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思维碰撞平野阔方法交汇大江流-对一道圆锥曲线高考试题的剖析与探究-郭俊.pdf

上传人:weiwoduzun 文档编号:3586083 上传时间:2018-11-13 格式:PDF 页数:4 大小:427.97KB
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资源描述

1、第 期 郭 俊: 思维碰撞平野阔 方法交汇大江流思 维碰撞平野阔 方法 交汇大江流对一道圆锥曲线高考试题的剖析与探究郭 俊 ( 东山外国语学校高中部 江苏南京高考试题凝聚着命题者的心血和智慧 ,每道试题既体现了在知识交汇点处命题的创新原则 ,又格调清新、意境幽深 因此一道好的高考试题蕴含着很多可探究的素材,若教师能多方弓 导学生对试题进行剖析、探究,立足于问题的本质 将加深学生对知识点的理解,提高学生的思维能力 笔者对年山东省数学高考理科卷第 题的第( 小题和第 小题进行了全新的审视与研究,获得 种不同的解法和 个推广, 现整理如下 供读者参考试题再现试题 已知椭圆 的左、右焦点分别是 , ,

2、 离心率为 过点 且垂直于 轴的直线被楠圆 截得的线段长为求椭圆 的方程 答案点 是楠圆 上除长轴端点外的任一点 ,联结 , ,设乙 的角平分线 交 的长轴于点 ,求 的取值范围在第 小题的条件下,过点 作斜率为的直线 ,使得 与椭圆 有且只有一个公共点设直线 , 的斜率分别为、 , 若 ,试证曰月士 士为定值,并求出这个定值年山东省数学高考理科试题第 题)点评 该题以考查解析几何的基础知识、思想方法和能力素质综合立意 虽涉及的知识点多、能力要求高 ,但人口宽,过渡自然 解法多 在平和中见新奇,在沉稳中见活力 ,较好地考查了圆锥曲线的相关知识 也充分考查了考生的运算求解能力、推理论证能力以及化

3、归与转化思想、特殊与一般思想 是一道不可多得的好题第 小题思路探究思路 根据角平分线的性质角平分线上的点到角的 条边距离相等,这是学生最容易想到的解法解法 设 户 (、 , 九 ) , 由 第 ( 小题得, , 因 此直线 的方程分别为:由点 , 到 的距离相等 ,得由 ,得又因为 所以上式可化简为解得 。 又 故思路 根据角平分线的性质角平分线上的点到角的 条边距离相等,鉴于解法 运算量较大,利用参数法可以减少运算量解法 参数方程法 ) 设 , , 依题意得, 直线 的方程分别为界点 到 的距离相等 ,故汐? 3 6 ?中学教研 (数学 年由 一 ,一,沒得 了 , 故思路根据 个角相等,可

4、考虑利用正弦定解法 由正弦定理得由得设尸 从而 在解得 。 , 故思路根据 个角相等 利用向量夹角法,借助向量夹角 把角用坐标表示出来,运算量大大减少且解法优美解法 设 ,九) , 由题意可知 八 ( 万, ,从而,于是 “ ;專由 得“从而即亦即把 乂 代入上式 , 得 二 又因 为所以思路 利用三角形内角平分线定理一一三角形的内角平分线对边所得的 条线段的长度之比等于这个角的 边长度之比 ,利用这个定理可以将解析几何知识和平面几何完美结合解法 设 尽 , 丨 广 丨 , 由椭圆 的定义得民 , 再由内角平分线定理得¥沢又 ,从而故思路 利用光学性质 ,经过焦点 的光线经椭圆上的点 镜面反射

5、后经过另一焦点,椭圆在点 处的法线即为乙 平分线所在的直线 如图 椭圆在点 处的切线解法 设 尸 (、 , 则过点 尸( 。 ) 的切线方程为丄因为 乙八 乙 由椭圆的光学性质得是反射面的法线 , 所以 丄 当 的斜率不存在时 , 点 的坐标为 ( , 得点 的坐标为当 的斜率存在时 , 由 丄视, 得, 即第 期 郭 俊:思维遂撞平野阔 方法交汇大江流由 。 得通过对第 小题 种解法的分析 解法远远不止 种, 限于篇幅不再一一展示) ,该题是一道“一题多解” 的典范,可以从不同的角度、不同的思路进行解答,充分地让不同思维层次的学生得到发挥 从试题的背景来看, 种解法从不同的思路研究了角平分线

6、的性质,颇有“似曾相识燕归来” 的感觉 再度深究细查 原来曾在 年安徽省数学高考理科卷第 题出现过:已知楠圆 :经过点 , ,对称轴为坐标轴,焦点八 , 在轴上,离心率求椭圆 的方程求乙 的角平分线所在直线 的方在椭圆 上是否存在关于直线 对称的相异 个点? 若存在 ,请找出这 个;若不存在 请说明理由第 小题的深入推广数学家波利亚指出 :好问题同某种蘑菇有些相像 它们成堆地生长,找到一个以后 ,你就应当在周围找一找,很可能附近就有好几个 问题解决后,应当让学生从解决的问题出发 运用类比、联想、特殊化和一般化的思维方法派生出一些常规问题和开放性的问题,使问题“成片开发” 第( 小题从不同视角得

7、到不同解法之后 ,再来解决第 小题:解 由题意可知 , 为椭圆 的在点 处的切线, 由导数法可求得切线方程为从而而 左九厂,友九“,代入! 得石士 士 卜为定值这也是一个很好的问题 发现 , 是巧合还是必然呢? 通过研究可将该问题进行推广:推广 已知椭圆 的左、右焦点分别是 ,尽 ,点 是椭圆上除顶点外的任意一点 ,联结 过点 的切线斜率为 设直线 的斜率分别为 、次,则士 士为定值证明 设过点 的切线方程为 由得 ( ,从而 ,即 :于是式( 可化为 ( 、 ,得从而 二 、 跃若将上述问题中的椭圆改成双曲线 则同样可得到类似的结论:推广 已知双曲线 ,的左、右焦点分别是尽 , 点 是双曲线

8、上除顶点外的任意一点 ,联结 、过点 的切线斜率为、设直线 的斜率分别为 则定值?对教学的启示解析几何问题一直是高考的重头戏,它的解答方法灵活多样,运算能力要求高 在利用代数方法求解的过程中 往往会出现“过程冗长、运算烦琐”而令广大考生“望而生畏、不战而退” 因此 要更好地解决解析几何问题就要进行一题多解 进行思. 3 8 ?中学教研 (数学 年维训练本文对一道高考试题从不同角度进行深人探究和推广,把各种解析几何的相关基础知识结合在一起 活化了学生的数学思维 这将使学生的思维有效碰撞,促使学生多角度、 多方面进行分析、思考,从而产生多种方法,并有效地培养了学生思维的广阔性、深刻性与灵活性 在这

9、个过程中 ,再将多种解题方法交汇在一起,让学生认清其本源 启发学生的思维 开拓学生的视野 也可更有效地遏止“题海战术”,让学生在持续不断的思考与研究中考查全面 稳中有变逐渐接近问题的本质,让学生在数学概念里寻觅解题的灵魂 在数学公式中追索真理,在习题中发展智慧 ,这才是我们教学的真正目的所在!参 考 文 献王伯龙对 年江西省数学高考理科第题的研究 中 学教研 ( 数学 ) ,注重思想 内涵丰富年江苏省数学高考试卷评析及 年备考建议參夏志辉 ( 小海中学江苏南通试题特色本着“以有利于高校选拔新生 有利于中学实施素质教育和对学生创新精神与实践能力的培养”为指导思想 ,年江苏省数学高考试卷严格按照

10、年江苏省高考数学科考试说明 的命题目标及知识范围进行命题,试卷整体难度不大,清新淡雅 简朴优美,锐意创新,学生容易上手;结构稳定, 注意知识的合理分布 注意保证适当的区分度 ,突出基础 重视能力 ,知识点广,使得试卷公平、公正、亲民,可以有效反映学生的数学能力 难度递增, 区分度高,各种层次的考生都可充分展现自 己的真实能力 利于选拔 命题者继续遵循了新课程高考方案的基本思想,坚定课改之路,具有很强的导向意义和功能 试卷的具体特点如下:考查全面 , 突出主干年江苏省数学高考试卷重视考査考生的基础知识和基本技能 , 凸显主干知识 , 比往年表现得更为突出下面对该试卷进行统计分析 得到考查知识点分

11、布和主干知识分布情况,具体见表表 知识点分布和主干知识分布情况集合热三角 平面 不等 直线 圆锥 立体 算法被士 吐、 导数私内容 函数 数列 概率 统计 复数逻辑函数 向量 式和圆 曲线 几何 初步 综合题号分值通过表可知, 年江苏省数学高考试题考査知识的覆盖面广而合理,在立足基础、全面考査的前提下 高中的主干知识( 函数、三角 、数列、导数、平面向量、直线与圆 、立体几何、概率统计)仍然是考査的重点 ,在试卷中保持了较高的比例且达到必要的深度 高考是一种选拔性的考试, 为了考查基础知识和基本方法,也为了平衡试题的难度 更为了稳定考生的情绪,适当关注知识覆盖面、全面考査双基、突出主干知识的高考命题思路将不会改变 ,这对引导中学数学教学起到了良好的作用贴近教材,稳中有变

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