1、概率论与数理统计（经管类） 柳金甫、王义东 主编， 武汉大学出版社新版第一章 随机事件与概率 第二章 随机变量及其概率分布 第三章 多维随机变量及其概率分布 第四章 随机变量的数字特征 第五章 大数定律及中心极限定理 第六章 统计量及其抽样分布 第七章 参数估计 第八章 假设检验 第九章 回归分析前言本课程包括两大部分：第一部分为概率论部分：第一章至第五章，第五章为承前启后章，第二部分为数理统计部分：第六章至第九章。第一章 随机事件与概率本章概述.内容简介本章是概率论的基础部分，所有内容围绕随机事件和概率展开，重点内容包括：随机事件的概念、关系及运算，概率的性质，条件概率与乘法公式，事件的独立
2、性。本章内容1.1 随机事件 1.随机现象：确定现象：太阳从东方升起，重感冒会发烧等；不确定现象：随机现象：相同条件下掷骰子出现的点数：在装有红、白球的口袋里摸某种球出现的可能性等；其他不确定现象：在某人群中找到的一个人是否漂亮等。结论：随机现象是不确定现象之一。2.随机试验和样本空间随机试验举例：E1：抛一枚硬币，观察正面 H、反面 T 出现的情况。E2：掷一枚骰子，观察出现的点数。E3：记录 110 报警台一天接到的报警次数。E4：在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命。E5：记录某物理量（长度、直径等）的测量误差。E6：在区间0，1上任取一点，记录它的坐标。随机试验的特点：试验的可重复性
3、；全部结果的可知性；一次试验结果的随机性，满足这些条件的试验称为随机试验，简称试验。样本空间：试验中出现的每一个不可分的结果，称为一个样本点，记作 。所有样本点的集合称为样本空间，记作 。举例：掷骰子： 1，2，3，4，5，6,1 ，2，3 ，4，5，6；非样本点：“大于 2 点”，“小于 4 点”等。3.随机事件：样本空间 的子集，称为随机事件，简称事件，用 A,B,C,表示。只包含一个样本点 的单点子集 称为基本事件。必然事件：一定发生的事件，记作不可能事件：永远不能发生的事件，记作4.随机事件的关系和运算由于随机事件是样本空间的子集，所以，随机事件及其运算自然可以用集合的有关运算来处理，
4、并且可以用表示集合的文氏图来直观描述。（1）事件的包含和相等包含：设 A，B 为二事件，若 A 发生必然导致 B 发生，则称事件 B 包含事件 A，或事 A 包含于事件 B，记作，或 。性质：例：掷骰子，A：“出现 3 点”，B：“出现奇数点”，则 。 (中间部分略) 完整版 21.5 页请QQ：1273114568 索取注：与集合包含的区别。 相等：若 且 ，则称事件 A 与事件 B 相等，记作 AB。（2）和事件概念：称事件“A 与 B 至少有一个发生”为事件 A 与事件B 的和事件，或称为事件 A 与事件 B 的并，记作或 A B。解释： 包括三种情况A 发生，但 B 不发生，A不发生，
5、但 B 发生，A 与 B 都发生。性质： ， ；若 ；则 。推广：可推广到有限个和无限可列个，分别记作和举例：A：“掷骰子出现的点数小于 3”与 B：“掷骰子点数大于 4”则 AB1，2，5，6（3）积事件概念：称“事件 A 与事件 B 同时发生”为事件 A 与事件B 的积事件，或称为事件 A 与 B 的交，记作 AB 或 AB。解释：AB 只表示一种情况，即 A 与 B 同时发生。性质： ， ； 若 ，则ABA。推广：可推广到有限个和无限可列个，分别记作和 。举例：A：“掷骰子出现的点数小于 5”与 B：“掷骰子点数大于 2”则 AB3, 4 （4）差事件概念：称“事件 A 发生而事件 B
6、不发生”为事件 A 与事件 B 的差事件，记作 AB. 性质： A ； 若 ，则AB 。举例：A：“掷骰子出现的点数小于 5”与 B：“掷骰子点数大于 2”则 AB1，2（5）互不相容事件概念：若事件 A 与事件 B 不能同时发生，即 AB ，则称事件 A 与事件 B 互不相容。推广：n 个事件 A1，A 2，A n两两互不相容，即 AiAj，ij，i，j1，2，n。举例：A：“掷骰子出现的点数小于 3”与 B：“掷骰子点数大于 5”则 A 与 B 互不相容。（6）对立事件：概念：称事件“A 不发生”为事件 A 的对立事件，记做.解释：事件 A 与 B 互为对立事件，满足：AB；AB举例：A：
7、“掷骰子出现的点数小于 3”与 B：“掷骰子点数大于 2”则 A 与 B 相互对立性质： ； ， ；AB AAB；注意：教材第 5 页的第三条性质有误。A 与 B 相互对立 A 与 B 互不相容.小结：关系：包含，相等，互不相容，互为对立；运算：和，积，差，对立.（7）事件的运算性质（和、积）交换律 ABBA，ABBA；（和、积）结合律 （AB）CA（BC），（AB）CA（BC）；（和、积）分配律 A（BC）（AB）（AC）；A（BC）（AB）（AC）对偶律 ； .例 1 习题 1.1，5（1）（2）设 A，B 为两个随机事件，试利用事件的关系与运算证明：证明：证明：例 2.习题 1.1，6请
8、用语言描述下列事件的对立事件：（1）A 表示“抛两枚硬币，都出现正面”；答案： ：“抛两枚硬币，至少有一枚出现反面”。（2）B 表示“生产 4 个零件，至少有 1 个合格”。答案： ：“生产 4 个零件，没有 1 个是合格的”。1.2 概率 1.频率与概率（1）频数与频率：在相同条件下进行 n 次试验，事件 A发生 nA次，则称 nA为事件 A 发生的频数；而比值 nA/n 称为事件 A 发生的频率，记作 fn（A）.（2）f n（A）的试验特性：随 n 的增大，f n（A）稳定地趋于一个数值，称这个数值为概率，记作 P（A）.（3）由频率的性质推出概率的性质 推出 ， 推出P（）0，P（）1
9、A，B 互不相容， 推出P（AB）=P（A）P（B），可推广到有限多个和无限可列多个.2.古典概型概念：具有下面两个特点的随机试验的概率模型，称为古典概型：基本事件的总数是有限个，或样本空间含有有限个样本点；每个基本事件发生的可能性相同。计算公式：例 3.P9 例 18。抛一枚均匀硬币 3 次，设事件 A 为“恰有 1 次出现正面”，B 表示“3 次均出现正面”，C 表示“至少一次出现正面”，试求 P（A），P（B），P（C）。解法 1 设出现正面用 H 表示，出现反面用 T 表示，则样本空间=HHH，THH，HTH，HHT，TTH，THT，HTT，TTT，样本点总数 n=8，又因为A=TTH
10、，THT，HTT，B=HHH，C=HHH，THH，HTH，HHT，TTH，THT，HTT，所以 A，B，C 中样本点数分别为rA=3，r B=1，r c=7，则 解法 2 抛一枚硬币 3 次，基本事件总数 n=23，事件 A包含了 3 个基本事件：“第 i 次是正面，其他两次都是反面”，i1，2，3，而且 rA=3。显然 B 就是一个基本事件，它包含的基本事件数 rB=1它包含的基本事件数 rC=n-rB=23-1=7，故 例 4.P10 例 112。一批产品共有 100 件，其中 3 件次品。现从这批产品中接连抽取两次，每次抽取一件，考虑两种情况：（1）不放回抽样，第一次取一件不放回，第二次
11、再抽取一件；（2）放回抽样，第一次取一件检查后放回，第二次再抽取一件。 (中间部分略) 完整版 21.5 页请QQ：1273114568 索取试分别针对上述两种情况，求事件 A“第一次抽到正品，第二次抽到次品”的概率。解：（1）（2）3.概率的定义与性质（1）定义：设 是随机试验 E 的样本空间，对于 E 的每一个事件 A 赋予一个实数，记为P（A），称 P（A）为事件 A 的概率，如果它满足下列条件：P（A）0；P（）1；设 ， ， ，是一列互不相容的事件，则有.（2）性质 ， ；对于任意事件 A，B 有； ； .例 5.习题 1.2 11设 P（A）=0.7，P（B）=0.6，P（AB）0
12、.3，求解：（1）P（AB）P（A）P（AB）P（AB）P（A）P（AB）0.70.30.4例 6. 习题 1.2 13设 A，B，C 为三个随机事件，且 P（A）P（B）P（C） ，P（AB）P（BC） ，P（AC）0。求：（1）A，B，C 中至少有一个发生的概率；（2）A，B，C 全不发生的概率。解：（1）“A，B，C 至少有一个发生”表示为 ABC，则所求概率为P（ABC）P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）P（AC）P（BC）+P（ABC）1.3 条件概率 1.条件概率与乘法公式条件概率定义：设 A，B 为两个事件，在已知事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率，称为事件 B
13、发生条件下事件 A 发生的条件概率，记做 P（A|B）.例 7 P13 例 117.某工厂有职工 400 名，其中男女职工各占一半，男女职工中技术优秀的分别为 20 人与 40 人，从中任选一名职工，试问：（1）该职工技术优秀的概率是多少？（2）已知选出的是男职工，他技术优秀的概率是多少？解：设 A 表示“选出的职工技术优秀”，B 表示“选出的职工为男职工”。按古典概型的计算方法得：（1）（2）计算公式：设 AB 为两个事件，且 P（B）0，则。乘法公式：当 P（A）0 时，有 P（AB）P（A）P（B|A）；当 P（B）0 时，有 P（AB）P（B）P（A|B）.推广：设 P（AB）0，则
14、P（ABC）P（A）P（B|A）P（C|AB）设 ，则例 8 P15 例 122.盒中有 5 个白球 2 个黑球，连续不放回地在其中取 3 次球，求第三次才取到黑球的概率。解：设 Ai（i=1，2，3）表示“第 i 次取到黑球”，于是所求概率为2.全概率公式与贝叶斯公式（1）划分：设事件 ， ， 满足如下两个条件： ， ， 互不相容，且 ，i1，2，n； ，即 ， ，至少有一个发生，则称 ， ， 为样本空间 的一个划分。当 ， ， 为样本空间 的一个划分时，每次试验有且仅有其中一个发生。（2）全概公式：设随机试验的样本空间为 ， ， 为样本空间 的一个划分，B 为任意一个事件，则 .证明：注意
15、：当 00，则，i1，2，n.注意：在使用贝叶斯公式时，往往先利用全概公式计算 P（B）；理解贝叶斯公式“后验概率”的意义.例题 11 P17 例 128【例 1-28】在例 1-25 的假设下，若任取一件是废品，分别求它是由甲、乙、丙生产的概率。解：由贝叶斯公式，例题 12 P17 例 129【例 1-29】针对某种疾病进行一种化验，患该病的人中有 90%呈阳性反应，而未患该病的人中有 5%呈阳性反应，设人群中有 1%的人患这种病，若某人做这种化验呈阳性反应，则他患这种疾病的概率是多少？解：设 A 表示“某人患这种病”，B 表示“化验呈阳性反应”，则P（A）=0.01， ，P（B|A）=0.
16、9，由全概率公式得=0.010.9+0.990.55=0.0585再由贝叶斯公式得1.4 事件的独立性 1.事件的独立性（1）概念：若 P（AB）P（A）P（B），则称事件 A 与事件 B 相互独立，简称 A，B 独立。解释：事件 A，B 相互独立的含义是：尽管 A，B 同时发生，事件 A 发生的概率对事件 B 发生的概率没有影响，如“两个同时射击的射击员击中靶子的环数”，“两个病人服用同一种药物的疗效”等。因此，在实际应用中，往往根据实际情况来判断事件的独立性，而不是根据定义。（2）性质： 设 P（A）0，则 A 与 B 相互独立的充分必要条件是 。证明： 若 A 与 B 相互独立，则 A
17、与 ， 与 B， 与 都相互独立。证明： 只证 ，B 相互独立则只需证=P（B）-P（AB）=P（B）-P（A）P（B）=P（B）1-P（A）从而得证。例题 1.P19 【例 130】两射手彼此独立地向同一目标射击。设甲射中目标的概率为 0.9，乙射中目标的概率为 0.8，求目标被击中的概率。解 设 A 表示“甲射中目标”，B 表示“乙射中目标”，C 表示“目标被击中”，则 C=AB。P（C）=P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB）由题意，A，B 相互独立P（AB）=P（A）P（B）=1-0.10.2=0.98注：A，B 相互独立时，概率加法公式可以简化为。例题 2.P19 【例 131】
18、袋中有 5 个白球 3 个黑球，从中有放回地连续取两次，每次取一个球，求两次取出的都是白球的概率。解：设 A 表示“第一次取球取到白球”，B 表示“第二次取球取到白球”，由于是有放回抽取，A 与 B 是相互独立的。所求概率为P（AB）=P（A）P（B）= =点评：有放回：第一次不管抽取的是什么球，对第二次抽取没影响。显然，两次抽取是相互独立的。不放回：第一次取到白球概率就是 ，第二次再取到白球的概率是 。显然，两次抽取不是相互独立的。注：如果是“有放回”，则两次取球就不是相互独立的。（3）推广： 3 个事件相互独立：设 A，B，C 为 3 个事件，若满足P（AB）P（A）P（B）， P（AC）
19、P（A）P（C）， P（BC）P（B）P（C），P（ABC）P（A）P（B）P（C）则称 A，B，C 相互独立，简称 A，B，C 独立。 3 个事件两两相互独立：设 A，B，C 为 3 个事件，若满足P（AB）P（A）P（B）， P（AC）P（A）P（C），P（BC）P（B）P（C），则称 A，B，C 两两相互独立。显然，3 事件相互独立必有 3 事件两两相互独立，反之未必。 n 个事件相互独立：设 A1，A 2，A n为 n 个事件，若对于任意整数 k（1kn）和任意 k 个整数 1i 10，P（B）0，则下列各式中错误的是（ ）A.P（A）1P（ ） B.P（AB）P（A）P（B） C.P
20、（ ） 1 D.P（AB）1答案：B 2.（402）设 A，B 为两个随机事件，且 P（A）0，则（ ）A.P（AB） B.P（A） C.P（B）D.1答案：D 3.（701）从标号为 1，2，101 的 101 个灯泡中任取一个，则取得标号为偶数的概率是（ ）A.50/101 B.51/101C.50/100 D.51/100答案：A4.（702）设事件 A，B 满足 P（A ）0.2，P（A）0.6， 则 P（AB）（ ）A.0.12B.0.4 C.0.6 D.0.8答案：B 5.（704）设每次试验成功的概率为 p（0P1），则在 3次独立重复试验中至少成功一次的概率为（ ）A.1（1p
21、） 3B.p（1p） 2 C.D.pp 2p 3答案：A 6.（411）设事件 A， B 相互独立，且 P（A）=O.2， P（B）=0.4，则 P（AB）_。答案：0.52 解析：P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB）=P（A）+P（B）-P（A）P（B）7.（414）一批产品，由甲厂生产的占 ，其次品率为 5%，由乙厂生产的占 ，其次品率为 10%，从这批产品中随机取一件，恰好取到次品的概率为_。答案： 解析：设 A1表示“甲厂生产”，A 2表示“乙厂生产”B：“次品”8.（427）设 P（A）0.4， P（B）0.5， 且 P（） 0.3， 求 P（AB）。答案：0.05 解析：=0.059.（1014）20 件产品中，有 2 件次品，不放回地从中连续取两次，每次取一件产品，则第二次取到正品的概率为_。答案： 解析：第二次取正品=一次且二正一正且二正P二正=P一次且二正+P一正且二正=第二章 随机变量及其概率分布 (中间部分略) 完整版 21.5 页请QQ：1273114568 索取
