1、1精品题库试题理数1. (2014 天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试，4) 圆 为参数）的圆心到直线 （t 为参数）的距离是（ ）A 1 B C D 3解析 1. 圆 的普通方程为 , 圆心为(1, 2). 直线 的普通方程为 , 所以点(1, 2) 到直线的距离为 .2.（2014 重庆一中高三下学期第一次月考，15）在直角坐标系 中，以 为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系。已知点 ，若极坐标方程为的曲线与直线 （ 为参数）相交于 、 两点，则。解析 2. 曲线 的直角坐标系方程为 ，圆2心在（3，3），半径为 ；直线 的普通方程为 ，该直线过圆心，且|OP|=5，所以过点 P 且垂直于
2、直线 的直线被圆截得的弦长为，根据相交弦定理可得 .3. (2014 天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，13) 圆心在 ，半径为 3 的圆的极坐标方程是 解析 3. 圆心在直角坐标系内的坐标为（3,0），由此可得在直角坐标系内圆的方程为 ，即 ，根据 及 可得该圆的极坐标方程是 .4. (2014 安徽合肥高三第二次质量检测，12) 在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）. 以 为极点，射线 为极轴的极坐标系中，曲线 的方程为 ，曲线 与 交于 两点，则线段 的长度为_. 解析 4.因为曲线 的参数方程为 （ 为参数），化为普通方程为，又因为曲线 的极坐标方成为 ，所以 ，所
3、以普通方程为 ，即 ，所以圆心 到直线 的距离为 ，弦长 .35. (2014 重庆杨家坪中学高三下学期第一次月考，15) 直线 （ 为参数）被曲线 所截的弦长为_. 解析 5. 由 消去 得 ，由 整理得，所以 ，即 ，因为圆心 到直线 的距离为 ，所以所求的弦长为 .6. (2014 湖北黄冈高三 4 月模拟考试，16) （选修 4-4：坐标系与参数方程）已知曲线的极坐标方程为 ，则曲线 上点到直线 （ 为参数）距离的最大值为 . 解析 6. 因为 ，所以 ，所以 ，即，其参数方程为 （ 为参数），又因为 ，所以 ，4所以点 到直线 的距离为，（ 为参数），故曲线 上点到直线 （ 为参数）
4、距离的最大值为 .7. （2014 广东汕头普通高考模拟考试试题，14）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）；在极坐标系（与直角坐标系 取相同的长度单位，且原点 为极点，以 轴正半轴为极轴）中，曲线 的方程为 ，则与 交点个数为_. 解析 7. 曲线 ， ，由圆心到直线的距离，故 与 的交点个数为 2.8. (2014 广东广州高三调研测试，15) （坐标系与参数方程选讲选做题）若点 在曲线 （ 为参数， ）上，则 的取值范围是_.解析 8. 由已知 P 点所在轨迹方程为 ， 表示 与原点连线的斜率。设 ，由数形结合可知：当直线 与圆相切时取得最值，所以 ，得59. (2014
5、重庆铜梁中学高三 1 月月考试题，14) 在极坐标系中，点（2， ）到直线的距离是_. 解析 9. 由 得 ，所以 ，又在极坐标系中，点（2， ），所以点（2， ）的直角坐标方程为，由点到直线的距离公式得所求的距离 .10.（2014 江西红色六校高三第二次联考理数试题，15(1) ）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系 中，圆 的参数方程为为参数， 以 为极点， 轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 当圆 上的点到直线 的最大距离为 时，圆的半径 解析 10. 圆 C 的普通方程为 ，因为，所以直线 的直角坐标方程为 ，圆心 C 到直线 的距离为 2，所以圆
6、 上的点到直线 的最大距离为 2+2r=4，解得 r =1.11.（2014 江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，15（1）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线 的参数方程为 （t 为参数），曲线 的极坐标方程为 ，设曲线 ， 相交于 A、B 两点，则 的值为_6解析 11. 曲线 的普通方程为 ，曲线 的直角坐标方程为，其对应的曲线是以（0,2）为圆心，以 2 为半径为圆，因为圆心（0,2）到直线 的距离为 ，根据 ，得 .12.（2014 湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，16）（选修 4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两
7、种坐标系取相同的单位长度已知曲线 （ 为参数）和曲线 相交于两点，设线段 的中点为 ，则点 的直角坐标为 解析 12. 消去参数 t 可得曲线 C1的普通方程为 ，曲线，根据 可得曲线 C2的直角方程为. 设点 ，联立 消 x 得 ，则，所以 的中点为 的纵坐标为 ，又因为点 M 在直线 上，代入 解得 ，所以中点 M 的坐标为 .13. (2014 重庆五区高三第一次学生调研抽测，15) 在直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 若点 为直线 上一点，点 为曲线 为参数）上一点，则 的最小值为 . 7解析 13. 点 在直线： 上，点 在曲线： 上. 由 得：. 由
8、 得 . 两直线 ， 间的距离即为的最小值，所以其最小值为 .14.(2014 湖北武汉高三 2 月调研测试，16) （选修 4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线(cossin) a0 与曲线（ 为参数）有两个不同的交点，则实数 a 的取值范围为 解析 14. 直线 在直角坐标系下的方程为：；曲线 消去参数 得抛物线： .联立方程组 ，消去 得关于 的一元二次方程：因为直线与抛物线有两个不同的交点，方程 有两个不相等的实数根，所以8，解得： , 又因为当直线 经过点 时， ，所以 .15.(2014 湖北八市高三下学期
9、 3 月联考，16) （选修 4-4：坐标系与参数方程）已知直线 与圆 相交于 AB，则以 AB 为直径的圆的面积为 .解析 15. 消掉 可得直线方程为 ，利用 可得圆的方程为，联立方程组得交点 ，交点间距离为，则所求圆的面积为 . 另解：因为圆心到直线 的距离为 ，所以，则所求圆的面积为16. (2014 重庆七校联盟, 15) 在极坐标系中，已知两点 、 的极坐标分别为 、，则 （其中 O 为极点）的面积为 解析 16. 由极坐标与直角坐标转化公式， ， ，又 、，则 、 的直角坐标为 ， ，点 ，可求得 .17. (2014 陕西宝鸡高三质量检测(一), 15A) (参数方程与极坐标系
10、选做题) 在直角坐标系中，曲线 的参数方程为 ；在极坐标系（以原点为坐标原点，以轴正半轴为极9轴）中曲线 的方程为 ，则 与 的交点的距离为_. 解析 17. 由 得 ，即为曲线 的普通方程，由 ， ， 即为曲线 的普通方程.由于圆 圆心为 ，又圆心 到直线 的距离为 ，圆的半径 ，弦长 ，即为曲线 与 的交点的距离.18.(2014 广州高三调研测试, 15) （坐标系与参数方程选讲选做题）若点 在曲线（ 为参数， ）上，则 的取值范围是 解析 18. 把 化为普通方程为 ，令 ，则 ，由于圆心 到直线 的距离为 ，又点 时圆上任意一点，则 ，解得，即 的取值范围是 .19. (2014 湖
11、北黄冈高三期末考试) 在直角坐标系 中，椭圆 的参数方程为 （为参数， ）. 在极坐标系（与直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴）中，直线 的极坐标方程为 ，若直线 与 轴、轴的交点分别是椭圆 的右焦点、短轴端点，则 . 解析 19.依题意，椭圆 的普通方程为 ，直线的普通方程为，令 ，则 ，令 ，则 ， ， ， ，.20. (2014 山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，23) 选修 4-4：坐标系与参数方程选讲在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为极10点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为（1
12、）求曲线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；（2）设 为曲线 上的动点，求点 到 上点的距离的最小值，并求此时点 的坐标.解析 20.（1）由曲线 ： 得 两式两边平方相加得：即曲线 的普通方程为：由曲线 ： 得：即 ，所以即曲线 的直角坐标方程为: (2) 由（1）知椭圆 与直线 无公共点，椭圆上的点 到直线的距离为所以当 时， 的最小值为 ，此时点 的坐标为1121. (2014 山西太原高三模拟考试（一），23) 选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线 C1的参数方程为 ，且曲线 C1上的点 M（2 ， ）对应的参数 . 且以 O 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
13、曲线 C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线 与曲线 C2交于点.（I）求曲线 C1的普通方程，C 2的极坐标方程；（）若 是曲线 C1上的两点，求 的值.解析 21.22.(2014 福州高中毕业班质量检测, 21(2) 选修 4-4：坐标系与参数方程.在平面直角坐标系 中, 以 为极点, 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为 , 直线 l 的参数方程为: ( 为参数) ，两曲线相交于 , 两点.12（）写出曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程;（）若 , 求 的值解析 22.() (曲线 的直角坐标方程为 , 直线 的普通方程 . （4 分）() 直线 的参数方程为 (
14、为参数),代入 , 得到 , 设 , 对应的参数分别为 , ，则所以 . （7 分）(2014 福州高中毕业班质量检测, 21（3）) 选修 4-5：不等式选讲设函数 ,（）求 的最小值 ；（）当 时, 求 的最小值.解析() 法 1: ,故函数 ) 的最小值为 1. 即 . （4 分）法 2: . 当 时, ； 时, , 时,13,故函数 的最小值为 1. . （4 分）() 由柯西不等式 ，故 ，当且仅当 时取等号. （7 分）23. (2014 河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），23) 极坐标与参数方程：已知直线 的参数方程为：，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系
15、，曲线 的极坐标方程为 .（）求曲线 的参数方程；（）当 时，求直线 与曲线 交点的极坐标.解析 23.（）由 ，可得所以曲线 的直角坐标方程为 ，标准方程为 ，曲线 的极坐标方程化为参数方程为 （5 分）14（）当 时，直线 的方程为 ，化成普通方程为 ，由 ，解得 或 ，所以直线 与曲线 交点的极坐标分别为 ， ； , .（10 分）24. (2014 贵州贵阳高三适应性监测 考试, 23) 选修 44：极坐标和参数方程以直角坐标系的原点为极点， 轴非负半轴为极轴，在两种坐标系中取相同单位的长度. 已知直线 的方程为 ，曲线 的参数方程为，点 是曲线 上的一动点.（）求线段 的中点 的轨迹
16、方程；() 求曲线 上的点到直线 的距离的最小值.解析 24.（）设中点 的坐标为 ，依据中点公式有 （ 为参数），这是点 轨迹的参数方程，消参得点 的直角坐标方程为 . （5 分）（）直线 的普通方程为 ，曲线 的普通方程为 ，表示以 为圆心，以 2 为半径的圆，15故所求最小值为圆心 到直线 的距离减去半径，设所求最小距离为 d，则 .因此曲线 上的点到直线 的距离的最小值为 . （10 分）25. (2014 黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，23) 选修 4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ，（ 为参数），以坐标原点为 极点， 轴的正半轴为极轴建立极
17、坐标系，曲线 的极坐标方程为（）求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；（）设点 是曲线 上的一个动点，求它到直线 的距离 的取值范围.解析 25.（）直线 的普通方程为 ，曲线的直角坐标方程为 . （4 分）（）设点 ，则 ，16所以 的取值范围是 . (10 分）26.（2014 吉林实验中学高三年级第一次模拟，23）选修 44: 坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程 为参数）以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（）求圆 C 的极坐标方程；（）直线 的极坐标方程是 ，射线 与圆 C 的交点为 O、P，与直线 的交点为 Q，求线段 PQ 的长解析 2
18、6.27.(2014 河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题, 23) 选修4-4: 坐标系与参数方程已知曲线 C 的极坐标方程是 以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 的参数方程是 (t 是参数) 17(I) 将曲线 C 的极坐标方程和直线 的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程；() 若直 线 与曲线 C 相交于 A，B 两点，且 ，试求实数 m 的值解析 27.28.(2014 吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试，23) 选修 44：坐标系与参数方程选讲已知直线 的参数方程为 为参数) ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为
19、极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为 （1）求圆 的直角坐标方程；（2）若 是直线 与圆面 的公共点，求 的取值范围解析 28. （1）因为圆 的极坐标方程为所以18又所以所以圆 的普通方程（2）解法 1：设由圆 的方程所以圆 的圆心是 ，半径是将 代入 得又直线 过 ，圆 的半径是 ，所以所以即 的取值范围是解法 2：直线 的参数方程化成普通方程为： 6 分由 ，解得 ， 8 分19 是直线 与圆面 的公共点，点 在线段 上， 的最大值是 ，最小值是 的取值范围是 10 分(2014 吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试，24) 选修 45：不等式选讲设函数 .（1）若不等式 的解集为 ，求
20、 的值；（2）若存在 ，使 ，求 的取值范围.解析 由题意可得 可化为 ，解得 .（2）令 ，所以函数 最小值为 ，根据题意可得 ，即 ，所以 的取值范围为 .29.(2014 周宁、政和一中第四次联考，21（2）) 选修 4-4：坐标系与参数方程20在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程是 （ 为参数）.（）将 的方程化为普通方程；（）以 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设曲线 的极坐标方程是， 求曲线 与 交点的极坐标.解析 29. （）依题意， 的普通方程为 ，（）由题意， 的普通方程为 ，代入圆的普通方程后得 ，解得 ， ， 点 、 的直角坐标为 ， ，从而点 、 的极坐标为
21、 ， . （7 分）30.(2014 江苏苏北四市高三期末统考, 21C) 在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程是 （ 为参数）；以为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆 的极坐标方程为 . 由直线 上的点向圆 引切线，求切线长的最小值.解析 30.因为圆 的极坐标方程为 ，所以 ，所以圆 的直角坐标方程为 ，圆心为 , 半径为 1, （4 分）因为直线 的参数方程为 （ 为参数），21所以直线 上的点 向圆 C 引切线长是，所以直线 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 . （10 分）D. (2014 江苏苏北四市高三期末统考, 21D) 已知 均为正数, 证明：. 证法一 因为
22、均为正数，由均值不等式得 ，因为 ，所以 . （5 分）故 .又 3 ，所以原不等式成立. （10 分）证法二 因为 均为正数，由基本不等式得 ， ， .所以 .同理 ，（5 分）所以 .所以原不等式成立. （10 分）31. (2014 河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 23) 选修 4-4: 坐标系与参数方程已知曲线 (t 为参数) ， ( 为参数).（）化 ， 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;（）过曲线 的左顶点且倾斜角为 的直线 交曲绒 于 A，B 两点，求 .22解析 31. 解析 （）曲线 为圆心是 ，半径是 1 的圆.曲线 为中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，长轴
23、长是 8，短轴长是 6 的椭圆. （4 分）（）曲线 的左顶点为 ，则直线 的参数方程为 （ 为参数）将其代入曲线 整理可得： ，设 对应参数分别为 ，则所以 . （10 分）32. (2014 河北衡水中学高三上学期第五次调研考试 , 23) 在直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数）. 以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点 ，直线 的极坐标方程为 . （）判断点 与直线 的位置关系，说明理由；() 设直线 与直线 的两个交点为 、 ，求 的值.解析 32.（）直线 即 ，直线 的直角坐标方程为 ，点 在直线 上. （5 分）() 直线 的参数方程为 （ 为参数），曲线
24、 C 的直角坐标方程为 ，将直线 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程，23有 ，设两根为 ， . （10 分）33. (2014 兰州高三第一次诊断考试, 23) 选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，以原点 O 为极点，以 轴正半轴为极轴，与直角坐标系 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线 C 参数方程为 （ 为参数），直线 的极坐标方程为 .（）写出曲线 C 的普通方程和直线 的直角坐标方程；（ ）求曲线 C 上的点到直线 的最大距离，并求出这个点的坐标.解析 33. （）由 得 ，则直线 的普通方程为. 由 得曲线 的普通方程为 . （5 分）（ ）在 上任取一点 ，则点
25、到直线 的距离为，当 ，即 时， ，此时点 . （10 分)答案和解析理数答案 1. A24解析 1. 圆 的普通方程为 , 圆心为(1, 2). 直线 的普通方程为 , 所以点(1, 2) 到 直线的距 离为 .答案 2. 2解析 2. 曲线 的直角坐标系方程为 ，圆心在（3，3），半径为 ；直线 的普通方程为 ，该直线过圆心，且|OP|=5，所以过点 P 且垂直于直线 的直线被圆截得的弦长为，根据相交弦定理可得 .答案 3. 解析 3. 圆心在直角坐标系内的坐标为（3,0），由此可得在直角坐标系内圆的方程为 ，即 ，根据 及 可得该圆的极坐标方程是 .答案 4. 2解析 4.因为曲线 的参
26、数方程为 （ 为参数），化为普通方程为，又因为曲线 的极坐标方成为 ，所以 ，所以普通方程为 ，即 ，25所以圆心 到直线 的距离为 ，弦长 .答案 5.解析 5. 由 消去 得 ，由 整理得，所以 ，即 ，因为圆心 到直线 的距离为 ，所以所求的弦长为 .答案 6.解析 6. 因为 ，所以 ，所以 ，即，其参数方程为 （ 为参数），又因为 ，所以 ，26所以点 到直线 的距离为，（ 为参数），故曲线 上点到直线 （ 为参数）距离的最大值为 .答案 7.2 解析 7. 曲线 ， ，由圆心到直线的距离，故 与 的交点个数为 2.答案 8.解析 8. 由已知 P 点所在轨迹方程为 ， 表示 与原点
27、连线的斜率。设 ，由数形结合可知：当直线 与圆相切时取得最值，所以 ，得答案 9.解析 9. 由 得 ，所以 ， 又在极坐标系中，点（ 2， ），所以点（2， ）的直角坐标方程为，由点到直线的距离公式得所求的距离 .27答案 10.(1) 答案 1解析 10. 圆 C 的普通方程为 ，因为，所以直线 的直角坐标方程为 ，圆心 C 到直线 的距离为 2，所以圆 上的点到直线 的最大距离为 2+2r=4，解得 r =1.答案 11. 解析 11. 曲线 的普通方程为 ，曲线 的直角坐标方程为，其对应的曲线是以（0,2）为圆心，以 2 为半径为圆，因为圆心（0,2）到直线 的距离为 ，根据 ，得 .
28、答案 12. 解析 12. 消去参数 t 可得曲线 C1的普通方程为 ，曲线，根据 可得曲线 C2的直角方程为. 设点 ，联立 消 x 得 ，则，所以 的中点为 的纵坐标为 ，又因为点 M 在直线 上，代入 解得 ，所以中点 M 的坐标为 .答案 13. 28解析 13. 点 在直线： 上，点 在曲线： 上. 由 得：. 由 得 . 两直线 ， 间的距离即为的最小值，所以其最小值为 .答案 14. 0， )解析 14. 直线 在直角坐标系下的方程为：；曲线 消去参数 得抛物线： .联立方程组 ，消去 得关于 的一元二次方程：因为直线与抛物线有两个不同的交点，方程 有两个不相等的实数根，所以29
29、，解得： , 又因为当直线 经过点 时， ，所以 .答案 15. 解析 15. 消掉 可得直线方程为 ，利用 可得圆的方程为，联立方程组得交点 ，交点间距离为，则所求圆的面积为 . 另解：因为圆心到直线 的距离为 ，所以，则所求圆的面积为答案 16. 3解析 16. 由极坐标与直角坐标转化公式， ， ，又 、，则 、 的直角坐标为 ， ，点 ，可求得 .答案 17. 解析 17. 由 得 ，即为曲线 的普通方程，由 ， ， 即为曲线 的普通方程.由于圆 圆心为 ，又圆心 到直线 的距离为 ，圆的半径 ，30弦长 ，即为曲线 与 的交点的距离.答案 18. 解析 18. 把 化为普通方程为 ，令 ，则 ，由于圆心 到直线 的距离为 ，又点 时圆上任意一点，则 ，解得，即 的取值范围是 .答案 19.2解析 19.依题意，椭圆 的普通方程为 ，直线的普通方程为，令 ，则 ，令 ，则 ， ， ， ，.答案 20.查看解析解析 20.（1）由曲线 ： 得 两式两边平方相加得：即曲线 的普通方程为：由曲线 ： 得：即 ，所以即曲线 的直角坐标方程为:
