1、2012 届高考数学二轮复习资料专题六 不等式（教师版）【考纲解读】了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景;会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型,通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系,会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图;会从实际情境中抽象出二元一次不等式组,了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组,会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决;了解基本不等式的证明过程,会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.学会运用数形结合、分类讨论等数学思想方法分析和解决有关不等式问
2、题，形成良好的思维品质,培养判断推理和逻辑思维能力.从近几年高考题目来看，不等式的性质和解不等式问题多以一个选择题的形式出现，且多与集合、简易逻辑、函数知识相结合，难度较低.【考点预测】本章知识的高考命题热点有以下两个方面：1.均值不等式是历年高考的重点考查内容，考查方式多样，在客观题中出现，一般只有一个选择或填空，考查直接，难度较低；在解答题中出现，其应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，难度较高。 2.不等式证明也是高考的一个重点内容，且多以解答题的一个分支出现，常与函数、导数、数列、解析几何等知识结合，题目往往非常灵活，难度高。线性规划问题是近几年高考的一个新热点，在考题种主要
3、以选择、填空形式出现，当然，也可以实际问题进行考查。考查了优化思想在解决问题的广泛应用，体现了数学的应用价值，从而形成解决简单实际问题的能力，进一步考查了考生的数学应用意识。3.预计在 2012 年高考中，对不等式的性质和解不等式特别是含参数的不等式的解法，仍会继续渗透在其他知识中进行考查。对不等式的应用，突出渗透数学思想方法和不等式知识的综合应用，特别是求最值问题、不等式证明问题，将继续强调考查逻辑推理能力，尤其是不等式与函数、数列、三角、解析几何的综合题型将会继续出现在高考的中、高档题中。【要点梳理】1.不等式的性质与证明：(1)不等式的基本性质;(2)均值不等式,应用时要特别注意定理成立
4、的三个条件“一正二定三相等”,三者缺一不可;(3)一元二次不等式、二元一次不等式组、简单的一元高次不等式；(4)比较法证明:作差比较与作商比较法;(5)分析法与综合法证明。2.不等式的解法:(1)简单的一元高次不等式的解法:数轴标根法(2)分式不等式解法;(3)不等式的实际应用题的解题步骤:审题、建立不等式模型、解数学问题、写出答案.对于不等式的应用题有两类:一类是建立不等式,解不等式;一类是建立函数式,求最大值或最小值.3.二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题.【考点在线】考点一 不等式的性质例 1.（2011 年高考浙江卷文科 6)若 为实数,则“ ”是“ ”的( )ab01abaA充
5、分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D即不充分也不必要条件【答案】 D【解析】 则 不充分12,(0,1)42aba124baa则 不必要条件，故选 D.1,b4b【名师点睛】本题考查不等式的性质与充分必要条件,可利用作差比较法,也可用特殊值代法.【备考提示】：不等式的性质是高考考查的热点之一,几乎年年必考，不等式的性质经常与充分必要条件结合在一起综合考查，熟练不等式的各项性质是解答好本题的关键.练习 1:（2011 年高考全国卷文科 5)下面四个条件中，使 成立的充分而不必要的ab条件是( )（A） （B） （C） （D）1ab 1ab 2a 3【答案】A【解析】 0故选 A.
6、, 1abab反 之 不 能 推 出【名师点睛】本小题先用“1”的代换,再展开后,应用均值不等式.【备考提示】：熟练掌握均值不等式及其变形公式是解答好本类题的关键. 练习 2: 2010 年高考山东卷文科 14）已知 ，且满足 ，则 xy 的最大值为 .,xyR134xy【答案】3【解析】因为 ，所以 ，解得 ，故 xy 的最大值为 3.1234xy124xy3xy考点三 解不等式高考要求掌握简单不等式的解法.解不等式是研究函数和方法的重要工具，是求函数的定义域、值域、最值、单调性、求反函数和参数的取值范围的重要手段， “不等式的变形”是研究数学的基本手段之一，它渗透到高中数学的每个角落中（如
7、函数、方程、集合、数列、平面向量、三角函数、解析几何、立体几何、概率与统计、导数等） ，其基本思想是转化思想转化的方法是: 超越式 分式 整式（高次） 整式（低次） 一次(或二次)不等式其中准确熟练求解一元二次（一次）不等式是解其他不等式的基础，解一元高次不等式的有效方法是序轴法.此外,要重视数形结合、分类讨论思想的运用.不等式的解法是高考必考内容，直接考查主要以选择题、填空题为主，这类题小巧灵活，常考常新；但有时也以解答题形式出现，主要考查含参数的不等式的解法.间接考查则更多，常以工具作用出现在函数、数列、三角函数、导数、解析几何、平面向量等问题之中,考查时重点考查一元二次不等式、分式不等式
8、、含绝对值不等式，但偶尔也会涉及无理不等式、指数和对数不等式的解法例 3. (2011 年高考辽宁卷理科 9)设函数 f（x）= 则满足 f（x）2 的 x， ， 1xlog-1 2x的取值范围是（ ）（A）-1，2 （B）0，2 （C）1，+ ） （D）0，+ ）【答案】 D【解析】不等式等价于 或 解不等式组，可得 或 ，1,2x21,log,x01x即 ，故选 D.0x【名师点睛】本题考查不等式的解法,包含指数与对数不等式.【备考提示】：不等式的解法是高考的热点问题之一,要熟练一元二次不等式（包括含有参数的）、简单的分式不等式、指数与对数不等式.练习 3：(2011 年高考广东卷文科 5
9、)不等式 的解集是（ ）210xA B.1(,)2(1,)C D (,)(,),(1,)2【答案】D【解析】由题得 所以选 D.,210)1(2012 xxx 或考点四 线性规划线性规划是高考热点之一,考查内容设计最优解, 最值,区域面积与形状等, 通常通过画可行域, 移线 ,数形结合等方法解决问题.例 4. (2011 年高考安徽卷文科 6)设变量 x,y 满足 ,则 的最大值和最小xy1xy值分别为( )（A） 1， 1 (B) 2， 2 (C ) 1， 2 (D)2， 1【答案】B【解析】 三条直线的交点分别为（0,1） ， （0，1） ， （1,0） ，分别,0xyx代入 ，得最大值为
10、 2，最小值为2.故选 B.【名师点睛】本题考查线性目标函数在线性约束条件下的最大值与最小值问题.属中等题.【备考提示】：线性规划问题不牵涉目标函数的斜率问题时，可以不画图，直接将交点坐标求出代入计算即可.练习 4：（2011 年高考山东卷文科 7)设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标250xy函数 的最大值为( )231zxy(A)11 (B)10 (C)9 (D)8.5【答案】B【解析】画出平面区域表示的可行域如图所示,当直线平移至点 A(3,1)时, 目标函数231zxy取得最大值为 10,故选 B.考点五 不等式的证明高考要求掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.不等式证明是高
11、中数学的重要内容，同时也是高中数学的难点，加之题型广泛，涉及面广，证法灵活，因而备受命题者的青睐，成为高考的热点问题.但由于在高考时，涉及到不等式证明的问题往往出现在压轴题上，其综合性强、思维量大，因而不等式证明问题也就成为高考的难点问题.现在的高考没有单独命制不等式证明的试题，而是把它与函数、数列、导数、解析几何、立体几何、概率与统计等问题相结合命制成综合的压轴题，重在考查逻辑思维能力，以及常用的不等式证明方法（基本方法:比较法、综合法、分析法;常用方法:放缩法、换元法、求导法、反证法、数学归纳法等）.例 5.已知 a，bR，且 a+b=1.求证： 252ba 证法一：比较法，作差消 b,化
12、为 a 的二次函数,也可用分析法、综合法，反证法，实质与比较法相同.证法二：（放缩法） 1b, 左边 222abb21542ab右边证法三：（均值换元法） 1ab，所以可设 ta21， tb，左边 222()()t255ttt右边当且仅当 t=0 时，等号成立.证法四：（判别式法）设 y= (a+2)2+(b+2)2，由 a+b=1，有 132)3()2(2aaay ，所以 013a，因为 R，所以 0)(4y，即 25故 252b.【名师点睛】：形如 a+b=1 结构式的条件，一般可以采用均值换元,注意体验不等式证明方法的灵活性和各种证明方法间的内在联系.【备考提示】：证明不等式的方法有许多
13、，关键是靠平常的善于总结.5. 已知 ，求证： 1,0yxx 4yx81【解析】 ， ，2两边同加上 得， 2yx)(2yx1)(x又 ，两边同加上 得， ，44)(4y2)(yx41 yx81【考题回放】1.(2011 年高考山东卷理科 4)不等式 的解集为( )|5|3|10x（A）-5.7 （B）-4,6 （C） （D）(,57,)(,46,)【答案】D【解析】 则 因11abab或211(1)()abab为 所以 即 于是 所以02()0()0()0成立，充分条件；1ab或反之 成立，即 则1a或 1100abab或 1()ba,故 ， 不必要条件。故选 A.2()0ab3.（2009
14、 年高考山东卷文科第 5 题）在 R 上定义运算 : ,则满足e2aba的实数 的取值范围为（ ）(2)0xexA. B. C. D.,(,1)(,2)(1,)(1,)【答案】B【解析】由题意知: ,解得 ,2()()0xxxe 21x故选 B.4. (2011 年高考天津卷文科 5)已知 则（ ）2log3.6,a4l.,b4log3.6,cA. B. C. D. abccbaab【答案】B【解析】因为 , 都小于 1 且大于 0,故排除 C,D;又因为 都是以 4 为底的对数,1abc ,bc真数大,函数值也大,所以 ,故选 B.5 (2011 年高考广东卷文科 4)函数 的定义域是 （
15、）()lg(1)fxxA B C D(,1)(,(,)【答案】C【解析】由题得所以选 C.） ，（）函 数 的 定 义 域 为 （且 1,-101 xx6 (2011 年高考广东卷文科 6)已知平面直角坐标系 上的区域 由不等式组xOyD给定，若 为 上的动点，点 的坐标为 ，则2xy,MxyDA2,1的最大值为（ ）zOAA3 B4C D22【答案】B【解析】由题得不等式组对应的平面区域 D 是如图所示的直角梯形OABC, ，|cos3|cos3|zOMAAOMAOMN所以就是求 的最大值， 表示|N|数形结合观察得当点 M 在点 B 的地方时， 才最大。|N,所222 3614cos3AO
16、 AOA2在 中 ， =+13,=6A-1,以 ，所以选择 B4maxz7.（2011 年高考福建卷文科 10)若 a0, b0, 且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 处有极值，1x则 的最大值等于( )bA. 2 B. 3C. 6 D. 9【答案】D【解析】 ,所以 在 处有极值,所以2()1fxaxb()fx1,即 ,又 ,所以 ,即 ,所以1)0f 60ab2ab6ab,当且仅当 时等号成立,所以 的最大值为 9,选 D.9ab3当 时， ；7,5xymax45073490z当 时， ，越往下的临界值越小，故选 C.6,ax689 （ 2011 年高考湖南卷文科 3)“1|
17、“x是 的( )A充分不必要条件 必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分又不必要条件【答案】A【解析】因 “1|“x，反之“| 或，不一定有 1“x。10 （ 2011 年高考湖北卷文科 8)直线与不等式组 表示平面区域的公共点有( )0,243yxA.0 个 B.1 个C.2 个 D.无数个【答案】B【解析】画出可行域（如图示） ，可得 B(0,2) , A(2,4),C(5,0) ,D(0, ), E(0,10),故由图知有唯一交点，故选 B.20311.(2011 年高考安徽卷文科 13)函数 的定义域是 . 216yx【答案】 （3,2）【解析】由 可得 ，即 ，所以 .260x26
18、0x+320x32x12 （2011 年高考江西卷文科 15)对于 ，不等式 的解集为_.R18x【答案】 x【解析】两种方法，方法一：分三段，当 x2 时， x+10-x+2 ,x2,综 上 ：方法二：用绝对值的几何意义，可以看成到两点-10 和 2 的距离差大于等于 8 的所有点的集合，画出数轴线，找到 0 到 -10 的距离为 10，到 2 的距离为 2， ，1dd21并当 x 往右移动，距离差会大于 8，所以满足条件的 x 的范围是 .013. （2011 年高考海南卷文科 14)若变量 满足约束条件 ,则,y396xy的最小值为 .2zxy【答案】-6【解析】画出不等式组表示的平面区
19、域,平移目标函数表示的直线,不难求出最小值为-6.14 （2011 年高考浙江卷文科 16)若实数 满足 ，则 的最大值是 .,xy21xyy【答案】 23【解析】 .2 2221()1()()1xyxyxy23xy15. (2011 年高考天津卷文科 12)已知 ,则 的最小值为 .22loglab39ab【解析】设坐标原点的直线方程为 ,则由 解得交点坐标为(0)ykx2ykx、 ，即为 P、Q 两点，所以线段 PQ 长为2(,)k2(,)k，当且仅当 时等号成立，故线段 PQ 长的最小值是 4.4kk1k【高考冲策演练】一、选择题：1.（2010 年高考天津卷文科 7）设集合则实数 a
20、的取值范围是Ax|-a0”是“ 0”成立的( )32A充分非必要条件 B必要非充分条件C非充分非必要条件 D充要条件9 （ 2010 年高考陕西卷文科 6） “a0” 是“ 0”的( )(A)充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】A10 （ 2010 年高考全国卷文科 7）已知函数 .若 且， ，()|lgfxab()ffb则 的取值范围是( )ab(A) (B) (C) (D) 1,)1,(2,)2,)【答案】C【解析 1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去) ，或 ，所以 a+b=1ba1a又 0f(1)=1+1=2,即 a+b 的取值范围是(2,+).【解析 2】由 00,得：2a2233()0aaxx讨论得：当 时，解集为 ;26(,)a(,)a当 时，解集为 ;,2233,)a当 时，解集为 .2,a2,)a
