1. 留数的定义 2. 留数定理 3. 留数的计算规则,2 留数(Residue),1. 留数的定义,定义设z0为f (z)的孤立奇点， f (z)在z0邻域内的洛朗级数中负幂次项(z- z0)1的系数c1称为f (z)在z0的留数，记作Resf (z), z0 或 Res f (z0)。,由留数定义, Resf (z), z0= c1 (1),2. 留数定理,定理,证明,由复合闭路定理得：,用2i 除上式两边得:,得证！,求沿闭曲线c的积分，归之为求在c中各孤立奇点的留数。,一般求Resf (z), z0是采用将f (z) 在 z0邻域内展开成洛朗级数求系数c1的方法,但如果能先知道奇点的类型，对求留数更为有利。,以下就三类奇点进行讨论：,3. 留数的计算规则,规则I,规则II,事实上，由条件,当m=1时，式(5)即为式(4).,规则III,事实上，,例1,解,例2,解,例3,解,例4,解,故由留数定理得：,(1)要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留数，不要死套规则。,如,是f (z)的三级极点。,-该方法较规则II更简单！,(2)由规则II的推导过程知，在使用规则II时，可将m取得比实际级数高，有时，这可使计算更简单。,如,
