1、Comment liu1: 方法一：根据题意可判断当 A与D，B，E 关于 x轴对称，即直线 DE的斜率为 1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可方法二：设出两直线的倾斜角，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|，|DE|，整理求得答案2017 年高考试题分类汇编之圆锥曲线（理数） 解析一、选择题 1二、填空题 3三、大题 51、 选择题【浙江卷】2椭圆 的离心率是2194xyA B C D1352359【解析】 ，选 B.e【全国 1卷（理） 】10.已知 F为抛物线 C：y 2=4x的焦点，过 F作两条互相垂直的直线l1，l 2，直线 l1与 C交于 A、B 两点，直线 l2与
2、C交于 D、 E两点，则| AB|+|DE|的最小值为（ ）A16 B14 C 12 D10【解析】设 倾斜角为 作 1K垂直准线， 2A垂直 x轴易知11cos2FGAKP（ 几 何 关 系 ）（ 抛 物 线 特 性 ）cosA同理 1F， 1cosPB 2cosinP又 DE与 A垂直，即 E的倾斜角为 222cossinPDE而 24yx，即 221sincosABEP22incos424incos241in216sin，当 4取等号 即 ABDE最小值为 16，故选 A【全国卷（理） 】9.若双曲线 C:21xyab（ 0a， b）的一条渐近线被圆24xy所截得的弦长为 2，则 的离心
3、率为（ ）A2 B 3 C 2 D 23【解析】取渐近线 byxa，化成一般式 0bxay，圆心 0， 到直线距离为23ba得 4c， e， 2【全国 III 卷（理） 】5.已知双曲线 C: (a0,b0) 的一条渐近线方程为21xyab,且与椭圆 有公共焦点，则 C 的方程为( )52yx213yA. B. C. D. 180245x2154xy2143xy【解析】双曲线的一条渐近线方程为 ，则 252ba又椭圆 与双曲线有公共焦点，易知 ，则 213xy3c229abc由解得 ，则双曲线 的方程为 ，故选B.,5abC2145xy【全国 III 卷（理） 】10.已知椭圆 C： ， （a
4、 b0）的左、右顶点分别为21xyA1，A 2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 相切，则 C 的离心率为( )0A.B. C. D.6331【解析】以 为直径为圆与直线 相切，圆心到直线距离 等于半径，12A20bxayd 2abd又 ，则上式可化简为0,23ab ，可得 ，即22bac23ac ，故选A63e【天津卷】 （5）已知双曲线 的左焦点为 ，离心率为 .若经过21(0,)xyabF2和 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）F(0,4)PA. B. C. D.21xy218xy2148xy2184xy【解析】由题意得 ，故选 B.24,abcab二、填空题
5、【全国 1 卷（理） 】15.已知双曲线 C：21xyab（a0，b0）的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为半径做圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点.若MAN=60，则 C的离心率为_.【解析】如图，OAa， NAMb 60， 32P， 2234OAPab 2tan34bAOa又 tanb， 234ba，解得 23b2113bea【全国 2 卷（理） 】16.已知 F是抛物线 C:28yx的焦点， M是 C上一点， F的延长线交 y轴于点 N若 M为 的中点，则 N 【解析】 28x则 4p，焦点为 20， ，准线 :2lx，如图， 为 F、 中点，故易知线段 B为
6、梯形 AC中位线， 2CN， 4， 3ME又由定义 F，且 ， 6NlFNMCBAOyx【北京卷】 （9）若双曲线21yxm的离心率为 3，则实数 m=_.【解析】.13【江苏卷】8.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 的右准线与它的两条渐近线分213xy别交于点 P,Q，其焦点是 F1 , F2 ,则四边形 F1 P F2 Q 的面积是 .【解析】右准线方程为 ，渐近线为 ，则 ，30x3yx103(,)P， ， ，则 .310(,)1(,)F2(1,)2102S【山东卷】14.在平面直角坐标系 中，双曲线 的右支与焦点为xOy2,0xyab的抛物线 交于 两点，若 ，则该双曲线的渐近线方
7、F20xp,AB4FBO程为 .三、大题【全国 I 卷（理） 】20.（12 分）已知椭圆 C：2=1xyab（ab0 ） ，四点 P1（1,1） ，P2（0,1） ，P 3（1， 2 ） ， P4（1， 32）中恰有三点在椭圆 C 上.（1）求 C 的方程；（2）设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1，证明：l 过定点.20.解：（1）根据椭圆对称性，必过 3、 4P又 4P横坐标为 1，椭圆必不过 1，所以过 234，三点将 2302，代入椭圆方程得2214ba，解得 24a， 21b 椭圆 C的方程为：214xy（2）
8、当斜率不存在时，设 :AAlmyBmy， ， ， ，22121AAPABykm得 ，此时 l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足当斜率存在时，设 ykxb12AxyBx，联立 240kb，整理得 2214840kxb1228xk,21x则 2221PABy212121xkbxkbx2228814kbkb14b，又 1b21k，此时 64k，存在k使得 0成立直线 l的方程为 1ykx当 2x时， 1 所以 l过定点 ，【全国 II 卷（理） 】20. （12 分）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：21xy上，过M 做 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足 2N.(1)求点 P 的轨
9、迹方程；(2)设点 Q 在直线 x=-3 上，且 1OQ.证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F. 解：设 ()Pxy， ，易知 (0)Nx，0N，又 122yM， xy， ，又 在椭圆上221，即 2xy设点 (3)Qy， ， ()P， ， (0)Q，由已知： 31PPOxy， ， ，21PO， 21， 33PQPQxyxy设直线 O： ，因为直线 l与 Q垂直 3lQky故直线 l方程为 3()PQxyy，令 0y，得 P，13PQx， Py， PQx， 1(3)1Px，若 0Qy，则 x， P， 1Py，直线 O方程为 y，直线 l方程为 x，直线 l过点 (1
10、0)， ，为椭圆 C的左焦点【全国 III 卷（理） 】20.（12 分）已知抛物线 C：y 2=2x，过点（2,0）的直线 l 交 C 与 A,B两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆.（1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上；（2）设圆 M 过点 P（4，-2 ） ，求直线 l 与圆 M 的方程.解:(1)显然，当直线斜率为 时，直线与抛物线交于一点，不符合题意0设 ， ， ，:2lxmy1(,)Axy2(,)By联立： 得 ，240m恒大于 ， ， 246012y124y12OABxur2()()112yy44m0 ，即 在圆 上urM(2)若圆 过点 ，则PABur1212()()xy
11、()0y12128m化简得 解得 或0m1当 时， 圆心为 ，2:4lxy0(,)Qxy， ，120y001924xy半径29|4rOQ则圆22185:()()6Mxy当 时， 圆心为 ，1m:0l 0(,)Qxy， ，20y023xy半径 |3rOQ则圆22:()(1)【北京卷】 （18） （14 分）已知抛物线 C：y 2=2px 过点 P(1,1).过点(0, 12)作直线 l 与抛物线C 交于不同的两点 M,N，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP、ON 交于点 A,B，其中 O 为原点.（）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（）求证：A 为线段 BM 的中点.（1
12、8）解：（）把 P（1,1）代入 y2=2Px 得 P= C:y 2=x，1焦点坐标（ ，0） ，准线：x=- .144（）设 l：y=kx+ ，A（x 1，y 1） ，B(x 2， y2)，OP ：y =x，ON：y= ，2 2x由题知 A(x1，x 1)，B(x 1， )2k2x2+（k -1）x+ =0，x 1+x2= ，x 1x2= .2y4k4112 1212,xyxkkx由 x1+x2= ，x 1x2= ，k4k上式 A 为线段 BM 中点.211124kxxkx【江苏卷】17.（14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆的左、右焦点分别为 F1，F 2，离心率为 ，两准线
13、之间的1(0)2xyE:+aba， 1距离为 8.点 P 在椭圆 E 上，且位于第一象限，过点 F1 作直线 PF1 的垂线 l1,过点 F2 作直线PF2 的垂线 l2.（1）求椭圆 E 的标准方程；（2）若直线 l1，l 2 的交点 Q 在椭圆 E 上，求点 P 的坐标.17.解:（1）椭圆 E 的离心率为 ， .两准线之间的距离为 8， .联12ca2ac立得 ， ，故椭圆 E 的标准方程为 .2,ac3b2143xy（2）设 ，则 ，由题意得 ，整理得 ，0(,)Pxy0,y00()1yx0201xy点 在椭圆 E 上， ， ， ，故0(,)xy20143x2200()3y220069
14、,7点 P 的坐标是 .473(,)【江苏卷】B.选修 4-2：矩阵与变换 （本小题满分 10 分）已知矩阵 A= ，B=.(1) 求 AB;(2)若曲线 C1; 在矩阵 AB 对应的变换作用下得到另一曲线 C2 ， 求 C2 的方程.2y18xB.解:（1）AB=.（2）设 是曲线 上任意一点，变换后对应的点为 ，1(,)Pxy1 10xxyy所以 ，即 ，因为 在曲线 上，所以 即曲线 C2 的1yx12yx1(,)Py1C28x方程.【山东卷】 （21） （本小题满分 13 分）在平面直角坐标系 中，椭圆 ： 的离心率为 ，焦距为 .xOyE21xyab02（）求椭圆 的方程；E（）如图
15、，动直线 ： 交椭圆 于 两点， 是椭圆 上一点，直线l132ykxE,ABCE的斜率为 ，且 ， 是线段 延长线上一点，且 ，OC2k124MO:2:3MAB的半径为 ， 是 的两条切线，切点分别为 .求 的最大值，并MA,OSTA,STO求取得最大值时直线 的斜率.l（21）解：（I）由题意知 ， ，2ceac所以 ，2,1ab因此 椭圆 的方程为 .E21xy（）设 ，12,AyB联立方程21,3,xyk得 ，211440x由题意知 ，0且 ，1122213,kxxk所以 .221121 8kABkx由题意知 ，124k所以 21k由此直线 的方程为 .OC124yxk联立方程21,4x
16、yk得 ，221218,44xykk因此 .22184OCxyk由题意可知 ，sin21STrOCr而212211843kOCr，214k令 ，21tk则 ，,0t因此 ，2 223313194OCtrtt当且仅当 ，即 时等号成立，此时 ，12tt 12k所以 ，1sin2SOT因此 ，6所以 最大值为 .SOT3综上所述： 的最大值为 ，取得最大值时直线 的斜率为 .l12k【天津卷】 （19） （本小题满分 14 分）设椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，离心率为 .已知 是抛物线21(0)xyabFA12A的焦点， 到抛物线的准线 的距离为 .2)pl（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（I
17、I）设 上两点 ， 关于 轴对称，直线 与椭圆相交于点 （ 异于点 ） ，直线lPQxAPBA与 轴相交于点 .若 的面积为 ，求直线 的方程.BxD 62（19） （）解：设 的坐标为 .依题意， ， ， ，F(,0)c1cap12ac解得 ， ， ，1a2cp于是 .234b所以，椭圆的方程为 ，抛物线的方程为 .21yx24yx所以，直线 的方程为 ，或 .AP360xy360xy【浙江卷】21（本题满分 15 分）如图，已知抛物线 ，点2A ， ，抛物线上的点 .过点 B 作直线 AP 的垂线，1()24， 39()B， 1()4Pxyx，垂足为 Q.（）求直线 AP 斜率的取值范围；
18、（）求 的最大值.APQ21解：（）由题易得 P（x，x 2） ，- x ，13故 kAP= =x- （-1,1 ） ，214故直线 AP 斜率的取值范围为（-1,1）.（）由（）知 P（x ，x 2） ，- x ，13故 =（- -x， -x2） ，PA14设直线 AP 的斜率为 k，则 AP：y=kx+ k+ ，BP：y= ，12413924xk由 13924xyk2281(,)kQ故 ，343221(,)kkP又 ，,)A故 ，32332(1)(1)(1)kkQPkA即 ，令 ，3()Pk3()(),fxx则 ，当 时， ，当22()141fxx12()0fx时， ，12()0f故 ，即 的最大值为 .max27()16ffPAQ716
