1、1导数与不等式的证明1.【2013 湖南文科】已知函数 f（x）= .xe21（）求 f（x）的单调区间；（）证明：当 f（x 1）=f（x 2）(x 1x 2)时，x 1+x20.【解析】 ( ) .)123)( 2 xexef （ ;)(,0(0-024 单 调 递 增时 ，（当 fyxfx.单 调 递 减） 时 ，当 ),)(yfx所以， 。） 上 单 调 递 减，上 单 调 递 增 ； 在，在 （ -)( xfy（）由()知，只需要证明：当 x0 时 f(x) 0, 存在唯一的 s, 使 ()tfs. () 设( )中所确定的 s 关于 t 的函数为 g, 证明: 当 2et时, 有
2、ln()152gt.(1)函数 f(x)的定义域为 (0，)f(x)2xln xxx (2ln x1)，令 f(x)0，得 .1当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x 1,ee,ef(x) 0 f(x) 极小值所以函数 f(x)的单调递减区间是 ，单调递增区间是 .1,e1,e(2)证明：当 0x1 时，f(x )0.设 t0，令 h(x)f(x )t，x 1 ，)由(1)知，h(x) 在区间(1 ，) 内单调递增h(1)t0，h(e t)e 2tln ett t(e 2t1)0.故存在唯一的 s(1，)，使得 tf(s) 成立(3)证明：因为 sg( t)，由(2)知，t f
3、(s) ，且 s1，从而，2ln()llnln)2lnt uf其中 uln s.要使 成立，只需 .2l()15t0lu当 te 2 时，若 sg(t) e ，则由 f(s)的单调性，有 tf(s)f (e)e 2，矛盾所以 se，即 u1，从而 ln u0 成立另一方面，令 F(u) ，u1.F(u) ，令 F(u)0，得 u2.ln212当 1u2 时，F(u)0；当 u2 时，F(u) 0.故对 u1，F(u) F(2)0.因此 成立ln 综上，当 te 2 时，有 .ln()152gt33【 2013 天津文科】设 , 已知函数 20a32(5),0( ,) .xfax() 证明 在区
4、间(1,1)内单调递减, 在区间(1, + )内单调递增; )fx() 设曲线 在点 处的切线相互平行 , 且 证明yf(,)(1,23)iixfP1230,x. 123x(1)设函数 f1(x) x3( a5) x(x0)， f2(x) (x0)，32a f1( x)3 x2( a5)，由 a2,0，从而当1 x0 时， f1( x)3 x2( a5)3 a50，所以函数 f1(x)在区间(1,0内单调递减 f2( x)3 x2( a3) x a(3 x a)(x1)，由于 a2,0，所以当 0 x1 时，f2( x)0；当 x1 时， f2( x)0.即函数 f2(x)在区间0,1)内单调
5、递减，在区间(1，)内单调递增综合，及 f1(0) f2(0)，可知函数 f(x)在区间(1,1)内单调递减，在区间(1，)内单调递增(2)由(1)知 f( x)在区间(，0)内单调递减，在区间 内单调递减，在区间306a，内单调递增36a，因为曲线 y f(x)在点 Pi(xi， f(xi)(i1,2,3)处的切线相互平行，从而 x1， x2， x3互不相等，且 f( x1) f( x2) f( x3)不妨设 x10 x2 x3，由 ( a5)2 ( a3) x2 a ( a3) x3 a，233可得 ( a3)( x2 x3)0，解得 x2 x3 ，从而 0 x2 x3.36设 g(x)3
6、 x2( a3) x a，则 g(x2) g(0) a.6由 ( a5) g(x2) a，解得 x10，1 53所以 x1 x2 x3 ，5设 t ，则 a ，2t因为 a2,0，所以 t ，315,故 x1 x2 x3 ，即 x1 x2 x3 .22()6tt44【 2014 天津理科】已知函数 ， .已知函数 有两()xfae=-()R()yfx=个零点 ，且 .12,x12xR()fxR（2 ） 时，由 ，得 .()0f=lnxa-当 变化时， ， 的变化情况如下表：x()f),l-lna-()ln,a-+()fx 0 l1-这时， 的单调递增区间是 ；单调递减区间是 .()fx(),l
7、na-()ln,a-+于是， “函数 有两个零点”等价于如下条件同时成立：yf=1 ；2存在 ，满足 ；()ln0fa-()1,ls-()10fs1ae- 1s=，且 ；取 ，满足 ，且1,s()1fs=-2lns=+()2ln,a-+.所以， 的取值范围是 .()222ln0aafee=-+由已知， 满足 ， . 由 ，及 的单调性，可得12,x)1ax=()2()1,ae-(， .()10(,+对于任意的 ，设 ， ，其中 ；)1120e-12()121gax=120x.22211hx21,lxt=- 1lntx=-2l1tx-. ()12lntt+-令 ， ，则 .()1lxh=-(),x+()21lnxh-+-=令 ，得 .()2lnuxx()21xu-当 时， .因此， 在 上单调递增，故对于任意的1,+()0(),+， ，由此可得 ，故 在 上单调递增.()x1ux=0hx(hx)1,+因此，由可得 随着 的增大而增大.2t而由（） ， 随着 的减小而增大，所以 随着 的减小而增大ta12x+a
