编解析几何一、选择题1、（2015 届广州市）直线 10xay与圆 2214xy的位置关系是A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定2、（2015 届江门市）双曲线 C： 42的两条渐近线夹角（锐角）为 ，则 tanA 158B 815C3D 343、（2015 届揭阳市）已知双曲线21xyab(0,)b的一条渐近线的斜率为12，则该双曲线的离心率为A. B. 5 C.2 D. 524、（2015 届茂名市）以点（3，1）为圆心且与直线 34xy9 相切的圆的方程是（ ）A、22()()xy1 B、22()(1)x1 C、 2 D、
2、y25、（2015 届梅州市）动圆 M 经过双曲线213x的左焦点且与直线 x2 相切，则圆心 M 的轨迹方程是A、2y8 x B、2y8 C、2y4 D、2y46、（2015 届汕头市）若双曲线的标准方程为18x，则它的渐近线方程为（ ）A 20xy B 20y C 20y D 20xy7、（2015 届湛江市）抛物线 8x的焦点 F到直线 :l1x的距离是（ ）A52B 2 C 2 D328、（2015 届中山市）设抛物线的顶点在原点,准线方程为 -,x则抛物线的方程是( ) 2A.28yxB. 28yxC. 24yxD.24yx选择题参考答案1、B 2、D 3、D 4、A 5、B 6、A
3、 7、B 8、A二、填空题1、（2015 届江门市）已知抛物线 C： xy2的焦点为 F， P是 C上一点，若 P在第一象限， 8|PF，则点 的坐标为 2、（2015 届茂名市）已知 A，B 为椭圆21(0)xyab学 科 网长轴的两个顶点，M，N 是椭圆上关于 x 轴对称的两点，直线 AM，BN 的斜率分别为 12,k，且 120，若 12|k的最小值为 1，则椭圆的离心率为3、（2015 届梅州市）以 F1（1,0）、F2（1,0）为焦点，且经过点 M（1，3）的椭圆的标准方程为4、（2015 届深圳市）已知圆 C： 0582ayx经过抛物线 E： yx42的焦点，则抛物线 E 的准线与
4、圆 C 相交所得弦长为 5、（2015 届佛山市）已知点 ,0A、 ,4B到直线 l: 10xmy的距离相等,则实数 m的值为_填空题参考答案1、 )34 ,6( 2、 3、142yx4、 6 5、12或三、解答题1、（2015 届广州市）已知椭圆 1C的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线2:1xCy的顶点，直线 20xy与椭圆 交于 A， B两点，且点 A的坐标为 (,1)，点 P是椭圆 1上异于点 A, B的任意一点，点 Q满足 0P， 0Q，且 ， B， Q三点不共线.求椭圆 1C的方程；求点 Q的轨迹方程；求 AB面积的最大值及此时点 的坐标.32、（2015 届江门市）平面直角坐标系
5、 xOy中，椭圆 ：12byax（ 0a）的离心率为36，焦点为 1F、 2，直线 l ： 02经过焦点 2F，并与 相交于 A、 B两点求 的方程；在 上是否存在 C、 D两点，满足 ABC/， D1？若存在，求直线 CD的方程；若不存在，说明理由3、（2015 届揭阳市）在平面直角坐标系 xoy中，已知点 (0)， ，点 B在直线 1:ly上，点M满足 /BOAur， BMAurr，点 的轨迹为曲线 C.（1）求 C的方程；（2）设直线 2:lykxm与曲线 C有唯一公共点 P，且与直线 1:ly相交于点 Q,试探究，在坐标平面内是否存在点 N，使得以 Q为直径的圆恒过点 N？若存在，求出
6、点 N的坐标，若不存在，说明理由.4、（2015 届茂名市）已知 F（0,1），直线 l：y1，P 为平面上的动点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 Q，且（1）求动点 P 的轨迹 C 的方程。（2）设 M 为直线 l1：y m（m2）上的任意一点，过点 M 作轨迹 C 的两条切线 MA，MB，切点分别为，B，试探究直线 l1 上是否存在点 M，使得 MAB 为直角三角形？若存在，有几个这样的点，若不存在，请说明理由。5、（2015 届梅州市）已知抛物线 C：2(0)ypx的焦点为 F，A 为 C 上异于原点的任意一点，过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B，交 x 轴于点 D，且有丨
7、 FA|FD|，当点 A 的横坐标为 3 时，ADF 为正三角形。(1) 求 C 的方程,(2) 若直线 l1/l，且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E,证明直线 AE 过定点，并求出定点坐标 ；ABE 的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由。6、（2015 届汕头市）在平面直角坐标系 xy中，已知动点 到两个定点 1F2,0，42F,0的距离的和为定值 41求点 运动所成轨迹 C的方程；设 为坐标原点，若点 A在轨迹 上，点 在直线 2y上，且 A，试判断直线A与圆2xy的位置关系，并证明你的结论7、（2015 届深圳市）已知椭圆 :E21(0)xyab的离心率
8、为2，过左焦点倾斜角为45的直线被椭圆截得的弦长为43（1）求椭圆 E的方程；（2）若动直线 l与椭圆 有且只有一个公共点，过点 1,0M作 l的垂线垂足为 Q，求点 的轨迹方程8、（2015 届湛江市）如图，已知椭圆 C的中心在原点，焦点在 x轴上，离心率2e， F是右焦点， A是右顶点， 是椭圆上一点， Fx轴，21求椭圆 C的方程；2设直线 :lxty是椭圆 C的一条切线，点 12,y，点 2,y是切线 l上两个点，证明：当 t、 变化时，以 为直径的圆过 x轴上的 定点，并求出定点坐标59、（2015 届佛山市）已知曲线 E:21xym.() 若曲线 E为双曲线,求实数 的取值范围；(
9、) 已知 4m, 10A和曲线 C:26xy.若 P是曲线 C上任意一点,线段 PA的垂直平分线为 l,试判断 l与曲线 的位置关系,并证明你的结论.解答题参考答案1、（1）解法 1： 双曲线2:1xCy的顶点为 1(2,0)F, (,), 1 分 椭圆 C两焦点分别为 1(,0)F, 2(,). 设椭圆 1方程为 2byaxa， 椭圆 过点 A(,1)， 1224F，得 2. 2 分 ba. 3 分 椭圆 1C的方程为 214xy. 4 分解法 2: 双曲线2:的顶点为 1(2,0)F, (,), 1 分 椭圆 1两焦点分别为 1(,0)F, 2,. 设椭圆 1C方程为 2byaxa， 椭圆
10、 过点 A(,1)， 2ab. 2 分. , 3 分由解得 24, 2.6 椭圆 1C的方程为 214xy. 4 分（2）解法 1：设点 ),(Q，点 ),(1xP，由 A(,)及椭圆 1关于原点对称可得 B(2,)， 2xy， 11(,Axy，(,)BQ， )BP.由 0A, 得 11()2()0xy， 5 分即 1(2)(xy. 同理, 由 BQP, 得 11)()xy. 6 分 得 221()(y. 7 分由于点 P在椭圆 1C上, 则 4x，得22114xy,代入式得 22()()yy. 当210y时，有25x， 当 ，则点 (,1)P或 (,),此时点 Q对应的坐标分别为 (2,1)
11、或(2,)，其坐标也满足方程2xy. 8 分当点 与点 A重合时，即点 (,)，由得 23x，解方程组25,3xy得点 Q的坐标为 ,1或,.同理, 当点 P与点 B重合时，可得点 的坐标为 2,或,2.点 Q的轨迹方程为 25xy, 除去四个点 ,1, ,1,2,. 9 分7解法 2：设点 ),(yxQ，点 ),(1yxP，由 A(,1及椭圆 1C关于原点对称可得 B(2,1)， 0P， 0B， AQ， P.112yx2x， 5 分11. 6 分 得 122yx. (*) 7 分 点 P在椭圆 1C上, 214xy，得2211x,代入(*)式得21yx，即2yx, 化简得 25xy. 若点
12、(,)P或 (,), 此时点 Q对应的坐标分别为 (,1)或2,1，其坐标也满足方程25xy. 8 分当点 与点 A重合时，即点 P(,1)，由得 23x，解方程组25,3xy得点 Q的坐标为 ,或,.同理, 当点 P与点 B重合时，可得点 的坐标为 2,1或,2.点 Q的轨迹方程为 25xy, 除去四个点 , ,1,2,. 9 分(3) 解法：点 Q,xy到直线 :AB20xy的距离为23xy.8 ABQ的面积为221()(1)23xyS10 分xy2. 11 分而2()4xy（当且仅当2yx时等号成立）22225ySxyx 2. 12 分当且仅当x时, 等号成立.由2,5yx解得2,xy或
13、2,.xy13 分 ABQ的面积最大值为2, 此时,点 Q的坐标为,2或,2.14 分解法：由于 2213，故当点 到直线 的距离最大时， AB的面积最大1分设与直线 AB平行的直线为 20xym，由20,5xym消去 ，得225450c， 由 223，解得 1分若5m，则 y，x；若52m，则 y，2x1分故当点 Q的坐标为2,或,时， ABQ的面积最大，其值为92215SAB 1分2、依题意 )0 ,(2F， c2 分，由 36ace得 3 分2cab，椭圆 的方程为162yx4 分（方法一）若存在满足条件的直线 CD， AB/， 1ABCDk，设直线 CD的方程为 mxy5 分由 xy1
14、266 分，得 06)(322mx7 分0)3(422m， 01296)3(42m（*）8 分设 ) ,(1yxC， ) ,(2yxD，则 21x， 421x9 分由已知 F1，若线段 C的中点为 E，则 CDF1，11CDEFk10 分)0 ,2(1，)2 ,(1yxE即)4 ,3(m11 分由 431mkEF12 分，解得 413 分时， 096296，与（*）矛盾，不存在满足条件的直线 CD14 分（方法二）假设存在 ) ,(1yxC， ) ,(2yxD，线段 的中点为 ) ,(0yxE，则2 ,2010x，121x5 分10由 12621yx两式相减得：0)(21)(6121212 y
15、yxx7 分，代入、化简得：030y8 分由已知 DFC1，则 CE1，11CDEFk9 分由 201xykEF得， 20xy 10 分由解得 1,3，即 )1,3(11 分直线 CD 的方程为： )4(xy12 分联立 4126xy得 0422x13 分 962，方程（组）无解，不存在满足条件的直线 CD14 分3、解：(1)设 (,)Mxy,由 /BOAur得 (,1)x,-1 分又 (01)A， ， 1)r, 0,y, (,2)ABxur.-3 分由 Bur得 (rr即 (,2)(,0xy24xy，曲线 C的方程式为 .-5 分（2）解法 1：由曲线 C 关于 y轴对称可知，若存在点 N
16、，使得以 PQ为直径的圆恒过点 N，则点 N必在 y轴上，设 (0,)Nn，-6 分又设点20(,)4xP，由直线 2:lykxm与曲线 C有唯一公共点 P知，直线 2l与曲线 C相切，由21y得， 01|x，-7 分11直线 2l的方程为200()4xyx，-8 分令 1y得20x， Q点的坐标为02(,1)x，-9 分2002(,),(,1)4xNPnNn-10 分点 在以 为直径的圆上，222000(1)(1)0(*)44xxxPQnn-12 分要使方程 (*)对 0x恒成立，必须有2解得 1，-13 分在坐标平面内存在点 N，使得以 PQ为直径的圆恒过点 N，其坐标为 (0,1)-14
17、 分解法 2：设点 0(,)Pxy，由 2:lkxm与曲线 C有唯一公共点 P知，直线 2l与曲线 C相切，由14y得， 01|x，-6 分直线 2l的方程为0()2y，-7 分令 1y得0(1)x， Q点的坐标为02(1),yx，-8 分以 PQ为直径的圆方程为：000()()()yyx-10 分分别令 02x和 0，由点 P在曲线 C上得 01y，将 ,y的值分别代入得： (1)(2)yx-(1)()x-联立解得0,1.y或,.，-12 分在坐标平面内若存在点 N，使得以 PQ为直径的圆恒过点 N，则点 必为 (0,1)或 ,)，12将 (0,1)的坐标代入式得，式，左边=002(1)2(
18、)yyx0()2(1)0y=右边，将 (,1)的坐标代入式得，式，左边=0002(1)()yx不恒等于 0，-13 分在坐标平面内是存在点 N，使得以 PQ为直径的圆恒过点 N，点 坐标为为 (0,1)-14 分4、135、解：（1）由题意知(,0)2PF，设 (,)0Dt，则 FD的中点为2(,0)4pt，因为 |FAD，由抛物线的定义得：3|2pt，解得 3tp或 t（舍去） . 2 分由 是 正 三 角 形AF,可得34pt，解得 2p.所以抛物线 C的方程为2yx. 4 分 14（2）由（1）知 (1,0)F.设 0(,)(0)DAxyx，因为 |FAD，则 |D，由 ,得 2x，故
19、0(2,)x，故直线 AB的斜率为0AByk， 5 分 因为直线 1l和直线 平行，设直线 1l的方程为02yxb，代入抛物线方程得208by由题意方程的判别式20643y，得 02by.代入解得200,xy.设 (,)Ex，则 04E，20Ey. 6 分 当204y时，00024EABykyx，可得直线 E的方程为002()4yx， 7 分由204yx，整理可得02(1)，直线 A恒过点 (1,)F. 8 分当20y时，直线 E的方程为 1x，过点 (,0)F，所以直线 过定点 (,0). 9 分由知，直线 AE过焦点 (1,)F，.4),4(),( 02020 xyEyxA15由抛物线的定
20、义得00011|()()2AEFxx10 分 设直线 的方程为 +1xmy.因为点 0(,)Ay在直线 AE 上，故0my，设 1(,)Bxy，直线 AB的方程为 002x，由于 0，可得002xy. 11 分 代入抛物线方程得20084x，所以010y，可求得108y，104x， 12 分 所以点 B到直线 AE的距离为0024|()|1xmyd04(1)x01()x.则 ABE的面积00()(2)6Sx， 13 分当且仅当01x,即 0时等号成立.所以 的面积的最小值为 16. 14 分6、解：（1）由题意知： 24121FPF(1 分)所以，由椭圆的定义可知：动点 运动的轨迹是: 以 1
21、， 为焦点，长轴长为 4，焦距为 2的椭圆，且短半轴长为 22所以轨迹 C的方程为14xy学 科 网(4 分)（2）直线 AB与圆 22相切。(5 分)证明如下：设点 nm,， ,t，显然其中 0m,16因为 OAB，所以 0OA，即 02ntm，所以 mnt2(6 分)当直线 的斜率不存在时，即 t时，t，代入椭圆方程可得：422tt，解得： 2t，此时直线 AB的方程为 x或 ，显然与圆 22yx相切。(8 分)当直线 的斜率存在，即 tm时，直线 AB的方程为：)(2tmny，即 02)()2(tnytxn(9 分)此时，圆心 )0,(O到直线 AB的距离22)()(tmd(10 分)又
22、因为 42nm， mnt2所以2222 424)()( mnmntd=4222mn=4282= 21684，所以，直线 AB与圆 22yx相切。综上，直线 AB与圆 22yx相切。(14 分)7、解：（1）因为椭圆 E的离心率为 ，所以2ab，解得 2ab， 故椭圆 的方程可设为21xyb，则椭圆 E的右焦点坐标为 ,0， 过右焦点倾斜角为1745的直线方程为 :lyxb 2 分设直线 l与椭圆 E的交点记为 ,AB，由21,xyb消去 ，得 2340xb，解得 1240,3bx， 因为214bx，解得 1 故椭圆 E的方程为21xy 4 分（2）（法一）（i）当切线 l的斜率存在且不为 0时
23、，设 l的方程为 ykxm，联立直线 l和椭圆 E的方程，得21ykxm， 5 分消去 y并整理，得 22140kxk， 6 分因为直线 l和椭圆 有且仅有一个交点，222164m， 7 分化简并整理，得 1k 8 分因为直线 MQ与 l垂直，所以直线 MQ的方程为：1yxk，联立1,yxkm解得21,kmxy9 分2222222 2(1)()1()1()kkmxyk k，把2k代入上式得2xy 11 分（ii）当切线 l的斜率为 0时，此时 (1,)Q，符合式 12 分（iii ）当切线 的斜率不存在时，此时 2,0 或 (,)，符合式 13 分综上所述，点 Q的轨迹方程为2xy 14 分1
24、8（法二）：设点 Q的坐标为 0(,)xy，（i）当切线 l的斜率存在且不为 时，设 l的方程为 ykxm，同解法一，得 21km， 8 分因为直线 MQ与 l垂直，所以直线 MQ的方程为：1yxk，联立1,yxkm解得02201,xky 9 分代入并整理，有 42220 0110yxxx，10 分即 220 0yx，由点 Q与点 M不重合， 22200yxyx，20xy， 11 分（ii）当切线 l的斜率为 0时，此时 (1,)Q，符合式 12 分（iii ）当切线 的斜率不存在时，此时 2,0 或 (,)，符合式 13 分综上所述，点 Q的轨迹方程为2xy 14 分（法三）：设点 的坐标为
25、 0(,)，（i）当切线 l的斜率存在且不为 时，设 l的方程为 00()ykx，整理，得 l的方程为0ykxy，5 分联立直线 l和椭圆 E的方程，得021ykxy， 消去 并整理，得 220014kxkyxykx， 6 分因为直线 l和椭圆 有且仅有一个交点， 2 2220 068110， 7 分化简并整理，得 0yxky， 8 分19因为 MQ与直线 l垂直，有01xky， 9 分代入并整理，有 422200001xx，10 分即 220 1yxyx，点 Q与点 不重合， 222000xyx，20xy， 11 分（ii）当切线 l的斜率为 时，此时 (1,)Q，符合式 12 分（iii
26、）当切线 的斜率不存在时，此时 2,0 或 (,)，符合式 13 分综上所述，点 Q的轨迹方程为2xy 14 分【说明】本题主要考查轨迹方程和椭圆的定义、直线方程、直线与椭圆相切的位置关系，弦长问题，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想8、209、【解析】() 因为曲线 E为双曲线,所以 10m,解得 1m,所以实数 m的取值范围为 01.4 分()结论: l与曲线 相切.5 分证明:当 4时,曲线 E为2143xy,即241xy,设 0Pxy,其中 2006,6 分线段 A的中点为1,xyQ,直线 AP的斜率为01ykx,7 分当 0y时，直线 l与曲线 E相切成立. 当 0时，直线 l的方程为000122yx,即2001xyy,9 分21因为 20016xy,所以20014xyx,所以0017xyy,10 分代入234得2200734,化简得 2200 0018141xyxxxy,12 分即2 207876,所以 2200644xxx所以直线 l与曲线 E相切.14 分说明:利用参数方程求解正确同等给分 !
