1、12014 年四川省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）1 （5 分） （2014 四川）已知集合 A=x|（x+1） （x2）0，集合 B 为整数集，则 AB=（ ）A 1，0B 0，1 C 2，1，0，1 D 1，0，1，2考点： 交集及其运算菁优网版权所有专题： 集合分析： 由题意，可先化简集合 A，再求两集合的交集解答： 解：A=x|（x+1） （x2）0=x|1 x2，又集合 B 为整数集，故 AB=1，0，1，2故选 D点评： 本题考查求交，掌握理解交的运算的意义是解答的关键2 （5 分） （2014 四川）在“ 世界读书
2、日”前夕，为了了解某地 5000 名居民某天的阅读时间，从中抽取了 200 名居民的阅读时间进行统计分析，在这个问题中，5000 名居民的阅读时间的全体是（ ）A总体 B 个体C 样本的容量 D从总体中抽取的一个样本考点： 用样本的频率分布估计总体分布菁优网版权所有专题： 概率与统计分析： 根据题意，结合总体、个体、样本、样本容量的定义可得结论解答： 解：根据题意，结合总体、个体、样本、样本容量的定义可得，5000 名居民的阅读时间的全体是总体，故选：A点评： 本题主要考查总体、个体、样本、样本容量的定义，属于基础题23 （5 分） （2014 四川）为了得到函数 y=sin（x+1）的图象，
3、只需把函数 y=sinx 的图象上所有的点（ ）A向左平行移动 1 个单位长度 B 向右平行移动 1 个单位长度C 向左平行移动 个单位长度 D向右平行移动 个单位长度考点： 函数 y=Asin（ x+）的图象变换菁优网版权所有专题： 三角函数的图像与性质分析： 直接利用函数图象的平移法则逐一核对四个选项得答案解答： 解： 由 y=sinx 到 y=sin（x+1） ，只是横坐标由 x 变为 x+1，要得到函数 y=sin（x+1）的图象，只需把函数 y=sinx 的图象上所有的点向左平行移动 1 个单位长度故选：A点评： 本题主要考查三角函数的平移三角函数的平移原则为左加右减上加下减是基础题
4、4 （5 分） （2014 四川）某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）（锥体体积公式：V= Sh，其中 S 为底面面积，h 为高）A3 B 2 C D1考点： 由三视图求面积、体积菁优网版权所有专题： 计算题；空间位置关系与距离分析： 根据三棱锥的俯视图与侧视图判定三棱锥的一个侧面与底面垂直，判断三棱锥的高与底面三角形的形状及边长，把数据代入棱锥的体积公式计算解答： 解：由三棱锥的俯视图与侧视图知：三棱锥的一个侧面与底面垂直，高为 ，底面为等边三角形，边长为 2，三棱锥的体积 V= 2 =13故选：D点评： 本题考查了由三棱锥的侧视图与俯视图求体积，判断三棱锥的结构特征及
5、相关几何量的数据是解题的关键5 （5 分） （2014 四川）若 ab0，c d0，则一定有（ ）A B C D考点： 不等关系与不等式菁优网版权所有专题： 不等式的解法及应用分析： 利用特例法，判断选项即可解答： 解：不妨令 a=3，b=1，c= 3，d=1，则 ，C、D 不正确；=3， =A 不正确， B 正确解法二：cd0，cd0，ab0，ac bd， ， 故选：B点评： 本题考查不等式比较大小，特值法有效，带数计算正确即可46 （5 分） （2014 四川）执行如图所示的程序框图，若输入的 x，yR，那么输出的 S 的最大值为（ ）A0 B 1 C 2 D3考点： 程序框图的三种基本逻
6、辑结构的应用；简单线性规划菁优网版权所有专题： 算法和程序框图分析：算法的功能是求可行域 内，目标还是 S=2x+y 的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，得出最大值解答：解：由程序框图知：算法的功能是求可行域 内，目标还是 S=2x+y 的最大值，画出可行域如图：当 时，S=2x+y 的值最大，且最大值为 25故选：C点评： 本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键7 （5 分） （2014 四川）已知 b0，log 5b=a，lgb=c ，5 d=10，则下列等式一定成立的是（ ）Ad=ac B a=cd C c=ad Dd=a
7、+c考点： 对数值大小的比较菁优网版权所有专题： 函数的性质及应用分析： 利用指数式与对数式的互化、对数的运算性质和换底公式即可得出解答： 解：由 5d=10，可得 ，cd=lgb =log5b=a故选：B点评： 本题考查了指数式与对数式的互化、对数的运算性质和换底公式，属于基础题8 （5 分） （2014 四川）如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B、C 的俯角分别为75、 30，此时气球的高是 60m，则河流的宽度 BC 等于（ ）A 240（ 1）mB 180（ 1）m C 120（ 1）m D30（ +1）m考点： 解三角形的实际应用；余弦定理的应用菁优网版权所有专题： 解三角
8、形分析： 由题意画出图形，由两角差的正切求出 15的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到 DC 和 DB 的长度，作差后可得答案解答： 解：如图，6由图可知，DAB=15，tan15=tan（45 30）= = 在 RtADB 中，又 AD=60，DB=ADtan15=60（2 ）=12060 在 RtADC 中， DAC=60，AD=60，DC=ADtan60=60 BC=DCDB=60 （12060 ）=120（ ） （m ） 河流的宽度 BC 等于 120（ ）m故选：C点评： 本题考查了解三角形的实际应用，考查了两角差的正切，训练了直角三角形的解法，是中档题9 （5 分） （2014
9、 四川）设 mR，过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的直线mxym+3=0 交于点 P（x，y） ，则|PA|+|PB|的取值范围是（ ）A ，2 B ，2 C ，4 D2 ，4 考点： 两条直线的交点坐标；函数最值的应用菁优网版权所有专题： 直线与圆分析： 可得直线分别过定点（0，0）和（1，3）且垂直，可得|PA| 2+|PB|2=10三角换元后，由三角函数的知识可得解答： 解：由题意可知，动直线 x+my=0 经过定点 A（0，0） ，动直线 mxym+3=0 即 m（x 1）y+3=0，经过点定点 B（ 1，3） ，动直线 x+my=0 和动直线 mxym+3=0 的斜
10、率之积为 1，始终垂直，P 又是两条直线的交点，PAPB，|PA| 2+|PB|2=|AB|2=10设ABP=，则|PA|= sin，|PB|= cos，由|PA|0 且|PB|0，可得 0， 7|PA|+|PB|= （sin+cos）=2 sin（ + ） ，0， ，+ ， ，sin（+ ） ，1 ，2 sin（+ ） ，2 ，故选：B点评： 本题考查直线过定点问题，涉及直线的垂直关系和三角函数的应用，属中档题10 （5 分） （2014 四川）已知 F 为抛物线 y2=x 的焦点，点 A，B 在该抛物线上且位于 x轴的两侧， =2（其中 O 为坐标原点） ，则ABO 与AFO 面积之和的最
11、小值是（ ）A2 B 3 C D考点： 直线与圆锥曲线的关系菁优网版权所有专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题分析： 可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及 =2 消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题解答： 解：设直线 AB 的方程为：x=ty+m，点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，直线 AB 与 x 轴的交点为 M（m，0） ，由 y2tym=0，根据韦达定理有 y1y2=m， =2， x1x2+y1y2=2，结合 及 ，得 ，点 A， B 位于 x 轴的两侧， y1y2=2，故 m=2不妨令点 A 在 x 轴上方，则 y
12、10，又 ，SABO+SAFO= = 8当且仅当 ，即 时，取“=” 号，ABO 与AFO 面积之和的最小值是 3，故选 B点评： 求解本题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消 x 或 y 后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）11 （5 分） （2014 四川）双曲线 y2=1 的离心率等于 考点： 双曲线的简单性质菁优网版权所有专题： 圆锥曲线的定义、性
13、质与方程分析： 根据双曲线的方程，求出 a，b，c，即可求出双曲线的离心率解答： 解：由双曲线的方程可知 a2=4，b 2=1，则 c2=a2+b2=4+1=5，则 a=2，c= ，即双曲线的离心率 e= = ，故答案为：点评： 本题主要考查双曲线的离心率的计算，求出 a，c 是解决本题的关键，比较基础12 （5 分） （2014 四川）复数 = 2i 考点： 复数代数形式的乘除运算菁优网版权所有专题： 数系的扩充和复数分析： 利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数，可得结果解答： 解：复数 = = =2i，故答案为：2i9点评： 本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基
14、础题13 （5 分） （2014 四川）设 f（x）是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x1，1）时，f（x）= ，则 f（ ）= 1 考点： 函数的值菁优网版权所有专题： 计算题分析： 由函数的周期性 f（x+2 ）=f（x） ，将求 f（ ）的值转化成求 f（ ）的值解答： 解： f（x）是定义在 R 上的周期为 2 的函数， =1故答案为：1点评： 本题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在高考中，属于“送分题”14 （5 分） （2014 四川）平面向量 =（1，2） ， =（4，2） ， =m + （mR） ，且 与的夹角等于 与
15、的夹角，则 m= 2 考点： 数量积表示两个向量的夹角菁优网版权所有专题： 平面向量及应用分析： 利用向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式即可得出解答： 解： 向量 =（1，2） ， =（4，2） ， =m + （m R） ， =m（1，2）+（4，2）= （m+4，2m+2） =m+4+2（2m+2 ）=5m+8， =4（m+4）+2（2m+2）=8m+20， =2 与 的夹角等于 与 的夹角， = ， ，化为 5m+8=4m+10，解得 m=210故答案为：2点评： 本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式，属于基础题15 （5 分） （2014 四川）以 A 表示值域为
16、 R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数 （x）组成的集合：对于函数 （x） ，存在一个正数 M，使得函数 （x）的值域包含于区间 M，M 例如，当 1（x）=x 3， 2（x）=sinx 时， 1（x）A， 2（x）B现有如下命题：设函数 f（x）的定义域为 D，则“ f（x） A”的充要条件是“bR， aD，f （a）=b”；函数 f（x）B 的充要条件是 f（x）有最大值和最小值；若函数 f（x） ，g（x）的定义域相同，且 f（x） A，g（x）B ，则 f（x）+g （x）B若函数 f（x）=aln（x+2 ）+ （x 2，a R）有最大值，则 f（x） B其中的真命题有
17、（写出所有真命题的序号）考点： 命题的真假判断与应用；充要条件；全称命题；特称命题；函数的值域菁优网版权所有专题： 新定义；极限思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；简易逻辑分析： 根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题是否正确，再利用导数研究命题中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论解答： 解：（1）对于命题，若对任意的 bR，都a D 使得 f（a）=b，则 f（x）的值域必为 R反之，f（x）的值域为 R，则对任意的 bR，都aD 使得 f（a）=b，故是真命题；（2）对于命题，若函数 f（x） B，即存在一个正数 M，使得函数 f（x）的值域包含于区间M，
18、M Mf（x）M例如：函数 f（x）满足2f（x）5，则有 5f（x）5，此时，f（x）无最大值，无最小值，故 是假命题；（3）对于命题，若函数 f（x） ，g（x）的定义域相同，且 f（x）A，g（x）B，则 f（x）值域为 R，f（ x） （，+） ，并且存在一个正数 M，使得Mg（x）M 故 f（x）+g （x）（，+） 则 f（x）+g （x）B，故是真命题；（4）对于命题， ，当 a0 或 a0 时，alnx （ ，+ ） ，f（x）均无最大值，若要使 f（x）有最大值，则 a=0，此时 f（x）= ，f（x） B，故是真命题11故答案为点评： 本题考查了函数值域的概念、基本不等式、
19、充要条件，还考查了新定义概念的应用和极限思想本题计算量较大，也有一定的思维难度，属于难题三、解答题（共 6 小题，共 75 分）16 （12 分） （2014 四川）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有 1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同，随机有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 张，将抽取的卡片上的数字依次记为 a，b，c （）求“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率；（）求“抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”的概率考点： 相互独立事件的概率乘法公式菁优网版权所有专题： 概率与统计分析： （）所有的可能结果（a，b，c）共有 333=27 种，而满足 a+b=c 的（a
20、 ，b，c 有计 3 个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率（）所有的可能结果（a，b，c）共有 333 种，用列举法求得满足“ 抽取的卡片上的数字 a，b，c 完全相同”的（a ，b，c）共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字 a，b，c 完全相同”的概率，再用 1 减去此概率，即得所求解答： 解：（）所有的可能结果（a，b，c）共有 333=27 种，而满足 a+b=c 的（a ，b，c ）有（ 1，1，2） 、 （1，2，3） 、 （2，1，3） ，共计 3 个，故“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率为 = （）满足“抽取的卡片上的数字 a，b，c 完全相同”的
21、（a，b，c）有：（1，1，1） 、 （2，2，2） 、 （3，3，3） ，共计三个，故“抽取的卡片上的数字 a，b，c 完全相同”的概率为 = ，“抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”的概率为 1 = 点评： 本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于中档题17 （12 分） （2014 四川）已知函数 f（x）=sin（3x+ ） （1）求 f（x）的单调递增区间；（2）若 是第二象限角，f（ ）= cos（+ ）cos2 ，求 cossin的值考点： 两角和与差的余弦函数；正弦函数的单调性菁优网版权所有专题： 三角函数的求值12分析： （1）令 2k 3x+ 2k+ ，k
22、 z，求得 x 的范围，可得函数的增区间（2）由函数的解析式可得 f（ ）=sin（+ ） ，又 f（ ）= cos（+ ）cos2，可得 sin（+ ）= cos（+ ）cos2 ，化简可得 （cos sin） 2= 再由是第二象限角，cossin0，从而求得 cossin 的值解答： 解：（1）函数 f（x）=sin （ 3x+ ） ，令 2k 3x+ 2k+ ，kZ，求得 x + ，故函数的增区间为 ， + ，k Z（2）由函数的解析式可得 f（ ）=sin（+ ） ，又 f（ ）= cos（+ ）cos2，sin（+ ）= cos（+ ） cos2，即 sin（+ ）= cos（ +
23、） （cos 2sin2） ，sincos +cossin = （coscos sinsin ） （cossin） （cos+sin）即 （sin+cos）= （cossin ） 2（cos +sin） ，又 是第二象限角， cossin0，当 sin+cos=0 时，此时 cossin= 当 sin+cos0 时，此时 cossin= 综上所述：cossin= 或 点评： 本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题18 （12 分） （2014 四川）在如图所示的多面体中，四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都为矩形（）若 ACBC，证明：直线
24、 BC平面 ACC1A1；（）设 D、E 分别是线段 BC、CC 1 的中点，在线段 AB 上是否存在一点 M，使直线 DE平面 A1MC？请证明你的结论13考点： 直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定菁优网版权所有专题： 综合题；空间位置关系与距离分析： （）先证明 AA1平面 ABC，可得 AA1BC，利用 ACBC，可以证明直线 BC平面 ACC1A1；（）取 AB 的中点 M，连接 A1M，MC，A 1C，AC 1，证明四边形 MDEO 为平行四边形即可解答： （）证明：四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都为矩形，AA1AB，AA 1AC，ABAC=A，AA1平面 ABC，
25、BC平面 ABC，AA1BC，ACBC，AA 1AC=A，直线 BC平面 ACC1A1；（）解：取 AB 的中点 M，连接 A1M，MC，A 1C，AC 1，设 O 为 A1C，AC 1 的交点，则 O 为 AC1 的中点连接 MD，OE，则 MDAC， MD= AC，OE AC，OE= AC，MDOE，MD=OE ，连接 OM，则四边形 MDEO 为平行四边形，DEMO，DE平面 A1MC，MO 平面 A1MC，DE平面 A1MC，线段 AB 上存在一点 M（线段 AB 的中点） ，使直线 DE平面 A1MC点评： 本题考查线面垂直的判定与性质的运用，考查存在性问题，考查学生分析解决问题的能
26、力，属于中档题19 （12 分） （2014 四川）设等差数列a n的公差为 d，点（a n，b n）在函数 f（x）=2 x 的图象上（nN *）（）证明：数列b n为等比数列；（）若 a1=1，函数 f（x）的图象在点（ a2，b 2）处的切线在 x 轴上的截距为 2 ，求数列a nbn2的前 n 项和 Sn14考点： 等差数列与等比数列的综合菁优网版权所有专题： 等差数列与等比数列分析： （）利用等比数列的定义证明即可；（）先由（）求得 an，b n，再利用错位相减求数列a nbn2的前 n 项和 Sn解答： （）证明：由已知得，bn= 0，当 n1 时， = = =2d，数列 bn为首
27、项是 ，公比为 2d 的等比数列；（）解：f （ x）=2 xln2函数 f（x）的图象在点（a 2，b 2）处的切线方程为 y = ln2（xa 2） ，在 x 轴上的截距为 2 ，a2 =2 ，a 2=2，d=a2a1=1，a n=n，b n=2n，a nbn2=n4n，Tn=14+242+343+（n1）4 n1+n4n，4Tn=142+243+（n 1） 4n+n4n+1，Tn4Tn=4+42+4nn4n+1= n4n+1= ，Tn= 点评： 本题考查等差数列与等比数列的概念，等差数列与等比数列的通项公式及前 n 项和公式，导数的几何意义等知识；考查学生的运算求解能力、推理论证能力，属
28、中档题20 （13 分） （2014 四川）已知椭圆 C： + =1（a b0）的左焦点为 F（ 2，0） ，离心率为 （）求椭圆 C 的标准方程；15（）设 O 为坐标原点，T 为直线 x=3 上一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆于 P、Q ，当四边形 OPTQ 是平行四边形时，求四边形 OPTQ 的面积考点： 直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）由题意可得 ，解出即可；（）由（）可得 F（ 2，0） ，设 T（ 3，m） ，可得直线 TF 的斜率 kTF=m，由于TFPQ，可得直线 PQ 的方程为 x=my2设 P（x 1，y 1） ，Q（x
29、 2，y 2） 直线方程与椭圆方程可得根与系数的关系由于四边形 OPTQ 是平行四边形，可得 ，即可解得 m此时四边形 OPTQ 的面积 S= 解答：解：（）由题意可得 ，解得 c=2，a= ，b= 椭圆 C 的标准方程为 ；（）由（）可得 F（ 2，0） ，设 T（3，m） ，则直线 TF 的斜率 ，TFPQ，可得直线 PQ 的方程为 x=my2设 P（x 1，y 1） ，Q（x 2，y 2） 联立 ，化为（m 2+3）y 24my2=0，0，y 1+y2= ，y 1y2= 16x1+x2=m（y 1+y2）4= 四边形 OPTQ 是平行四边形， ， （ x1，y 1）=（3x 2，my 2
30、） ， ，解得 m=1此时四边形 OPTQ 的面积 S= = 点评： 本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交可得根与系数的关系及弦长问题、向量相等问题、平行四边形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了数形结合和转化能力，属于难题21 （14 分） （2014 四川）已知函数 f（x）=e xax2bx1，其中 a，b R，e=2.71828为自然对数的底数（1）设 g（x）是函数 f（x）的导函数，求函数 g（x）在区间0 ，1 上的最小值；（2）若 f（1）=0，函数 f（x）在区间（0，1）内有零点，求 a 的取值范围考点： 导数在最大
31、值、最小值问题中的应用；函数的零点菁优网版权所有专题： 导数的综合应用分析： （1）求出 f（x）的导数得 g（x） ，再求出 g（x）的导数，对它进行讨论，从而判断g（x）的单调性，求出 g（x）的最小值；（2）利用等价转换，若函数 f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数 f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，所以 g（x）在（0，1）上应有两个不同的零点解答： 解： f（x）=e xax2bx1，g （x）=f （x）=e x2axb，又 g（x）=e x2a，x0 ，1，1 exe，当 时，则 2a1，g（x）=e x2a0，函数 g（x）在区间0，1上单调递增，g（x） mi
32、n=g（0） =1b；当 ，则 12a e，17当 0 xln（ 2a）时，g（x）=e x2a0，当 ln（2a） x1 时，g（x）=ex2a0，函数 g（x）在区间0，ln（2a）上单调递减，在区间ln （2a ） ，1 上单调递增，g（x） min=gln（2a） =2a2aln（2a ）b；当 时，则 2ae，g （x）=e x2a0，函数 g（x）在区间0，1上单调递减，g（x） min=g（1） =e2ab，综上：函数 g（x）在区间0， 1上的最小值为；（2）由 f（1）=0，e ab1=0b=ea1，又 f（0）=0，若函数 f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数 f（x）
33、在区间（ 0，1）内至少有三个单调区间，由（1）知当 a 或 a 时，函数 g（x）在区间0，1 上单调，不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间 ”这一要求若 ，则 gmin（x）=2a2aln（2a） b=3a2aln（2a） e+1令 h（x）= （1xe）则 = ， 由0xh（ x）在区间（1， ）上单调递增，在区间（ ，e）上单调递减，= = 0，即 gmin（x）0 恒成立，函数 f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间 ，18又 ，所以 e2a1，综上得：e2a1点评： 本题考查了，利用导数求函数的单调区间，分类讨论思想，等价转换思想，函数的零点等知识点是一道导数的综合题，难度较大
