1、 2015 年高考数学试题分类汇编 海南省保亭中学 王 生第 1 页 （共 18 页）2015 年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（05 不等式）一、 选择题：1.（2015 安徽文）已知 x， y 满足约束条件041xy，则 yxz2的最大值是（ ）（ A）-1 （ B）-2 （ C）-5 （ D）12. （2015 北京理）若 x， y满足01xy ， ， ，则 2zxy的最大值为（ ）A0 B1 C 32 D2【答案】D2015 年高考数学试题分类汇编 海南省保亭中学 王 生第 2 页 （共 18 页）【解析】试题分析：如图，先画出可行域，由于 2zxy，则 12xz，令0Z，作直
2、线 12yx，在可行域中作平行线，得最优解 (0,)，此时直线的截距最大，取得最小值 2.考点：线性规划；3 （2015 福建文）若直线 1(0,)xyab过点 (1,)，则 ab的最小值等于（ ）A2 B 3 C4 D5【答案】C考点：基本不等式4 （2015 福建理）若变量 ,xy 满足约束条件20,xy则 2zxy 的最小值等于 ( )A 52 B C 32 D2【答案】A【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，目标函数变形为 yxz，当 最小时，直线 2yxz的纵截距最大，故将直线 2yx经过可行域，尽可能向上移到过点 1(,)2B时， z取到最小值，最小值为 152()z，故选 A考
3、点：线性规划5 （2015 福建文）变量 ,xy满足约束条件02xym，若 2zxy的最大值为 2，则实数m等于（ ）A 2 B 1 C D【答案】C【解析】2015 年高考数学试题分类汇编 海南省保亭中学 王 生第 3 页 （共 18 页）x1234 1234234123BOC试题分析：将目标函数变形为 2yxz，当 取最大值，则直线纵截距最小，故当 0m时，不满足题意；当 0m时，画出可行域，如图所示， 其中 2(,)1Bm显然 (,)O不是最优解，故只能 2(,)1B是最优解，代入目标函数得 42，解得 1，故选C考点：线性规划6.（2015 广东文）若变量 x， y满足约束条件204x
4、y，则 23zxy的最大值为（ ）A 10 B 8 C 5 D【答案】C考点：线性规划2015 年高考数学试题分类汇编 海南省保亭中学 王 生第 4 页 （共 18 页）7 （2015 广东理）若变量 x， y满足约束条件 2031854yx则 yxz2的最小值 为（ ）A 531 B. 6 C. 523 D. 4【答案】 C【解析】不等式所表示的可行域如下图所 示，由 32zxy得 32zx， 依题当目标函数直线 l： 32zyx经过 41,5A时， z取得最小值即 min415，故选 C【考点定位】本题考查二元一次不等式的线性规划问题，属于容易题8. （2015 广东文）不等式 2340x
5、的解集为 （用区间表示）【答案】 4,1【解析】试题分析：由 2x得： 1，所以不等式 2340x的解集为 4,1，所以答案应填： ,考点：一元二次不等式9、(2015 湖南文)若变量 x、y 满足约束条件1xy，则 z=2x-y 的最小值为( )A、-1 B、0 C、1 D、2【答案】AxyOAl2015 年高考数学试题分类汇编 海南省保亭中学 王 生第 5 页 （共 18 页）考点：简单的线性规划10. (2015 湖南理)若变量 x， y满足约束条件12xy，则 3zxy的最小值为（ ）A.-7 B.-1 C.1 D.2【答案】A.而可知当 2x， 1y时， min3(2)17z的最小值
6、是 7，故选 A.【考点定位】线性规划.【名师点睛】本题主要考查了利用线性规划求线性目标函数的最值，属于容易题，在画可行域时，首先必须找准可行域的范围，其次要注意目标函数对应的直线斜率的大小，从而确定目标函数取到最优解时所经过的点，切忌随手一画导致错解.11、(2015 湖南文)若实数 a，b 满足 12ab，则 ab 的最小值为( )A、 2 B、2 C、2 D、4【答案】C2015 年高考数学试题分类汇编 海南省保亭中学 王 生第 6 页 （共 18 页）考点：基本不等式12.(2015 山东理)已知 ,xy满足约束条件02xy，若 zaxy的最大值为 4，则 a （ ）（A）3 （B）2
7、 （C）-2 （D）-3【答案】B【解析】不等式组0xy在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，若 zaxy的最大值为 4，则最优解可能为 1,xy 或 2,0xy ，经检验， 2,0xy是最优解，此时 2 ； 1,xy不是最优解.故选 B.【考点定位】简单的线性规划问题.【名师点睛】本题考查了简单的线性规划问题，通过确定参数 a的值，考查学生对线性规划的方法理解的深度以及应用的灵活性，意在考查学生利用线性规划的知识分析解决问题的能力. 13. (2015 陕西理)设 ()ln,0fxab，若 ()pfb， ()2bqf，1(2rfab，则下列关系式中正确的是（ ）A qp B
8、qrp C r D pr【答案】C2015 年高考数学试题分类汇编 海南省保亭中学 王 生第 7 页 （共 18 页）考点：1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性14. (2015 陕西文)设 ()ln,0fxab，若 ()pfab， ()2bqf，1(2rfab，则下列关系式中正确的是（ ）A qp B qrp C r D r【答案】 C【解析】试题分析： 1()lnl2fabab； ()ln2baqf；1()2rf因为 a，由 ()lfx是个递增函数， ()()ffab所以 qpr，故答案选 C考点：函数单调性的应用.15. (2015 陕西文) 某企业生产甲乙两种产品均需用 A，B 两
9、种原料，已知生产 1 吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产 1 吨甲乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）甲 乙 原 料 限 额A(吨 ) 3 2 12B(吨 ) 1 2 8A12 万元 B16 万元 C17 万元 D18 万元【答案】 D2015 年高考数学试题分类汇编 海南省保亭中学 王 生第 8 页 （共 18 页）当直线 340xyz过点 (2,3)A时， z取得最大值 32418z故答案选 D考点：线性规划.16. (2015 陕西理)某企业生产甲、乙两种产品均需用 A，B 两种原料已知生产 1 吨每种产品需原料及每天原料的可用限
10、额如表所示，如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）A12 万元 B16 万元 C17 万元 D18 万元甲 乙 原 料 限 额A(吨 ) 3 2 12B(吨 ) 1 2 8【答案】D【解析】试题分析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为 x、 y吨，则利润 34zxy由题意可列3280xy，其表示如图阴影部分区域：当直线 340xyz过点 (2,3)A时， z取得最大值，所以 max32418z，故选 D考点：线性规划17. (2015 上海文)下列不等式中，与不等式 解集相同的是（ ）.2382xA. B. 2)3(82xx )32(
11、8xx2015 年高考数学试题分类汇编 海南省保亭中学 王 生第 9 页 （共 18 页）C. D. 82312xx 21832x【答案】B18、(2015 上海理)记方程： ，方程： ，方程：210xa20xa，其中 ， ， 是正实数当 ， ， 成等比数列时，下列选项中，能推出2340xa1313方程无实根的是（ ）A方程有实根，且有实 根 B方程有实根，且无实根C方程无实根，且有实根 D方程无实根，且无实根【答案】B【解析】当方程有实根，且无实根时， ，从而 即方程：214,8a4223186,a无实根，选 B.而 A,D 由于不等式方向不一致，不可推；C 推出有实根2340xa【考点定位
12、】不等式性质19. (2015 重庆文)若不等式组20xym,表示的平面区域为三角形，且其面积等于 43，则m 的值为（ ）(A)-3 (B) 1 (C) 43 (D)3【答案】B【解析】试题分析：如图，2015 年高考数学试题分类汇编 海南省保亭中学 王 生第 10 页 （共 18 页）；由于不等式组20xym,表示的平面区域为三角形 ABC，且其面积等于 43，再注意到直线 AB：x+y-2=0 与直线 BC:x-y+2m=0 互相垂直，所以三角形 ABC 是直角三角形；易知，A（2，0） ，B（1-m,m+1）,C( 242,3m);从而 112CS= 43，化简得： ()4m，解得 m
13、=-3,或 m=1；检验知当 m=-3 时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去；所以 m=1;故选 B.考点：线性规划.20、(2015 四川文)设实数 x， y 满足21046xy，则 xy 的最大值为( )(A) 25 (B) 492 (C)12 (D)14【答案】 A2015 年高考数学试题分类汇编 海南省保亭中学 王 生第 11 页 （共 18 页）【考点定位】本题主要考查线性规划与基本不等式的基础知识，考查知识的整合与运用，考查学生综合运用知识解决问题的能力.【名师点睛】本题中，对可行域的处理并不是大问题，关键是“求 xy 最大值”中， xy 已经不是“线性”问题了，如果直接
14、设 xy k，则转化为反比例函数 y 的曲线与可行域有公共点问题，难度较大，且有超出“线性”的嫌疑.而上面解法中，用基本不等式的思想，通过系数的配凑，即可得到结论，当然，对于等号成立的条件也应该给以足够的重视.属于较难题.21.(2015 天津文)设变量 ,yx满足约束条件208xy-+,则目标函数 3yzx=+的最大值为（ ）(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)14【答案】C考点：线性规划22.( 2015 天津理)设变量 ,xy 满足约束条件203xy，则目标函数 6zxy的最大值为（ ）（A）3 （B）4 （C）18 （D）40【答案】C2015 年高考数学试题分类汇编 海南省保亭
15、中学 王 生第 12 页 （共 18 页）864224681510551015AB考点：线性规划.23、(2015 浙江文)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同已知三个房间的粉刷面积（单位： 2m）分别为 x， y， z，且 xyz，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/ 2）分别为 a， b， c，且 abc在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）A axbycz B zyx C D abc【答案】B考点：1.不等式性质；2.不等式比较大小.二、 填空题:1、 （2015 北京文）如图， CA及其内部的点组成的集合记为 D， ,xy为 中任意一点
16、，则23zxy的最大值为 2015 年高考数学试题分类汇编 海南省保亭中学 王 生第 13 页 （共 18 页）【答案】7考点：线性规划.2. （2015 湖北文）若变量 ,xy满足约束条件4,230,xy则 3xy的最大值是_【答案】 10.【考点定位】本题考查线性规划的最值问题，属基础题.【名师点睛】这是一道典型的线性规划问题，重点考查线性规划问题的基本解决方法，体现了数形结合的思想在数学解题中重要性和实用性，能较好的考查学生准确作图能力和灵活运用基础知识解决实际问题的能力.3、(2015 全国新课标卷文)若 x,y 满足约束条件201xy,则 z=3x+y 的最大值为 【答案】4【解析】
17、作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线 0l： 3xy，平移直线 0l，当直线 l:z=3x+y 过点 A 时，z 取最大值，由 2=1xy解得 A（1,1） ， z=3x+y 的最大值为 4.2015 年高考数学试题分类汇编 海南省保亭中学 王 生第 14 页 （共 18 页）【考点定位】简单线性规划解法【名师点睛】对线性规划问题，先作出可行域，在作出目标函数，利用 z 的几何意 义，结合可行域即可找出取最值的点，通过解方程组即可求出做最优解，代入目标函数，求出最值，要熟悉相关公式，确定目标函数的意义是解决最优化问题的关键，目标函数常有距离型、直线型和斜率型.4.(2015 全国新课标卷理)
18、若 x,y 满足约束条件 ，则 的最大值为 .104xyyx【答案】3【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知， 是可行域内一点与原yx点连线的斜率，由图可知，点 A（1,3）与原点连线的斜率最大，故 的最大值为 3.考点：线性规划解法5. (2015 全国新课标卷文) 若 x,y 满足约束条件5021xy,则 z=2x+y 的最大值为 【答案】8考点：线性规划2015 年高考数学试题分类汇编 海南省保亭中学 王 生第 15 页 （共 18 页）6(2015 全国新课标卷理)若 x，y 满足约束条件 ，则 的最大值为102,xy， zxy_【答案】 32【解析】试题分析：
19、画出可行域，如图所示，将目标函数变形为 ，当 取到最大时，直线yxz的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到 ，则 的最大值为 yxz 1(,)2Dxy32考点：线性规划 xy1234 12342341234DCBO7. (2015 山东文) 若 x,y 满足约束条件13,yx则 zxy的最大值为 .【答案】 7【解析】试题分析：画出可行域及直线 30xy，平移直线 30xy，当其经过点 (1,2)A时，直线的纵截距最大，所以 z最大为 127z.考点：简单线性规划.8. (2015 山东文) 定义运算“ ”： 2xy（ ,0Rxy， ）.当 0xy， 时，(2xyx的最小值是 . 2015
20、年高考数学试题分类汇编 海南省保亭中学 王 生第 16 页 （共 18 页）【答案】 2【解析】试题分析：由新定义运算知，22()4(2)yxy，因为， 0xy， ，所以， 4(2)xyxy，当且仅当 2时，的最小值是 2.考点：1.新定义运算；2.基本不等式.9. (2015 上海文)若 满足 ，则目标函数 的最大值为 .yx,02yxz2【答案】3【考点定位】不等式组表示的平面区域，简单的线性规划.10. (2015 天津文)已知 0,8,ab 则当 a 的值为 时 2logab取得最大值.【答案】4【解析】试题分析： 22222logl11log loglog64,44babab 当ab
21、时取等号,结合 0,8,a可得 ,. 考点：基本不等式.2015 年高考数学试题分类汇编 海南省保亭中学 王 生第 17 页 （共 18 页）11. (2015 重庆文)设 ,05ab+=,则 1+3ab的最大值为 _.【答案】 23考点：基本不等式.12、(2015 浙江文)已知实数 x， y满足 21，则 2463xyxy的最大值是 【答案】15【解析】试题分析： 2,22463104xyxzxyxy由图可知当 时，满足的是如图的 AB劣弧，则 zy在点 (1,0)A处取得最大值5；当yx时，满足的是如图的 优弧，则 3zx与该优弧相切时取得最大值，故10zd，所以 15z，故该目标函数的最大值为 15.考点：1.简单的线性规划；13. (2015 浙江理)若实数 ,xy满足 21，则 263xyxy的最小值是 2015 年高考数学试题分类汇编 海南省保亭中学 王 生第 18 页 （共 18 页）三、解答题
