1、12016 届高考数学大一轮复习 第六章 不等式、推理与证明同步练习 文第一节 不等关系与不等式1了解现实世界和日常生活中的不等关系2了解不等式(组)的实际背景3掌握不等式的性质及应用1实数大小顺序与运算性质之间的关系a b0 a b； a b0 a b； a b0 a b.2不等式的基本性质(1)对称性： a bb a；(2)传递性： a b， b ca c；(3)可加性： a ba c b c， a b， c da c b d；(4)可乘性： a b， c0 ac bc，a b0， c d0 ac bd；(5)可乘方： a b0 ab bn(nN， n1)；(6)可开方： a b0 (nN
2、， n2)na nb不等式的两类常用性质(1)倒数性质 a b， ab0 ；1a 1b a0 b ；1a 1b a b0,0 c d ；ac bd0 a x b 或 a x b0 .1b1x1a(2)有关分数的性质若 a b0， m0，则2真分数的性质 ； (b m0)；ba b ma m ba b ma m假分数的性质 ； (b m0)ab a mb m ab a mb m1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变( )(2)一个非零实数越大，则其倒数就越小( )(3)同向不等式具有可加和可乘性( )(4)两个数的比值大于 1
3、，则分子不一定大于分母( )答案： (1) (2) (3) (4)2下列命题正确的是( )A若 ac bc，则 a b B若 a2 b2，则 a bC若 ，则 a b D若 ，则 a b1a 1b a b答案： D3已知 a， b 是实数，则“ a0 且 b0”是“ a b0 且 ab0”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析： Error!Error!.又当 ab0 时， a 与 b 同号，由 a b0 知 a0，且 b0.答案： C4. _ 1(填“”或“”)12 1 3解析： 1 1.12 1 2 3答案： 5下列不等式中恒成立的是_ m3
4、m5；5 m3 m；5 m3 m；5 m5 m.解析： m3 m520，故恒成立；5 m3 m20，故恒成立；5m3 m2 m，无法判断其符号，故不恒成立；35 m5 m2 m，无法判断其符号，故不恒成立答案： 比较两个数(式)的大小 自 主 练 透 型1若 a1 a2， b1 b2，则 a1b1 a2b2与 a1b2 a2b1的大小关系是_解析： 作差可得( a1b1 a2b2)( a1b2 a2b1)( a1 a2)(b1 b2)， a1 a2， b1 b2，( a1 a2)(b1 b2)0，即 a1b1 a2b2 a1b2 a2b1.答案： a1b1 a2b2 a1b2 a2b12若 a
5、 ， b ，则 a_b(填“”或“”)ln 22 ln 33解析： 易知 a， b 都是正数， log 891，所以 b a.ba 2ln 33ln 2答案： 3若实数 m1，比较 m2 与 的大小31 m解析： m2 ，31 m m2 m 11 m m2 m 1m 1当 m1 时， m2 ；31 m当 m1 时， m2 .31 m比较两个数大小的常用方法(1)作差法：其基本步骤为：作差、变形、判断符号、得出结论，用作差法比较大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等变形方法(2)作商法：即判断商与 1 的关系，得出结论，要特别注意当商与 1 的大小确定后必须对商式分
6、子分母的正负做出判断，这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤(3)特值验证法：对于一些题目，有的给出取值范围，可采用特值验证法比较大小不等式的性质 分 层 深 化 型(1)(2014四川卷)若 a b0， c d0，则一定有( )A B ad bc ad bcC D ac bd ac bd(2)(2014陕西咸阳摸底)若 a， b 是任意实数，且 a b，则下列不等式成立的是( )A a2 b2 B 1ba4Clg( a b)0 D a b(13) (13)解析： (1) c d0，0 ， 0，1c 1d 1d 1c又 a b0， ，故选 Bad bc(2)当 a1， b2 时， a2 b
7、2， 1，lg( a b)0，可排除 A，B，C，故选 Dba答案： (1)B (2)D1(2014广东东莞一模)设 a， bR，若 a| b|0 B a3 b30C a2 b2b2，知 A 不成立；由 aab2，知 B 不成立；若 a1， b2，则 2， ，此时 ，所以 D 不成立；对于ba ab 12 baabC， 0.ca db其中正确命题的个数是( )A0 B19C2 D3解析： ab0， bc ad0， 0，正确；ca db bc adab ab0，又 0，即 0，ca db bc adab bc ad0，正确； bc ad0，又 0，即 0，ca db bc adab ab0，正确
8、故选 D答案： D2已知存在实数 a 满足 ab2 a ab，则实数 b 的取值范围是_解析： ab2 a ab， a0，当 a0 时， b21 b，即Error! 解得 b1；当 a0 时， b21 b，即Error! 无解综上可得 b1.答案： (，1)3已知 12 a60,15 b36，求 a b， 的取值范围ab解析： 15 b36，36 b15.又 12 a60，1236 a b6015，24 a b45，即 a b 的取值范围是(24,45) ，136 1b 115 ，1236 ab 6015 4，13 ab即 的取值范围是 .ab (13， 4)4某单位组织职工去某地参观学习需包
9、车前往甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受 7.5 折优惠 ”乙车队说：“你们属团体票，按原价的 8 折优惠 ”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠10解析： 设该单位职工有 n 人( nN *)，全票价为 x 元，坐甲车需花 y1元，坐乙车需花y2元，则 y1 x x(n1) x xn， y2 nx.34 14 34 45所以 y1 y2 x xn nx14 34 45 x nx14 120 x .14(1 n5)当 n5 时， y1 y2；当 n5 时， y1 y2；当 n5 时， y1 y2.因此当单位去的人数为 5 人时，两车队收费相同
10、；多于 5 人时，甲车队更优惠；少于 5人时，乙车队更优惠第二节 一元二次不等式及其解法1会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型2通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系3会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图三个“二次”间的关系判别式 b24 ac 0 0 0二次函数y ax2 bx c(a0)的图象一元二次方程ax2 bx c0(a0)的根有两相异实根x1， x2(x1 x2)有两相等实根x1 x2b2a 没有实数根ax2 bx c0(a0)的解集x|x x1或 x x2 Error! R11ax2 bx c0(a0)的解集x|x1 x
11、x2 1分式不等式与一元二次不等式的关系(1) 0 等价于( x a)(x b)0.x ax b(2) 0 等价于( x a)(x b)0.x ax b(3) 0 等价于Error!x ax b(4) 0 等价于Error!x ax b2两个常用的结论(1)不等式 ax2 bx c0( a0)对任意实数 x 恒成立Error!(2)不等式 ax2 bx c0( a0)对任意实数 x 恒成立Error!1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若不等式 ax2 bx c0 的解集为( x1， x2)，则必有 a0.( )(2)若不等式 ax2 bx c0 的解集是(， x1)( x2
12、，)，则方程 ax2 bx c0的两个根是 x1和 x2.( )(3)若方程 ax2 bx c0( a0)没有实数根，则不等式 ax2 bx c0 的解集为 R.( )(4)不等式 ax2 bx c0 在 R 上恒成立的条件是 a0 且 b24 ac0.( )(5)若二次函数 y ax2 bx c 的图象开口向下，则不等式 ax2 bx c0 的解集一定不是空集( )答案： (1) (2) (3) (4) (5)2不等式 x(2 x)0 的解集是( )A(，0) B(0,2)C(，0)(2，) D(2，)答案： B3 x2 ax b0 的解集为 x|x2 或 x3，则 a b 的值是( )A1
13、 B1C11 D12答案： C4 a0)解析： (1)原不等式转化为 16x28 x10，13即(4 x1) 20， xR，故原不等式的解集为 R.(2)原不等式可化为( ax1)( x2)0，原不等式可以化为 a(x2) 时， 时，不等式的解集为Error! .121.解一元二次不等式的一般步骤：(1)对不等式变形，使一端为 0 且二次项系数大于 0，即 ax2 bx c0( a0)，ax2 bx c0( a0)；(2)计算相应的判别式；(3)当 0 时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集2解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类
14、讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏一元二次不等式恒成立问题 分 层 深 化 型设函数 f(x) mx2 mx1( m0)(1)若对于一切实数 x， f(x)0 恒成立，求 m 的取值范围；(2)若对于 x1,3， f(x) m5 恒成立，求 m 的取值范围解析： (1)要使 mx2 mx10 恒成立，由 m0，得Error!4 m0.所以4 m0，| a|1 恒成立的 x 的取值范围解析： 将原不等式整理为形式上是关于 a 的不等式( x3) a x26 x90.令 f(a)( x3) a x26 x9.因为 f(a)0 在| a|1 时恒成立，所以(1)若 x3，
15、则 f(a)0，不符合题意，应舍去(2)若 x3，则由一次函数的单调性，可得Error!即Error!解得 x4.故 x 的取值范围为(，2)(4，)3(2014广东湛江检测)设奇函数 f(x)在1,1上是单调函数，且 f(1)1.若函数 f(x) t22 at1 对所有的 x1,1都成立，则当 a1,1时，求 t 的取值范围解析： f(x)为奇函数， f(1)1， f(1) f(1)1.又 f(x)在1,1上是单调函数，1 f(x)1，当 a1,1时， t22 at11 恒成立，即 t22 at0 恒成立令 g(a) t22 at， a1,1，Error!解得 t2 或 t0 或 t2.t
16、的取值范围为 t2 或 t0 或 t2.恒成立问题及二次不等式恒成立的条件(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴上方；恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方一元二次不等式的应用 互 动 讲 练 型某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产16产品 x(百台)，其总成本为 G(x)万元，其中固定成本为 2 万元，并且每生产 100 台的生产成本为 1 万元(总成本固定成本生产
17、成本)，销售收入 R(x)满足R(x)Error!假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律：(1)要使工厂有盈利，产品数量 x 应控制在什么范围？(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品的售价为多少？解析： 依题意得 G(x) x2，设利润函数为 f(x)，则 f(x) R(x) G(x)，所以 f(x)Error!(1)要使工厂有盈利，则有 f(x)0，因为f(x)0Error!或Error!Error!或 5 x8.2 Error!或 5 x8.21 x5 或 5 x8.2 1 x8.2.所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于 100 台小于 820 台的范围内(2)0 x5 时，
18、 f(x)0.4( x4) 23.6，故当 x4 时， f(x)有最大值 3.6.而当 x5 时， f(x)8.253.2，所以当工厂生产 400 台产品时，盈利最大，又 x4 时， 2.4(万元/百台)R 44240(元/台)故此时每台产品的售价为 240 元某同学要把自己的计算机接入因特网现有两家 ISP 公司可供选择公司 A 每小时收费1.5 元；公司 B 在用户每次上网的第 1 小时内收费 1.7 元，第 2 小时内收费 1.6 元，以后每小时减少 0.1 元(若用户一次上网时间超过 17 小时，按 17 小时计算)假设该同学一次上网时间总和小于 17 小时，那么该同学如何选择 ISP
19、 公司较省钱？解析： 假设一次上网 x 小时，则公司 A 收取的费用为 1.5x 元，公司 B 收取的费用为 元x 35 x20若能够保证选择 A 比选择 B 费用少，则1.5 x(0 x17)，x 35 x20整理得 x25 x0，解得 0 x5，所以当一次上网时间在 5 小时以内时，选择公司 A 的费用少；超过 5 小时，选择公司 B的费用少；上网 5 小时，公司 A、 B 的费用一样17求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型(3)解不等式，得出数学结论，要注
20、意数学模型中自变量的实际意义(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果A 级 基础训练1(2014广东惠州模拟)不等式 0 的解集为( )1 x2 xA2,1 B(2,1C(，2)(1，) D(，2(1，)解析： 0Error! 2 x1.1 x2 x答案： B2已知不等式 x22 x30 的解集为 A，不等式 x2 x60 的解集为 B，不等式x2 ax b0 的解集为 A B，那么 a b 等于( )A3 B1C1 D3解析： 由题意得 A x|1 x3， B x|3 x2， A B x|1 x2，由根与系数的关系可知， a1， b2， a b3.答案： A3下列选项中，使不等式
21、x x2成立的 x 的取值范围是( )1xA(，1) B(1,0)C(0,1) D(1，)解析： 由 x x2可得Error!即Error!解得Error!综合知 x1.1x答案： A4如果关于 x 的不等式 5x2 a0 的所有正整数解是 1,2,3,4，那么实数 a 的取值范围是( )A80,125) B(80,125)C(，80) D(125，)解析： 由 5x2 a0，得 x ，而 5x2 a0 的所有正整数解是 1,2,3,4，a5 a5184 5，80 a125.a5答案： A5(2014辽宁五校协作体联考)已知一元二次不等式 f(x)0 的解集为Error!，则f(ex)0 的解
22、集为( )A x|xln 2 或 xln 3 B x|ln 2 xln 3C x|xln 3 D x|ln 2 xln 3解析： 由题意可知一元二次不等式所对应的二次函数的图象开口向下，故 f(x)0 的解集为Error! ，又 f(ex)0， e x3，解得ln 2 xln 3.12答案： D6不等式| x(x2)| x(x2)的解集是_解析： 不等式| x(x2)| x(x2)的解集即 x(x2)0 的解集，解得 0 x2.答案： x|0 x27(2014重庆万州考前模拟)若关于 x 的不等式 ax b 的解集为 ，则关于 x( ，15)的不等式 ax2 bx a0 的解集为_45解析：
23、由已知 ax b 的解集为 ，可知 a0，且 ，将不等式( ，15) ba 15ax2 bx a0 两边同除以 a，得 x2 x 0，所以 x2 x 0，即 5x2 x40，45 ba 45 15 45解得1 x ，故原不等式的解集为 .45 ( 1， 45)答案： ( 1，45)8若关于 x 的不等式 ax2 x2 a0 的解集为，则实数 a 的取值范围是_解析： 依题意可知，问题等价于 ax2 x2 a0 恒成立，当 a0 时， x0 不恒成立，故 a0 舍去；当 a0 时，要使 ax2 x2 a0 恒成立，即 f(x) ax2 x2 a 的图象不在 x 轴的下方，Error! 即Erro
24、r!解得 a ，即 a 的取值范围是 .24 24， )答案： 24， )199已知二次函数 y x2 px q，当 y0 时，有 x ，解不等式 qx2 px10.12 13解析： 因为当 y0 时，有 x ，所以 x1 与 x2 是方程 x2 px q0 的12 13 12 13两个实数根由根与系数的关系得Error!解得Error!所以不等式 qx2 px10 x2 x10 x2 x60，解得2 x3，16 16即不等式 qx2 px10 的解集为 x|2 x310已知函数 f(x) 的定义域为 R.ax2 2ax 1(1)求 a 的取值范围；(2)若函数 f(x)的最小值为 ，解关于
25、x 的不等式 x2 x a2 a0.22解析： (1)函数 f(x) 的定义域为 R，ax2 2ax 1 ax22 ax10 恒成立，当 a0 时，10 恒成立，当 a0 时，则有Error!0 a1.综上可知， a 的取值范围是0,1(2) f(x) ax2 2ax 1 ，a x 1 2 1 a a0，当 x1 时， f(x)min ，1 a由题意得， ，1 a22 a ，12不等式 x2 x a2 a0 可化为 x2 x 0，34解得 x ，12 32所以不等式的解集为 .(12， 32)B 级 能力提升1对一切正整数 n，不等式 恒成立，则实数 x 的取值范围是( )2x 1x nn 1
26、A(，0) B(，0)(1，)20C(1，) D(，0)1，)解析： 由条件知只需 max，而 1. 1，解得2x 1x ( nn 1) nn 1 11 1n 2x 1xx(，0)1，)答案： D2若不等式 x2( a1) x a0 的解集是4,3的子集，则 a 的取值范围是_解析： 原不等式即( x a)(x1)0，当 a1 时，不等式的解集为 a,1，此时只要a4 即可，即4 a1；当 a1 时，不等式的解为 x1，此时符合要求；当 a1 时，不等式的解集为1， a，此时只要 a3 即可，即 1 a3.综上可得4 a3.答案： 4,33一个服装厂生产风衣，月销售量 x(件)与售价 p(元/
27、件)之间的关系为 p1602 x，生产 x 件的成本 R50030 x(元)(1)该厂月产量多大时，月利润不少于 1 300 元？(2)当月产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？解析： (1)由题意知，月利润 y px R，即 y(1602 x)x(50030 x)2 x2130 x500.由月利润不少于 1 300 元，得2 x2130 x5001 300.即 x265 x9000，解得 20 x45.故该厂月产量在 2045 件时，月利润不少于 1 300 元(2)由(1)得， y2 x2130 x5002 2 ，(x652) 3 2252由题意知， x 为正整数故当 x32 或
28、33 时， y 最大为 1 612.所以当月产量为 32 或 33 件时，可获最大利润，最大利润为 1 612 元4设二次函数 f(x) ax2 bx c，函数 F(x) f(x) x 的两个零点为 m， n(m n)(1)若 m1， n2，求不等式 F(x)0 的解集；(2)若 a0，且 0 x m n ，比较 f(x)与 m 的大小1a解析： (1)由题意知， F(x) f(x) x a(x m)(x n)，当 m1， n2 时，不等式 F(x)0，即 a(x1)( x2)0.那么当 a0 时，不等式 F(x)0 的解集为 x|x1 或 x2；21当 a0 时，不等式 F(x)0 的解集为
29、 x|1 x2(2)f(x) m a(x m)(x n) x m( x m)(ax an1)， a0，且 0 x m n ， x m0,1 an ax0.1a f(x) m0，即 f(x) m.第三节 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1会从实际情境中抽象出二元一次不等式组2了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组3会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决. 1二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式 表示区域Ax By C0 不包括边界直线Ax By C0直线 Ax By C0 某一侧的所有点组成的平面区域 包括边界直线不等式组 各个不等式所表
30、示平面区域的公共部分2.二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成的有序数对( x， y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对( x， y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集3线性规划的有关概念名称 意义约束条件 由变量 x， y 组成的不等式(组)线性约束条件 由 x， y 的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数 关于 x， y 的函数解析式，如 z x2 y线性目标函数 关于 x， y 的一次解析式可行解 满足线性约束条件的解( x， y)可行域 所有可行解组成的集合最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题 在
31、线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题1确定二元一次不等式表示的平面区域的方法22确定二元一次不等式表示的平面区域，常采用“直线定界，测试点定域”的方法(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线(2)特殊点定域，由于对在直线 Ax By C0 同侧的点，实数 Ax By C 的值的符号都相同，故为确定 Ax By C 的值的符号，可采用特殊点法，如取原点、(0,1)、(1,0)等点2求二元一次函数 z ax by(ab0)的最值的方法将函数 z ax by 转化为直线的斜截式： y x ，通过求直线的截距 的最值间接ab zb zb求出
32、z 的最值(1)当 b0 时，截距 取最大值时， z 也取最大值；截距 取最小值时， z 也取最小值；zb zb(2)当 b0 时，截距 取最大值时， z 取最小值；截距 取最小值时， z 取最大值zb zb1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)不等式 Ax By C0 表示的平面区域一定在直线 Ax By C0 的上方( )(2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域( )(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的( )(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上( )(5)目标函数 z ax by(b0)中， z 的几何意义是直线 ax by z0 在 y
33、 轴上的截距( )答案： (1) (2) (3) (4) (5)2下面给出的四个点中，位于Error!表示的平面区域内的点是( )A(0,2) B(2,0)C(0，2) D(2,0)解析： 将四个点的坐标分别代入不等式组Error!满足条件的是(0，2)答案： C3(2014湖北卷)若变量 x， y 满足约束条件Error!则 2x y 的最大值是( )A2 B4C7 D8解析： 画出 x， y 的约束条件限定的可行域为如图阴影区域，令 u2 x y，则y2 x u，先画出直线 y2 x，再平移直线 y2 x，当经过点 A(3,1)时，代入 u，可得最大值为 7，故选 C23答案： C4已知实
34、数 x， y 满足Error!则此不等式组表示的平面区域的面积是_解析： 作出可行域为如图所示的三角形， S 11 .12 12答案： 125若 x， y 满足约束条件Error!，则 z x y 的最大值是_解析： 作出约束条件Error!表示的平面区域，如图阴影部分所示，当直线 z x y 过点 A(1,1)时，目标函数 z x y 取得最大值 0.答案： 0二元一次不等式(组)表示的平面区域 自 主 练 透 型1若关于 x， y 的不等式组Error!所表示的区域为三角形，则实数 a 的取值范围是( )A(，1) B(0,1)C(1,1) D(1，)解析： y ax 为过原点的直线，当
35、a0 时，若能构成三角形，则需 0 a1；当a0 时，若能构成三角形，则需1 a0，综上 a(1,1)24答案： C2(2014安徽卷)不等式组Error!表示的平面区域的面积为_解析： 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知 S ABC 2(22)124.答案： 41.作平面区域时要“直线定界，测试点定域” ，当不等式无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线，若直线不过原点，测试点常选取原点2求平面区域的面积，要先确定区域，若是规则图形可直接求，若不规则可通过分割求解求线性目标函数的最值 分 层 深 化 型(1)(2014辽宁卷)已知 x， y 满足约束条件Error!则目标函
36、数 z3 x4 y 的最大值为_(2)(2014湖南卷)若变量 x， y 满足约束条件Error!且 z2 x y 的最小值为6，则k_.解析： (1)画出 x， y 满足约束条件的可行域如图阴影部分由Error! 得Error!点 A 的坐标为(2,3)作直线 l0：3 x4 y0，可知当平移 l0到 l(l 过点 A)时，目标函数有最大值，此时 zmax324318.(2)由题意知25当 z2 x y 过( k， k)时 z2 x y 有最小值，将( k， k)代入z2 x y，3 k6， k2.答案： (1)18 (2)21(2014全国卷)设 x， y 满足约束条件Error!则 z2
37、 x y 的最大值为( )A10 B8C3 D2解析： 作出可行域如图中阴影部分所示，由 z2 x y 得 y2 x z，作出直线 y2 x，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点 A(5,2)时，对应的 z 值最大故 zmax2528.答案： B2(2014北京卷)若 x， y 满足Error!且 z y x 的最小值为4，则 k 的值为( )A2 B2C D12 12解析： 作出可行域，如图中阴影部分所示，当 k0 时， z y x 无最小值，所以k0，当 k2 时可行域内为点(0,2)，不合题意 k ，故选 D12答案： D263(2014浙江卷)若实数 x， y 满足Error!则
38、 x y 的取值范围是_解析： 画出约束条件所确定的可行域(如图中阴影部分所示)令 z x y，则 y x z，画出直线 l： y x，平移直线 l，当 l 经过可行域中的点A(1,0)时， z 取最小值，且 zmin101；当 l 经过可行域中的点 B(2,1)时， z 取最大值，且 zmax213，故 x y 的取值范围是1,3答案： 1,34若 x， y 满足条件Error!当且仅当 x y3 时， z ax y 取得最小值，则实数 a 的取值范围是_解析： 画出可行域，如图中阴影部分所示，直线 3x5 y60 与 2x3 y150 交于点 M(3,3)，由目标函数 z ax y，得 y
39、 ax z，其纵截距为 z，当 z 最小时， z 最大依题意，有 a .23 35答案： (23， 35)5(2014课标全国卷)不等式组Error!的解集记为 D，有下面四个命题：p1：( x， y) D， x2 y 2， p2：( x， y) D， x2 y2，p3：( x， y) D， x2 y3， p4：( x， y) D， x2 y1.其中的真命题是( )A p2， p3 B p1， p2C p1， p4 D p1， p3解析： 画出可行域如图阴影部分所示作直线 l0： y x，平移 l0，当直线经过1227A(2，1)时， x2 y 取最小值，此时( x2 y)min0.故 p1：
40、( x， y) D， x2 y2 为真，p2：( x， y) D， x2 y2 为真故选 B答案： B6(2014浙江卷)当实数 x， y 满足Error!时，1 ax y4 恒成立，则实数 a 的取值范围是_解析： 画可行域如图所示，设目标函数 z ax y，即 y ax z，要使 1 z4 恒成立，则 a0，数形结合知，满足Error!即可，解得 1 a .所以 a 的取值范围是 1 a .32 32答案： 1，32线性目标函数最值问题的解题策略(1)求线性目标函数的最值线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐
41、标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值(2)由目标函数的最值求参数求解线性规划中含参数问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数求非线性目标函数的最值 互 动 讲 练 型(1)(2014福建卷)已知圆 C：( x a)2( y b)21，平面区域 ：Error!若圆心 C ，且圆 C 与 x 轴相切，则 a2 b2的最大值为( )A5 B29B37 D49(2)实数 x， y 满
42、足不等式组Error!求 z 的取值范围y 1x 1解析： (1)平面区域 ，如图中阴影部分所示，28圆 C 与 x 轴相切， b1，把 y1 分别代入 x y30 和 x y70，得 x2 和 x6，2 a6，( a2)max36，( a2 b2)max36137，故选 C(2)作出不等式组表示的可行域，如图中的阴影部分 z ，所以 z 的y 1x 1 y 1x 1几何意义是动点( x， y)与定点 A(1,1)所连直线的斜率结合图可知， z 的最小值为直线l1的斜率， z 的最大值无限接近于直线 l2的斜率值 l1的斜率 k1 kAB， l2与直线 x y0平行由Error! 得点 B 的
43、坐标为(1,0)， k1 .12 z .12， 1)答案： (1)C变量 x， y 满足Error!(1)设 z ，求 z 的最小值；yx(2)设 z x2 y2，求 z 的取值范围解析： 由约束条件Error!作出( x， y)的可行域如图所示由Error!解得 A .(1，225)由Error! 解得 C(1,1)29由Error! 解得 B(5,2)(1) z ，yx y 0x 0 z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜率观察图形可知 zmin kOB .25(2)z x2 y2的几何意义是可行域上的点到原点 O 的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin| OC| ， dmax| OB| .2 292 z29.常见代数式的几何意义有(1) 表示点( x， y)与原点(0,0)的距离；x2 y2(2) 表示点( x， y)与点( a， b)之间的距离； x a 2 y b 2(3) 表示点( x， y)与原点(0,0)连线的斜率；yx(
