1、1三道高考解析几何题的评析解法反思摘要：文章对 2005 全国大纲 II 卷文 22 题理 21 题，2007 全国大纲 I 卷文 22 题理 21 题及 2013 全国课标 II 卷理 20 题三道高考试题进行简单评析，并进行求解.同时对 2005 全国大纲 II 卷文 22 题理 21 题， 2007 全国大纲 I 卷文 22 题理 21 题进行了一般性探究.关键词：椭圆; 直线;面积;最大值；最小值一、试题再现试题一（2005 全国大纲 II 卷文 22 理 21） 四点都在椭圆 上，NMQP, 12yx为椭圆在 轴正半轴上的焦点.已知 与 共线， 与 共线，且 .求FyFF0MFP四边
2、形 面积的最大值和最小值.PMQN试题二（2007 全国大纲 I 卷文 22 理 21）已知椭圆 的左右焦点分别为 ，123yx1，过 的直线交椭圆于 两点，过 的直线交椭圆于 两点，且 ，垂2F1DB,2FCA,BD足为 .P(I)设点 的坐标为 。证明 ；),(0yx1320yx（）求四边形 面积的最小值 .ABC试题三（2013 全国课标 II 卷理 20）平面直角坐标系 中，过椭圆xoy右焦点的直线 交 于 两点， 为 的)0(1:2bayxM03MBA,P中点，且 的斜率为 .OP（）求 的方程；（） 为 上的两点，若四边形 的对角线 ，求四边形面积的最大DC, ACBDAB值.二、
3、试题评析试题一以及试题二和试题三的第二小题，主要考查椭圆和直线的方程与性质，弦长公式，不等式的性质等基本知识以及综合分析问题的能力；同时考查数形结合思想、分类讨类思想以及运算能力.试题一以向量形式给出椭圆上两点与焦点三点共线及过两焦点的两直线垂直，求两直线与椭圆的四个交点为顶点的四边形的面积的最大值和最小值，结合考察了向量内容；试题二直接给出过两焦点的直线互相垂直，求两直线与椭圆的四个交点为顶点的四边形的面积的最小值.总体上两题变化不大.试题三与前两题有较大变化，互相垂直的两直线中，一条是过椭圆一焦点的已知直线，而另一条是与椭圆相交的任意直线，但这种2改变，其解法思路与试题一及试题二的并无多大
4、变化.三道试题都是求对角线互相垂直的四边形的面积.因为当四边形的对角线互相垂直时，其面积可用两条对角线乘积的一半来计算，所以三道试题的解答的关键就是如何表示出两条对角线的长度.通过分析，可以按以下步骤求解：第一步 选参数.试题一和试题二中选两对角线中的一条的斜率 为参数；试题三中两k对角线中的斜率已知，可选动直线 在 轴上的截距 为参数.CDym第二步 求对角线长.利用“设而不求”及弦长公式等将两对角线的长求出或用 ，k表示出来.m第三步 求四边形面积.将所求四边形的面积 表示为参数 ， 的函数形式Skm，或 然后求解.)(kfS)(mfS具体解题过程中，试题一和试题二还要对两对角线的斜率进行
5、分类讨论，当两直线斜率都存在时，按以上步骤求解.由 求函数的最值时，可运用均值不等式和不等式)(kfS的性质求解，也可用导数知识解答；试题三要求出 的取值范围，由 求函数的m)(mfS最值时用二次函数知识求解.回顾三题，从题型上看，它们“同出一脉” ，是同一类型问题；三道题具有入口宽，综合性强，解题思路清晰等特点；在解答过程中蕴含着分类讨论思想（试题一、二） ，数形结合思想及函数不等式思想; 同时运用参数法等数学方法，是不可多得的好题.正因为如此，试题在 2005 年全国大纲 II 卷中考查后，时隔一年，再次考查；经过多年，在 2013 年的课标全国卷中，作适当改变后又一次出现.三、 试题解答
6、试题一解答：由 与 共线和 与 共线知，弦 是焦点弦.因PFQMFNMNPQ,，于是：)1,0(F当直线 的斜率存在且不为零时，设 .将 代入 消去Q1:kxyPkxy12y，得： .y012)(xk设 ，则： .,1yxP 2212,kxk所以 222)(4)()kQ.213又 ，所以 .0MFP21)(kN所以四边形 面积ACBDMPQS2)1(k 2)1(k（当且仅当 时，425)1(k52)(k52k9612等号成立）.即 .96S当直线 的斜率为零时， ，此时 ，PQPQ2MN所以四边形 面积 ;ACBD211当直线 的斜率不存在时， ， ，所以四边形 面积 .NPQS2综上述四边形
7、 面积的最小值是 ，最大值是 .ACBD916试题二解答：（）证明：因为 ，所以 。又 ，垂3c21FBDAC足为 ，所以 在以 为直径的圆上，所以 ，所以P21F02yx.2300yxx（） 当直线 的斜率存在且不为零时，设 .将 代入BD)1(:xkyBD)1(xky消去 ，得：123yx.063)(22kxk设 ，则： .),(,21yDxB 22121 36,3kxkx所以 222 )6(4)36()k.2144又 ，所以 .BDAC23)1(4kA所以四边形 面积 CBDS23)1(4k2)(k（当且仅当 时，42613)(k136)(2k596162k12k等号成立）.当直线 的斜
8、率为零时， ，此时 ，BDBD34AC所以四边形 面积 ;ACS2121当直线 的斜率不存在时， ， ，PQ34BD3AC所以四边形 面积 .ACS21421综上述四边形 面积的最小值是 .B596试题二解答：（）：设 ，则： ),(),(21yxBA121byax12byax由-得： ，0)(1)( 21221212 yybx所以 ，)()( 112ax所以0)(2121yya.又由题知 ， .所以 .21x),2121yxP211xy所以 .02ba5又直线 过点 ，所以 ，即 .03yx),(cF332ba所以 .,62ba所以 .13:yxM（）由 得： .将 代入 消去03xy3xy
9、136:2yxM，得：y.342x则： ，0,2121所以 .364)34()22AB设 .将 代入 消去 ，得：mxyCD:xy16:2yxM.062432x设 ，则： .),(),(43yxBA 362,343 mxx所以 )62()()122mCD.3942又因 ，AB所以四边形 面积 .CDCDABS21 22968394621m由 得： ，所以当 时 有最大值0)6(34)(2m3m0S.3686即四边形 的面积的最大值为 .ACBD368四、 一般性探究对试题一、试题二进一步探究，有以下一般性结论：平面直角坐标系 中，过椭圆 左焦点 和右焦点xoy )0(1:2bayxM1F的直线
10、分别交椭圆 于 两点和 两点，且 .则四边形 面积的2FBA,DC,CABABD取值范围是 .224,)(8ba证明 当直线 的斜率存在且不为零时，设 .将 代入AB)(:cxkyAB)(cxky消去 ，得：)0(12bayxy.0)( 222bakcxkb设 ，则： .),(,21yBxA 221221,kabcxkc所以 222 )(4)()abkabck.21(ab当直线 的斜率存在且不为零时，设 .将 代入CD)(:1cxkyCD)(1cxky消去 ，得：)0(12bayxy.0)( 212211 bakcxkb设 ，则： .),(,43yBxA 212432143,kabcxkc所以
11、 212121 )()()abkabckCD.21(ab7又因 ，所以 ,所以 .CDABk12)1(kbaCD所以四边形 面积 ABS222)1()(kba4242)(1kbaba)(4)( 422 2222kbak)(4)(2224bakba（当且仅当 时，等号成立）.244)( 24)(812k当直线 的斜率为零时， ，此时 ，ABaABabCD2所以四边形 面积 ;CDS21221当直线 的斜率不存在时， ， ，ABabABaCD所以四边形 面积 .CDS21221b所以四边形 面积的取值范围是 .AB224,)(8a上述结论，对于 ， 经过同一焦点时也一样；同时 在椭圆中同样成立.)0(1:2baybxM五、 试题反思通过对三道试题的评析及解法探讨，有以下几点值得思考：首先，在教学过程要注重培养学生综合运用知识解决问题的能力；要加强学生运算、转化能力的强化训练；要注意解析几何问题的求解中，分类讨论思想，数形结合思想，函数不8等式思想，参数法等数学思想方法的渗透。其次,在备考过程中,要重视历年高考试题的研究,特别是对一些优秀试题,要潜心研究,不但要探讨其解法，而且要尝试对其进行改编、整合，并及时将信息反馈给学生.参考文献1教育部考试中心.2007 年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明（文科） M.北京：高等教育出版社 2007（1）226-227
