1、 第 1 页 松江区2017学年度第一学期期末质量监控试卷 高三数学 一、填空题 1. 计算: 2lim31n nn _ 2. 已知集合 | 0 3A x x , 2|4B x x,则AB_ 3. 已知na 为等差数列,nS 为其前n项和,若 1918aa, 4 7a ,则 10S _ 4. 已知函数 2logf x x a的反函数为 1y f x ,且 1 21f ,则实数a _ 5. 已知角 的终边与单位圆 221xy交于点01,2Py,则cos2_ 6. 右图是一个算法的程序框图,当输入值x 为 8 时,则其输出的结果是_ 7. 函数 sin2yx 的图像与 cosyx 的图像在区间 0
2、,2 上交点的个数是_ 8. 若直线 30ax y 与圆 221 2 4xy 相交于 A、B 两点,且23AB ,则a _ 9. 在 ABC 中, 90A , ABC 的面积为1,若BM MC , 4BN NC ,则AM AN 的最小值为_ 10. 已知函数 21f x x x a 有三个零点,则实数a 的取值范围为_ 11. 定义 ,a a bF a b b a b ,已知函数 fx、 gx的定义域都是R,则下列四个命题中为真命题的是_(写出所有真命题的序号) 若 fx、 gx都是奇函数,则函数 ,F f x g x 为奇函数 若 fx、 gx都是偶函数,则函数 ,F f x g x 为偶函
3、数 若 fx、 gx都是增函数,则函数 ,F f x g x 为增函数 若 fx、 gx都是减函数,则函数 ,F f x g x 为减函数 第 2 页 12. 已知数列na 的通项公式为 *2 0 ,nna q q q n N ,若对任意 *,mn 都有 1,66mnaa ,则实数q的取值范围为_ 二、选择题 13. 若2i 是关于x 的方程 2 0x px q 的一个根(其中i 为虚数单位, ,pq R ),则 q 的值为( ) A. 5 B. 5 C. 3 D. 3 14. 已知 fx是R上的偶函数,则“ 120xx”是“ 120f x f x”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要
4、而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 若存在 0,x 使 221xxmx成立,则实数m的取值范围是( ) A. ,1 B. 1, C. ,1 D. 1, 16. 已知曲线 1 :2C y x与曲线 222 :4C x y 恰好有两个不同的公共点,则实数 的取值范围是( ) A. , 1 0,1 B. 1,1 C. 1,1 D. 1,0 1, 三、解答题 17. 在 ABC 中, 6AB , 32AC , 18AB AC . (1)求BC边的长; (2)求 ABC 的面积. 18. 已知函数 1 , ( 0 ,af x xx 常数 )aR . (1)讨论函数 fx
5、的奇偶性,并说明理由; (2)当 0a 时,研究函数 fx在 0,x 内的单调性. 第 3 页 19. 松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中,通车后将给市民出行带来便利,已知某条线 路通车后,电车的发车时间间隔t(单位:分钟)满足2 20t ,经市场调研测算,电车载客量与发车时间间隔t相关,当10 20t 时电车为满载状态,载客量为400人,当2 10t 时,载客量会减少,减少的人数与 10t 的平方成正比,且发车时间间隔为 2 分钟时的载客量为 272 人,记电车载客量为 pt . (1)求 pt 的表达式,并求当发车时间间隔为6分钟后,电车的载客量; (2)若该线路每分钟的净收益为 6 1
6、 5 0 0 60ptQ t(元),问当发车时间间隔为多少时,该线路每分钟的净收益最大? 20. 已知椭圆 22: 1 0xyE a bab 经过点 31,2,其左焦点为 3,0F ,过F点的直线l 交椭圆于A、B两点,交y 轴的正半轴于点M. (1)求椭圆E的方程; (2)过点F且与l 垂直的直线交椭圆C、D两点,若四边形ACBD的面积为43 ,求直线l 的方程; (3)设 1MA AF , 2MB BF ,求证: 12 为定值. xyMDCBFOA第 4 页 21. 已知有穷数列na 共有m项 *2,m m N,且 *1 1 1 ,nna a n n m n N . (1)若 5m , 1
7、 1a , 5 3a ,试写出一个满足条件的数列na ; (2)若 64m , 1 2a ,求证:数列na 为递增数列的充要条件是 64 2018a ; (3)若 1 0a ,则ma 所有可能的取值共有多少个?请说明理由. 第 5 页 参考答案 1、23 2、 23, 3、100 4、3 5、 12 6、2 7、4个 8、0 9、45 10、 2 2, 11、( 2)( 3)( 4) 12、 1,0413-16、BABC 17、( 1) 3 10BC ;(2)9; 18、( 1)当 0a 时, fx既是奇函数也是偶函数; 当 0a 时, fx既不是奇函数也不是偶函数. (2) fx在 0,a
8、上单调递减,在 ,a 上单调递增. 19、( 1) 22 1 0 4 0 0 , 2 1 04 0 0 , 1 0 2 0ttpt t , 6t 时, 368pt (2) 5t 时,每分钟净收益最大为60元 20 (1) 2 2 14x y ;( 2) 2 6 0xy , 2 3 0xy (3) 128 过程:方法一:(2)设直线AB 的倾斜角为,则AB 方程: 3 cossinxtyt , 同时直线CD的倾斜角为 2 或 2 ; 将AB 参数方程代入椭圆方程,整理得: 221 3 s i n 2 3 c o s 1 0tt , 12 212 22 3 co s1 3 sin11 3 sint
9、ttt , 2 212222 3 c o s 4 1 3 s i n 41 3 s i n 1 3 s i nA B t t 第 6 页 22441 3 c o s1 3 s in 2CD , 221 8 4231 3 s in 1 3 c o sA B C DS A B C D ,解得 3sin 3 或 6sin 3 2tan 2 或tan 2 ; 故直线方程为 2 32yx或 23yx 方法二:设直线AB 方程 3x my,然后讨论m不存在的情况即可 21 (1)1 1a , 2 0a , 3 2a , 4 1a , 5 3a ; (2) 充分性:若 64 2018a ,则 6 4 6 4
10、 6 3 6 3 6 2 2 1 1 6 4 6 3 6 3 6 2 2 1 1. . . . . .a a a a a a a a a a a a a a a 6 3 6 2 . 1 2 2 0 1 8 ; 故 6 4 6 3 6 3 6 2 2 1 1 6 4 6 3 6 3 6 2 2 1 1. . . . . .a a a a a a a a a a a a a a 又 1 20a,故该不等式右侧所有绝对值均为正, 6 4 6 3 6 2 1.a a a a ,单调递增得证; 必要性:若na 是单调递增数列,则 6 4 6 3 6 2 1.a a a a , 6 4 6 4 6 3 6 3 6 2 2 1 1 6 4 6 3 6 3 6 2 2 1 1. . . . . .a a a a a a a a a a a a a a a 6 4 6 3 6 3 6 2 2 1 1. . . 6 3 6 2 . . . 1 2 2 0 1 8a a a a a a a 必要性得证 (3) 211122mm