1、12015 届高考数学大一轮复习 向量的数量积和运算律、向量的应用精品试题 理（含 2014 模拟试题）1.（2014 重庆一中高三下学期第一次月考，10）（原创）已知 分别是 的三边 上的点，且满足 ， ， ，. 则 （ ）（A） （B） （C） （D）解析 1. 因为 ， ；又因为 ，可得 , 所以 DEAC; ，则可得 , 所以可得 .2.(2014 天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试，2) 已知 垂直，则 的夹角是（ ）（A）60 0 （B）90 0 （C）135 0 （D）120 0解析 2. 由题意可得 , 得 , 所以又因为 , 得 .23. (2014 湖北黄冈高三 4 月模拟
2、考试， 5) 已知点 是 的重心，若 ，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 2解析 3. 设 中角 ，所对的边分别为 ，因为 ，所以 ，即 ，由 是 的重心，所以 ，所以， ，当且仅当 时等号成立.4. (2014 河北唐山高三第一次模拟考试，11) , 分别是 的中线，若，且 与 的夹角为 120，则 （ ）3解析 4. 由已知可得： , 所以 ,所以 , 选 C. 5. (2014 贵州贵阳高三适应性监测考试, 7) 如图，在矩形 ABCD 中， BC=2，点E 为 BC 的中点，点 F 在 CD 上， 的值是（ ）A. B. 2 C. 0 D. 1解析 5. = = , 所以 =
3、1.所以， = = + = .6. (2014 山东实验中学高三第一次模拟考试，10) 若 所在的平面内的点，且 . 给出下列说法： ； 的最小值一定是 ；点 A 、 在一条直线上；向量 的方向上的投影必相等.其中正确的个数是（ ）A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个4解析 6. 由 可得 ，所以 ，即 ，有此可知点 在过点 且垂直与 的直线上，所以正确. 选 B.7. （2014 广东汕头普通高考模拟考试试题，3）如图，在 中，则 ( ) A. 1 B. C. 2 D. 解析 7. .8. (2014 北京东城高三第二学期教学检测，5) 设 ， 是两个非零向量. 则下列命题
4、为真命题的是（ ）A. 若| | | |，则5B. 若 ，则| | | |C. 若| | | |，则存在实数 ，使得D. 若存在 实数 ，使得 ，则| | | |解析 8. 若 等价于 反向共线且 ，所以存在实数 ，使得，选 C.9. (2014 重庆铜梁中学高三 1 月月考试题，10) 在 所在的平面内，点 满足， ，且对于任意实数 ，恒有 ， 则 （ ）A. B. C. D. 解析 9. 因为 ， ，所以 四点共线，以 所在的直线为 轴，以 的中垂线为 轴，建立直角坐标系，设 ， ，则 ，因为恒有 ，所以 ，即 恒成立，所以判别式 ，解得 ，所以 ，即点 在 的中垂线上，故 .10.（20
5、14 江西红色六校高三第二次联考理数试题，10）定义空间两个向量的一种运算6，则关于空间向量上述运算的以下结论中： ； ； ；若 ，则 .恒成立的有（ ）A B. C. D. 解析 10. 根据定义可得 ，故正确；此时可排除选项 C、D；故只需判断命题和的正确与否. 当向量 为不为零的相反向量时，可得 ，显然的值为正值，故的说法错误，故选 B.11. (2014 广西桂林中学高三 2 月月考，6) 若 ，则向量 与 的夹角为（ ）(A) (B) (C) (D) 解析 11. 设向量 与 的夹角为 ，因为 ，所以，由 ，所以 ，所以 ，所以 .12.（2014 湖北八校高三第二次联考数学（理）试
6、题，8）如图，在半径为 R 的圆 C 中，已知弦 AB 的长为 5，则 （ ）7A B C D解析 12. 过点 C 作线段 AB 的垂线，垂足为 D，则根据圆的性质可得 AD= ，根据平面向量的数量积可得 .13.(2014 河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题, 7) 已知在ABC 中， ，且 ，则函数 的最小值为( )(A) (B) (C) (D) 解析 13. 令 ，因为 ，由题意可得 得，又因为 ，得 . 所以，当 时， 有最小值.14.(2014 湖北武汉高三 2 月调研测试，3) 已知 e1，e 2是夹角为 60的两个单位向量，若ae 1e 2，b4e 1
7、2e 2，则 a 与 b 的夹角为A30 B60 C120 D150解析 14. 由已知, 是 夹解角为 的两个单位向量, 所以, 8, =, 又因为 故选 C.15. (2014 湖南株洲高三教学质量检测（一），5) 已知点 ， 为坐标原点，动点 满足 ，则点 所构成的平面区域的面积是( ) A. 12 B. 16 C. 32 D. 64解析 15. ， ， 为坐标原点，动点 ， ， ，由 ，即 ，他表示的可行域为边长为 的正方形，如图，围成的区域的面积是 .916. (2014 河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 10) 已知 ， 是两个互相垂直的单位向量，且 ，则对任意的正实数 ， 的最
8、小值是（ ）A. 2 B. C. 4 D. 解析 16. 是互相垂直的单位向量，设 ， ， ，由 ， ，即 ， ， ，当且仅当 时取等号，故 的最小值为 .17. (2014 河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 10) 已知向量 ， ， 满足， ，则 的最小值为（）A B C D解析 17.由 得： ，建立直角坐标系可设 ，代入 化简得： ，又 表示圆上的点 到点 的距离，由图像可得最小距离为，故选 A.1018. (2014 江西七校高三上学期第一次联考, 6) 设 ，向量 ， ，且 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 10解析 18. ， ，即 ，又 ， ，即 ， ，故 .19.(
9、2014 广州高三调研测试, 3) 已知向量 ， ， ，若 ，则实数 的值为（ ）A B C D解析 19. 依题意， ，又 ， ，即 .20. (2014 湖北黄冈高三期末考试) 已知 为线段 上一点， 为直线 外一点， 为上一点，满足， ， ，且 ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 11解析 20. ，而 ，又 ，即 ，在 的角平分线上，由此得 是 的内心，过 作 于 ， 为圆心， 为半径，作 的内切圆，如图，分别切 、 于 、 ， ， ，在 中， ， .21. (2014 湖北黄冈高三期末考试) 函数 的部分图象如图所示，若，则 （ ）A. B. 12C. D. 解析 21. 由图
10、知，函数的周期为 ，设 ，则 ， ，又， ，解得 .22.(2014 天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，15) 设向量 a，b 的夹角为，a=（2，1），a+3b=（5，4），则 sin= 解析 22. 设 ，则由题意可得 ，解得 . 所以，又因为 ，结合平方关系式可得 sin= .23. (2014 山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，14) 圆O 为ABC 的外接圆，半径为 2，解析 23. 可得点 O 位线段 BC 的中点，又因点 O 为ABC 的外接圆的圆心，由此可得ABC 为以 BC 为斜边的直角三角形，且 ，根据勾股定理可得 ，所以 ，根据投影的定义可知
11、 方向上的投影为 .24. (2014 山西太原高三模拟考试（一），15) 已知 O 是锐角 ABC 的外接圆的圆心，且A= ，若 ，则实数 m= . (用 表示) 13解析 24. 设外接圆半径为 R，则： 可化为：（*）. 易知 与 的夹角为 2C， 与 的夹角为 2B， 与 的夹角为 0，| |=| |=| |=R. 则对（*）式左右分别与 作数量积，可得：. 即 R2 （cos2C1）+ R2（cos2B1）=2mR 2. 2sinCcosB+（2sinBcosC）=2m，sinCcosB+sinBcosC=m，即 sin（B+C）=m. 因为 sinA=sin（B+C）=sin（B+
12、C）且A=，所以，m=sinA=sin.25. (2014 河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），14) 若向量 , 是两个互相垂直的单位向量，则向量 在向量 方向上的投影为_. 解析 25. 依题意，投影为 .26. (2014 黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，15) 已知 ,动点 满足 , 则 的最大值为_. 解析 26. 设动点 ，因为 ， ， ， ，所以 ，即 ，所以 ，所以 ，即为圆 上的点到坐标原14点的距离的 2 倍，因为圆心 到坐标原点的距离为 2，圆的半径为 1，所以 的最大值为 .,27.（2014 江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，14）已知
13、是上一动点, 线段 是 的一条动直径( 是直径的两端点), 则 的取值范围是_解析 27. 因为 ，又因为|AB|=2，所以 ，又因为 ，两边同时平方得 两式相加得，由得 ，由圆的性质可得，所以 的取值范围是15,35.28. (2014 重庆五区高三第一次学生调研抽测，11) 设向量 ， ，则向量 在向量 上的投影为 . 解析 28. 向量 在向量 上的投影为 .29. (2014 湖南株洲高三教学质量检测（一），10) 已知 是 内的一点，且， ，若 ， 和 的面积分别为， ， ，则 的最小值是 . 解析 29. 由已知得 ， ，即 ，而 .30.(2014 江苏苏北四市高三期末统考, 1
14、3) 在平面四边形 中，已知 ， ，点15分别在边 上，且 ， 若向量 与 的夹角为 ，则 的值为 解析 30. 如图所示，设直线 与 相交于 ，由题意知 ，令 ，则由 ，可得 ， ，故 为等边三角形，在 中，由余弦定理求得 ， ，31. (2014 吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 14) 已知直角 中, 为斜边 的中点，则向量 在 上的投影为 . 解析 31. 在直角 中， ， ， 为斜边 的中点，如图，16过点 作 ，垂足为 ，则 是向量 在 上的投影， ， ，向量 在 上的投影为 .32. (2014 成都高中毕业班第一次诊断性检测，15) 设O 为不等边 的外接圆，内角 ， ， 所
15、对边的长分别为 , , ， 是 所在平面内的一点，且满足（ 与 不重合）， 为 所在平面外一点， . 有下列命题：若 ， ，则点 在平面 上的射影恰在直线 上；若 ，则 ；若 ， ，则 ；若 ，则 在 内部的概率为 （ 、 分别表示 与圆 的面积）.其中不正确的命题有 （写出所有不正确命题的序号）解析 32. , ,， ，即 是 的平分线， 在平面 上的射影是 的外心 ， 是不等边三角形，点 在平面 上的射影恰在直线 上不正确，故错误；， 为 弧的中点， ，是 在平面 上的射影， ，17，故正确；由于 ，则点 在圆内， ，则 为直径，若 ，则 为 的角平分线，且 经过点 ，与 是不等边三角形矛
16、盾，故不正确；若 ， 是 的平分线， 在 内部的概率应该为长度的测度，故不正确.故不正确的为 .33.(2014 陕西宝鸡高三质量检测(一), 2) 设 为向量，则 是 的（ ）A . 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也必要条件 解析 33. 设向量 的 夹角为 ，若 ，则 ；若 ，则 ，从而 ， 是 的充分必要条件.34. (2014 江苏苏北四市高三期末统考, 15) 已知向量 ， . （）若 ，求 的值；（）若 ， ，求 的值.解析 34. 解析 （）由 可知， ，所以 ，所以 . （6 分）（）由 可得，即 ， （10 分）18又 ，且 ，由可解
17、得， ，所以 . （14 分）35. (2014 河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 17) 如图 中，已知点 在 边上，满足 ， . （）求 的长；（）求 .解析 35. （） 因为 ，所以 ,即 ，在 中，由余弦定理可知 ，即 ，解之得 或由于 ，所以 （7 分）（） 在 中，由正弦定理可知 ，又由 可知 ，所以 ,因为 ,19所以 （12 分）36. (2014 江西七校高三上学期第一次联考, 16) 如图，平面四边形 中， ， ， ， . （） ；（）设 ，求 、 的值.解析 36. （）设 ， ，则 ， ，. （6 分）（）由 得 ，解得 ， . （ 12 分）37. (2014 兰
18、州高三第一次诊断考试, 17) 已知 的三内角 、 、 所对的边分别是 ， ，向量， ，且 .（）求角 的大小；（ ）若 ，求 的范围.解析 37. 解析 （） ， ，且 .20，即 ，而 ，故 . （6 分）（ ）由余弦定理，得 ， 当且仅当 时，取等号.， ，又 ， . （12 分）38. (2014 湖北黄冈高三期末考试)设向量 ， ，函数（1）求函数 的最小正周期；（2）在锐角 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ， ， ，求 的值.解析 38.（1）,所以，函数 的 . (5 分)（2） ,21， ,答案和解析理数答案 1. D解析 1. 因为 ， ；又因为 ，可得 , 所以 D
19、EAC; ，则可得 , 所以可得 .答案 2. D解析 2. 由题意可得 , 得 , 所以又因为 , 得 .答案 3. B解析 3. 设 中角 ，所对的边分别为 ，因为 ，所以 ，即 ，22由 是 的重心，所以 ，所以， ，当且仅当 时等号成立.答案 4. C 解析 4. 由已知可得： , 所以 ,所以 , 选 C. 答案 5.A解析 5. = = , 所以 =1.所以， = = + = .答案 6.B 解析 6. 由 可得 ，所以 ，即 ，有此可知点 在过点 且垂直与 的直线上，所以正确. 选 B.答案 7.D 解析 7. .答案 8.C解析 8. 若 等价于 反向共线且 ，所以存在实数 ，
20、使得23，选 C.答案 9.C解析 9. 因为 ， ，所以 四点共线，以 所在的直线为 轴，以 的中垂线为 轴，建立直角坐标系，设 ， ，则 ，因为恒有 ，所以 ，即 恒成立，所以判别式 ，解得 ，所以 ，即点 在 的中垂线上，故 .答案 10. B解析 10. 根据定义可得 ，故正确；此时可排除选项 C、D；故只需判断命题和的正确与否. 当向量 为不为零的相反向量时，可得 ，显然的值为正值，故的说法错误，故选 B.答案 11. A解析 11. 设向量 与 的夹角为 ，因为 ，所以，24由 ，所以 ，所以 ，所以 .答案 12. B解析 12. 过点 C 作线段 AB 的垂线，垂足为 D，则根
21、据圆的性质可得 AD= ，根据平面向量的数量积可得 .答案 13. B解析 13. 令 ，因为 ，由题意可得 得，又因为 ，得 . 所以，当 时， 有最小值.答案 14. C解析 14. 由已知, 是 夹解角为 的两个单位向量, 所以, , 25=, 又因为 故选 C.答案 15. C解析 15. ， ， 为坐标原点，动点 ， ， ，由 ，即 ，他表示的可行域为边长为 的正方形，如图，围成的区域的面积是 .答案 16. B解析 16. 是互相垂直的单位向量，设 ， ， ，由 ， ，即 ， ， ，当且仅当 时取等号，26，故 的最小值为 .答案 17.A解析 17.由 得： ，建立直角坐标系可设
22、 ，代入 化简得： ，又 表示圆上的点 到点 的距离，由图像可得最小距离为，故选 A.答案 18. B解析 18. ， ，即 ，又 ， ，即 ， ，故 .答案 19. A解析 19. 依题意， ，又 ， ，即 .答案 20. C解 析 20. ，而 ，又 ，即 ，在 的角平分线上，由此得 是 的内心，过 作 于 ， 为圆心， 为半径，作 的内切圆，如图，分别切 、 于 、 ， ， ，27在 中， ， .答案 21. C解析 21. 由图知，函数的周期为 ，设 ，则 ， ，又， ，解得 .答案 22. 解析 22. 设 ，则由题意可得 ，解得 . 所以，又因为 ，结合平方关系式可得 sin= .
23、答案 23. 3解析 23. 可得点 O 位线段 BC 的中点，又因点 O 为ABC 的外接圆的圆心，由此可得ABC 为以 BC 为斜 边的直角三角形，且 ，根据勾股定理可得 ，所以 ，根据投影28的定义可知 方向上的投影为 .答案 24. 解析 24. 设外接圆半径为 R，则： 可化为：（*）. 易知 与 的夹角为 2C， 与 的夹角为 2B， 与 的夹角为 0，| |=| |=| |=R. 则对（*）式左右分别与 作数量积，可得：. 即 R2 （cos2C1）+ R2（cos2B1）=2mR 2. 2sinCcosB+（2sinBcosC）=2m，sinCcosB+sinBcosC=m，即
24、 sin（B+C）=m. 因为 sinA=sin（B+C）=sin（B+C）且A=，所以，m=sinA=sin.答案 25.解析 25. 依题意，投影为 .答案 26. 6解析 26. 设动点 ，因为 ， ， ， ，所以 ，即 ，所以 ，29所以 ，即为圆 上的点到坐标原点的距离的 2 倍，因为圆心 到坐标原点的距离为 2，圆的半径为 1，所以 的最大值为 .,答案 27. 15,35解析 27. 因为 ，又因为|AB|=2，所以 ，又因为 ，两边同时平方得 两式相加得，由得 ，由圆的性质可得，所以 的取值范围是15,35.答案 28. 解析 28. 向量 在向量 上的投影为 .答案 29. 18解析 29. 由已知得 ， ，即 ，而 .答案 30. 7解析 30. 如图所示，设直线 与 相交于 ，由题意知 ，令 ，则由 ，可得 ， ，故 为等边三角形，30在 中，由余弦定理求得 ， ，答案 31. 解析 31. 在直角 中， ， ， 为斜边 的中点，如图，过点 作 ，垂足为 ，则 是向量 在 上的投影， ， ，向量 在 上的投影为 .答案 32.
