1、1线性代数（经管类） 刘吉佑、徐诚浩 主编，武汉大学出版社新版 第一章 行列式 1.1 行列式的定义 1.2 行列式行(列)展开 1.3 行列式的性质与计算 1.3 克拉默法则 第二章 矩阵 2.1 线性方程组与矩阵的定义 2.2 矩阵运算 2.3 分阵的逆矩阵 2.4 分块矩阵 2.5 矩阵的初等变换与初等方阵 2.6 矩阵的秩 2.7 矩阵与线性方程组 第三章 向量空间 3.1 n 维向量概念及其线性运算 3.2 线性相关与线性无关 3.3 向量组的秩 3.4 向量空间 第四章 线性方程组 4.1 齐次线性方程组 4.2 非齐次线性方程组 第五章 特征值与特征向量 5.1 特征值与特征向量
2、 5.2 方阵的相似变换 5.3 向量内积和正交矩阵 5.4 实对称矩阵的相似标准形 第六章 实二次型 6.1 实二次型及其标准形 6.2 正这二次型和正定矩阵 (中间部分略) 完整版 15 页请QQ：1273114568 索取第一部分 行列式本章概述 行列式在线性代数的考试中占很大的比例。从考试大纲来看。虽然只占 13%左右。但在其他章。的试题中都有必须用到行列式计算的内容。故这部分试题在试卷中所占比例远大于 13%。1.1 行列式的定义1.1.1 二阶行列式与三阶行列式的定义一、二元一次方程组和二阶行列式例 1.求二元一次方程组的解。解：应用消元法得当 时。得同理得定义 称 为二阶行列式。
3、称 为二阶行列式的值。记为 。于是 由此可知。若 。则二元一次方程组的解可表示为：例 2 二阶行列式的结果是一个数。我们称它为该二阶行列式的值。二、三元一次方程组和三阶行列式考虑三元一次方程组希望适当选择 。使得当后将 消去。得一元一次方程若 ，能解出其中 要满足为解出 。在（6），（ 7）的两边都除以 得这是以 为未知数的二元一次方程组。 定义 1.1.1 在三阶行列式 中，称于是原方程组的解为 ;类似地得 这就将二元一次方程组解的公式推广到了三元一次方程组。例 3 计算例 4 （1）（2）例 5 当 x 取何值时， ？为将此结果推广到 n 元一次方程组。需先将二阶、三阶行列式推广到 n 阶
4、行列式。1.1.2 阶行列式的定义定义 1.1.2 当 n 时，一阶行列式就是一个数。当 时，称为 n 阶行列式。定义 （其所在的位置可记为 的余子式的代数余子式 。定义 为该 n 阶行列式的值。即。容易看出，第 j 列元素的余子式 和代数余子式 都与第 j 列元素无关；类似地，第 i 行元素的余子式 和代数余子式 都与第 i 行元素无关。n 阶行列式为一个数。例 6 求出行列式 第三列各元素的代数余子式。例 7 （上三角行列式）1.2 行列式按行（列）展开定理 1.2.1（行列式按行（列）展开定理）例 1 下三角行列式主对角线元素的乘积。例 2 计算行列式例 3 求 n 阶行列式小结 1.行
5、列式中元素 的余子式 和代数余子式 的定义。2.二阶行列式的定义 。3.阶行列式的定义。即。4.行列式按行（列）展开的定理和应用这个定理将行列式降阶的方法。1.3 行列式的性质及计算1.3.1 行列式的性质给定行列式将它的行列互换所得的新行列式称为 D 的转置行列式，记为 或 。性质 1 转置的行列式与原行列式相等。即性质 2 用数 k 乘行列式 D 的某一行（列）的每个元素所得的新行列式等于 kD。推论 1 若行列式中某一行（列）的元素有公因数，则可将公因数提到行列式之外。推论 2 若行列式中某一行（列）的元素全为零，则行列式的值为 0。 (中间部分略) 完整版 15 页请QQ：127311
6、4568 索取性质 3 行列式的两行（列）互换，行列式的值改变符号。以二阶为例设推论 3 若行列式某两行（列），完全相同，则行列式的值为零。证 设 中，第 i 行与第 j 行元素完全相同，则所以，D=0。性质 4 若行列式某两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值为零。2性质 5 若行列式中某一行（列）元素可分解为两个元素的和，则行列式可分解为两个行列式的和，即只要看注意 性质中是指某一行（列）而不是每一行。可见性质 6 把行列式的某一行（列）的每个元素都乘以 加到另一行（列），所得的行列式的值不变。证.1.3.2 行列式的计算人们认识事物的基本方法是化未知为已知。对行列式，先看何为已知，（1
7、）二，三阶行列式的计算；（2）三角形行列式的计算。因此，我们计算行列式的基本方法是利用行列式的性质把行列式化为三角形，或降阶。例 1 计算在行列式计算中如何造零是个重要技巧，主要是应用性质6。例 2 计算例 3 计算例 4 计算例 5 计算扩展计算例 6 计算方法 1方法 2扩展：计算例 7 计算例 8 计算扩展：计算例 9 计算 n 阶行列式 解 按第一列展开，得例 10 范德蒙行列式.例 11 计算例 12 证明小结1.准确叙述行列式的性质；2.应用行列式的性质计算行列式的方法（1）低阶的数字行列式和简单的文字行列式；（2）各行元素之和为相同的值的情况（3）有一行（列）只有一个或两个非零元
8、的情况1.4 克拉默法则这一节将把二元一次方程组解的公式推广到 n 个未知数，n 个方程的线性方程组。为此先介绍下面的定理。定理 1.4.1 对于 n 阶行列式证 由定理 1.2.1 知 ，注意改变第二列的元素，并不改变第二列元素的代数余子式类似地，可证明该定理的剩余部分。定理 1.4.2 如果 n 个未知数，n 个方程的线性方程组的系数行列式则方程组有惟一的解: 其中证明从略例 1.求解把克拉默法则应用到下面的齐次方程组有定理 1.4.3 如果 n 个未知数 n 个方程的齐次方程组的系数行列式 D0，则该方程组只有零解，没有非零解。推论 如果齐次方程组有非零解，则必有系数行列式 D=0。事实
9、上，以后我们将证明对于由 n 个未知数 n 个方程的齐次方程组，系数行列式 D=0，不仅是该齐次方程组有非零解的必要条件，也是充分条件,即若系数行列式 D=0,则齐次方程组必有非零解。例 2 判断线性方程组 (中间部分略) 完整版 15 页请QQ：1273114568 索取是否只有零解例 3 当 k 为何值时，齐次方程组没有非零解？例 4 问当 取何值时,齐次方程组有非零解?1.定理 1.4.1 对于 ，有2.n 个未知数,n 个方程的线性方程组的克拉默法则。以及 n 个未知数, n 个方程的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件。第一章小结基本概念1.行列式中元素 的余子式 和代数余子式 。2
10、.行列式的定义基本公式31.行列式按一行(一列)展开的定理；2.行列式的性质；3.行列式中任一行(列)与另一行(列)的代数余子式乘积的和=0；4.克拉默法则5.n 个未知数,n 个方程的齐次方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式=0。重点练习内容1.行列式中元素的余子式和代数余子式的计算；2.行列式的计算及重点例题（1）二、三阶行列式的计算；方法：利用行列式的性质降阶。（2）各行元素之和为常数的情况(重点例题：1.3 节中例5 及其扩展)；（3）特殊的高阶行列式。所以例 7 矩阵 必不正定。 6.2.3 二次型的分类定义 6.2.3 设 Ax 是 n 元二次型，其中 A 是实对称矩阵。二
11、次型可分成以下五类:（1）如果对于任意的非零实列向量 x，都有 ，则称该二次型正定，称此二次型的矩阵 A 为正定矩阵。（2）如果对于任意的实列向量 x，都有 ，则称该二次型半正定，称此二次型的矩阵 A 为半正定矩阵。（3）如果对于任意的非零实列向量 x，都有 ，则称该二次型负定，称此二次型的矩阵 A 为负定矩阵。（4）如果对于任意的实列向量 x，都有 ，则称该二次型半负定，称此二次型的矩阵 A 为半负定矩阵。（5）既不是半正定，也不是半负定的实二次型称为不定二次型，相应的实对称矩阵称为不定矩阵。例 5 （1） 是半正定的。 因为对任意 ，总有，故该二次型半正定。（2） 是负定二次型。因为 是正
12、定的，故对任意非零的 x，都有 ，所以是负定二次型。（3） 是半负定二次型。（4） 是不定二次型。因为对而对对于一般二次型如何判断它正定，半正定，负定，半负定，还是不定，有以下结论:如果 n 元二次型的正惯性指数=n，则它是正定二次型；如果 n 元二次型的负惯性指数=0，则它是半正定二次型；如果 n 元二次型的负惯性指数=n，则它是负定二次型；如果 n 元二次型的正惯性指数=0，则它是半负定二次型；如果 n 元二次型的正惯性指数1 且负惯性指数1，则它是不定二次型。例 6 设有二次型A.正定 B.负定 C.不定 D.半正定解 由 容易看出，该二次型的正惯性指数为 2，负惯性指数为 1，所以它为不定二次型。故应选择 C 。小结 1.二次型（实对称矩阵）正定的定义；2.判定二次型（实对称矩阵）正定的方法；3.用正，负惯性指数判断二次型的类型。第六章总结 1.二次型及其矩阵，二次型的秩，正负惯性指数的概念；2.二次型的标准形和规范形以及化二次型为标准形和规范形的方法3.正定二次型（正定矩阵）的定义及判定方法。
