1、2015 年高考试题汇编 数列1.（15 北京理科）设 是等差数列. 下列结论中正确的是naA若 ，则 B若 ，则120230130a120aC若 ，则 D若 ，则a1a 3【答案】C考点：1.等差数列通项公式；2.作差比较法2.（15 北京理科）已知数列 满足： ， ，且na*1N136a 121836nnna， ，12n， ， 记集合 *|nMaN（）若 ，写出集合 的所有元素；16（）若集合 存在一个元素是 3 的倍数，证明： 的所有元素都是 3 的倍数；M（）求集合 的元素个数的最大值【答案】 （1） ， （2）证明见解析， （3 ）86,4【解析】试题分析：（）由 ，可知 则1a23
2、41,12,a；（）因为集合 存在一个元素是 3 的倍数，所以不妨设 是 36,124MMka的倍数，用数学归纳法证明对任意 ， 是 3 的倍数，当 时，则 M 中的nkna1k所有元素都是 3 的倍数，如果 时，因为 或 ，所以112k36a是 3 的倍数，于是 是 3 的倍数，类似可得， 都是 3 的倍数，12kaka 1,.从而对任意 ， 是 3 的倍数，因此 的所有元素都是 3 的倍数.第二步集合nnM存在一个元素是 3 的倍数，所以不妨设 是 3 的倍数，由已知Mka，用数学归纳法证明对任意 ， 是 3 的倍数；第三步12186nnna， ， nkna由于 中的元素都不超过 36，
3、中的元素个数最多除了前面两个数外，都是 4 的倍数，因为第二个数必定为偶数，由 的定义可知，第三个数及后面的数必定是 4 的倍na数，由定义可知， 和 除以 9 的余数一样，分 中有 3 的倍数和 中没有 3 的1na2nana倍数两种情况，研究集合 M 中的元素个数，最后得出结论集合 的元素个数的最大值M为 8.试题解析：（）由已知 可知：121836nnna， ，12346,aM（）因为集合 存在一个元素是 3 的倍数，所以不妨设 是 3 的倍数，由已知ka，可用用数学归纳法证明对任意 ， 是 3 的倍数，当121836nnna， ， nn时，则 M 中的所有元素都是 3 的倍数，如果 时
4、，因为 或k 1k12ka，所以 是 3 的倍数，于是 是 3 的倍数，类似可得，12a12ka1a都是 3 的倍数，从而对任意 ， 是 3 的倍数，因此 的所有元1,.k nnM素都是 3 的倍数.（）由于 中的元素都不超过 36，由 ，易得 ，类似可得M16a26a，其次 中的元素个数最多除了前面两个数外，都是 4 的倍数，因为第二个6na数必定为偶数，由 的定义可知，第三个数及后面的数必定是 4 的倍数，另外，M 中na的数除以 9 的余数,由定义可知， 和 除以 9 的余数一样，1n2a考点：1.分段函数形数列通项公式求值；2.归纳法证明；3.数列元素分析.（15 北京文科）已知等差数
5、列 满足 ， na120432a（）求 的通项公式；na（）设等比数列 满足 ， ，问： 与数列 的第几项相等？nb237b6bn【答案】 （1） ；（2） 与数列 的第 63 项相等.4(1)a【解析】试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用等差数列的通项公式，将转化成 和 d，解方程得到 和 d 的值，直接写出等差数列的通项公式即可；1234,a1a1a第二问，先利用第一问的结论得到 和 的值，再利用等比数列的通项公式，将 和2b3 2b转化为 和 q，解出 和 q 的值，得到 的值，再代入到上一问等差
6、数列的通项公式中，3b116解出 n 的值，即项数.试题解析：（）设等差数列 的公差为 d.na因为 ，所以 .432ad又因为 ，所以 ，故 .120a10ad14a所以 .4()2nn(,)（）设等比数列 的公比为 .bq因为 ， ，238ba3716所以 ， .q14所以 .662由 ，得 .28n3所以 与数列 的第 63 项相等.6ba考点：等差数列、等比数列的通项公式.4.（15 年广东理科）在等差数列 na中，若 2576543aa，则 82a= 【答案】 10【解析】因为 na是等差数列，所以 3746285，3456752a即 5a， 28510a，故应填入 10【考点定位】
7、本题考查等差数列的性质及简单运算，属于容易题5.（15 年广东理科）数列 n满足 121 24nn , *N.(1) 求 3a的值；(2) 求数列 n前 项和 nT；(3) 令 1ba， 11223n na，证明：数列 nb的前 项和 nS满足 l2【答案】 （1） 4；（2）1n；（3）见解析（3 ）依题由 12112nn naba 知 1b， 122a，【考点定位】本题考查递推数列求项值、通项公式、等比数列前 n项和、不等式放缩等知识，属于中高档题6.（15 年广东文科）若三个正数 a， b， c成等比数列，其中 526a，526c，则 b 【答案】 1【解析】试题分析：因为三个正数 a，
8、 b， c成等比数列，所以 25621bac，因为 0b，所以 1，所以答案应填： 1考点：等比中项7.(15 年广东文科) 设数列 na的前 项和为 nS， 已知 1a，23a， 54，且当 2n时， 21458nS1求 的值；证明： 1nna为等比数列；3求数列 na的通项公式【答案】 （1） 78；（2）证明见解析；（3） 12nna考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式.8.（15 年安徽理科）设 ， 是曲线 在点 处的切线与 x 轴交点的*nNnx231nyx(2)，横坐标，（1）求数列 的通项公式；nx（2）记 ，证明 .211T 14nT9.（1
9、5 年安徽文科）已知数列 na中， 1， 21na（ ） ，则数列 na的前9 项和等于 。【答案】27考点：1.等差数列的定义；2.等差数列的前 n 项和.10.（15 年安徽文科）已知数列 na是递增的等比数列，且 14239,8.a（1）求数列 na的通项公式；（2）设 nS为数列 n的前 n 项和， 1nbS，求数列 nb的前 n 项和 T。【答案】 （1） 12na（2） 1n 121nn.学优高考网考点：1.等比数列的性质；2.裂项相消法求和.11.（ 15 年福建理科）若 ,ab 是函数 20,fxpq 的两个不同的零点，且 ,2ab 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序
10、后成等比数列，则 pq 的值等于（ ）A6 B7 C8 D9【答案】D【解析】试题分析：由韦达定理得 abp， q，则 0,ab，当 ,2a适当排序后成等比数列时， 2必为等比中项，故 4abq， a当适当排序后成等差数列时，必不是等差中项，当 是等差中项时， 2，解得 1， 4b；当 a是等差中项时， 8a，解得 4， 1，综上所述， 5p，所以 q9，选D考点：等差中项和等比中项12.（ 15 年福建文科）若 ,ab 是函数 20,fxpq 的两个不同的零点，且 ,2ab 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 pq 的值等于_【答案】9考点：等差中项和等比中项13.
11、（ 15 年福建文科）等差数列 na中， 24， 715a（）求数列 na的通项公式；（）设 2b，求 12310bb的值【答案】 （） n；（） 【解析】试题分析：（）利用基本量法可求得 1,ad，进而求 na的通项公式；（）求数列前n 项和，首先考虑其通项公式，根据通项公式的不同特点，选择相应的求和方法，本题 2b，故可采取分组求和法求其前 10 项和试题解析：（I ）设等差数列 na的公差为 d由已知得 114365ad，解得 1d所以 12nadn考点：1、等差数列通项公式； 2、分组求和法14.（15 年新课标 2 理科）等比数列a n满足 a1=3， 35a =21，则 357a
12、( )（A）21 （B）42 （C）63 （D）84【答案】B15.（15 年新课标 2 理科）设 nS是数列 na的前 n 项和，且 1a， 11nnS，则nS_【答案】 1【解析】由已知得 11nnnaSS，两边同时除以 1nS，得 1nS，故数列 nS是以 为首项， 为公差 的等差数列，则 ()n，所以1nS16.（15 年新课标 2 文科）设 nS是等差数列 na的前 项和,若 135a,则 5S（ ）A 5 B 7 C 9 D 1【答案】A【解析】试题解析： 135331aa, 15532aS.故选 A.考点：等差数列17.（15 年新课标 2 文科）已知等比数列 na满足 14,
13、3541a,则 2a（ ） A.2B.1 C. 1D.8【答案】C【解析】试题分析：由题意可得 23544412aa,所以34182aqq,故21aq,选 C.考点：等比数列.18.（ 15 年陕西理科）中位数 1010 的一组数构成等差数列，其末项为 2015，则该数列的首项为 【答案】 5【解析】试题分析：设数列的首项为 1a，则 205120，所以 15a，故该数列的首项为 5，所以答案应填： 考点：等差中项19.（15 年陕西文科）中位数为 1010 的一组数构成等差数列，其末项为 2015，则该数列的首项为_【答案】5考点：等差数列的性质.20.（15 年陕西文科）设 2()1,2.
14、nnfxxN(I)求 (2)nf；(II)证明： nfx在 20,3内有且仅有一个零点（记为 na） ，且 1203nn.【答案】(I) ()1nnf ；(II) 证明略，详见解析.【解析】试题分析：(I) 由题设 1()2nnfxx ，所以 1(2)12nnf ，此式等价于数列 12的前 项和，由错位相减法求得 )n；(II)因为 (0)f，2()21033nnf，所以 (nfx在 0,)3内至少存在一个零点，又 1nnfxx ，所以 ()nf在 ,内单调递增，因此， ()nfx在 20,3内有且只有一个零点 na，由于 1nxf，所以10()nnaf，由此可得 12nn故 23n，继而得1
15、1203nnna.试题解析：(I) 由题设 1()2nnfxx ，所以 1(2)1nnf 由 2 得 1()2nnf 21(1)2nn，所以 ()nnf(II)因为 012232() 10331nnnf，所以 ()nfx在 20,3内至少存在一个零点，又 110nx所以 ()nfx在 ,内单调递增，因此， 在 20)3内有且只有一个零点 na，由于 1()nnxf，所以 0()1nnaf由此可得 2nn故 13a所以112023nnnn 考点：1.错位相减法；2.零点存在性定理；3.函数与数列.21.（15 年天津理科）已知数列 满足na，且*2 12(q)N,na a为 实 数 ， 且 ，成
16、等差数列.345,a+(I)求 q 的值和 的通项公式；n(II)设 ，求数列 的前 n 项和.*21log,nnabN b【答案】(I) ; (II) .2,.n为 奇 数 ,为 偶 数 124nnS【解析】试题分析：(I) 由 得 先求出 ，()()34234534aaa+-=+-253aq分 为奇数与偶数讨论即可；(II)求出数列 的通项公式，用错位相减法求和即可.nnb试题解析：(I) 由已知，有 ，即()34234534-+，4253aa所以 ，又因为 ，故 ，由 ，得 ，(1)()q1q32a31aq2当 时， ，*nkN121nkna当 时， ，2()k所以 的通项公式为na12
17、,.na为 奇 数 ,为 偶 数考点：1.等差中项定义；2.等比数列及前 项和公式.3.错位相减法.n22.（ 15 年天津文科）已知 是各项均为正数的等比数列, 是等差数列,且anb, .123,ab=+527b-=（I）求 和 的通项公式；n（II）设 ,求数列 的前 n 项和.*,caNc【答案】 （I） , ；（II）12n21,nbN23nnS【解析】试题分析：（I ）列出关于 q 与 d 的方程组,通过解方程组求出 q,d,即可确定通项；（II ）用错位相减法求和.试题解析：（I ）设 的公比为 q, 的公差为 d,由题意 ,由已知,有nanb0消去 d 得 解得 ,所以 的通项公
18、式为243,10qd4280,2,qna, 的通项公式为 .,naNnb1,nbN（II）由（I）有 ,设 的前 n 项和为 ,则12ccnS01 1352,nS 232 n两式相减得 1123,n nn所以 .32nS考点：1.等差、等比数列的通项公式；2.错位相减法求和.23.（ 15 年天津文科）已知函数 4(),fxxR=-（I）求 的单调性；()fx（II）设曲线 与 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为 ,求证：yf=x ()ygx=对于任意的正实数 ,都有 ;()fg（III）若方程 有两个正实数根 且 ,求证： .()fxa为 实 数 12x， ， 12x1321
19、-4ax+【答案】 （I） 的单调递增区间是 ,单调递减区间是 ；（II）见试题解fx11,析；（III）见试题解析.【解析】试题解析：（I ）由 ,可得 ,当 ,即 时,函数4()fx=-3()4fx=-0fx1x单调递增；当 ,即 时,函数 单调递减.所以函数 的单调fx01f f递增区间是 ,单调递减区间是 .1（II）设 ,则 , 曲线 在点 P 处的切线方程为0Px1304012,fxyfx,即 ,令 即yf0g Fgx则 .0FxfxFxffx由于 在 单调递减,故 在 单调递减,又因为3()4f=-,所以当 时, ,所以当 时, ,所以0x0x0x0x0Fx在 单调递增,在 单调
20、递减, 所以对任意的实数 x, ,对F0 于任意的正实数 ,都有 .x()fgx考点：1.导数的几何意义；2.导数的应用.24.(15 年浙江理科) 25.（ 15 年湖南理科）设 nS为等比数列 na的前 项和，若 1a，且 123,S成等差数列，则 na .【答案】 32-.考点：等差数列的通项公式及其前 n项和.26.（ 15 年山东理科）设数列 的前 项和为 ，已知anS23.n（）求数列 的通项公式；na（）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .b3lognnnbnT解：（）由 可得 ，2S1()32aS11(3)()nnnnna而 ，则11,.na（）由 及 可得3lognnb1,
21、.n31,log,.nnab.2311n nT4233n231211()39923128n nnnnn134nT27.（15 年江苏）数列 满足 ，且 （ ） ，则数列 的前na111nan*N1na10 项和为 【答案】 201【解析】试题分析：由题意得： 11221 (1)()()()12nnn naaan 所以102, ,nnSS考点：数列通项，裂项求和28.（15 年江苏）设 是各项为正数且公差为 d 的等差数列1234,a(0)（1）证明： 依次成等比数列；,a（2）是否存在 ，使得 依次成等比数列，并说明理由； 来源:学科网 ZXXK1d2341,（3）是否存在 及正整数 ，使得
22、依次成等比数列，并说,ankknknaa34231,明理由.【答案】 （1）详见解析（2）不存在（3）不存在（2）令 ，则 ， ， ， 分别为 ， ， ， （ ，1ad1a234ada2da， ） 2ad0假设存在 ， ，使得 ， ， ， 依次构成等比数列，11a234a则 ，且 34642dd令 ，则 ，且 （ ， ） ，dta31t641tt12t0化简得 （ ） ，且 将 代入（ ）式，320t2t2t，则 213140ttttt14t显然 不是上面方程得解，矛盾，所 以假设不成立，4因此不存在 ， ，使得 ， ， ， 依次构成等比数列1ad1a234a（3）假设存在 ， 及正整数 ，
23、，使得 ， ， ， 依次构成等比数列，nk1n2k23nka34k则 ，且 2211nknknadad32111nknknkadd分别在两个等式的两边同除以 及 ，并令 （ ， ） ，21nk21nk1tat0t则 ，且 221nknktt32nkttt将上述两个等式两边取对数，得 ，2lnlkt且 ln3l1l12kttt化简得 ，21lt且 3lln3ktt再将这两式相除，化简得（ ） ln1l23l1l4l1lntttttt令 ，4n3n23l1g t则 2 2ll1tttttt 令 ，22213ln31ln31lnttttttt则 6 令 ，则 1tt16l4l2ltttt令 ，则 21tt2103ttt 由 ， ，200g2知 ， ， ， 在 和 上均单调2t1ttgt1,03,故 只有唯一零点 ，即方程（ ）只有唯一解 ，故假设不成立g0t0t所以不存在 ， 及正整数 ， ，使得 ， ， ， 依次构成等比数列1adnk1na2k23nk34ka考点：等差、等比数列的定义及性质，函数与方程
