1、第十章,曲线积分与曲面积分,已经学过：,这些积分的特点是：,这就是,曲线积分,曲面积分,对弧长的曲线积分(第一型曲线积分),对坐标的曲线积分(第二型曲线积分),对面积的曲面积分(第一型曲面积分),对坐标的曲面积分(第二型曲面积分),是直线上的区间，平面上和空间的区域.,积分是累加问题，,上函数，,如何处理呢？,当涉及定义在平面或者空间曲线弧,甚至定义在空间曲面上函数的累加问题，,该,积分域是“平”的.,定积分，二重积分，三重积分,曲线积分和曲面积分.,第一节,一、第一型曲线积分的概念,二、第一型曲线积分的计算,第一型曲线积分,第十章,一、第一型曲线积分的概念,设有一平面曲线物体 L，,“分割,
2、 近似(直代曲), 求和，取极限”,可得,为计算此物体的质量m,曲线状物体的质量.,采用,是 (x, y) 的连续函数.,其线密度,实例1.,(其中,最大长度),为 n 个小弧段的,曲顶柱面的侧面积,实例2.,设 f (x, y)连续非负，,面xOy上以L为底，以z=f (x, y)为,顶的曲顶柱面的侧面积，,“分割, 近似(直代曲), 求和，取极限”,根据,可得,求在坐标平,设 f (x, y) 是定义在平面光滑曲线 L上的有界,都存在,第一型曲线积分，,若将 L 任意分割成 n 个小曲线段,则称 I 为函数,在曲线 L 上,或对弧长的曲线积分.,任取,记为,称为被积函数，,L 称积分路径，
3、,ds 称弧长元素.,函数,定义1.,如果对 L 的任意分法,以及介点,的任意取法，,极限,曲顶柱面的侧面积,曲线状物体的质量,若函数 f (x, y) 在光滑曲线 L 或者分段光滑曲线 L上,连续，,则 f (x, y) 在曲线 L上的第一型曲线积分存在.,类似地,第一型曲线积分：,可积条件,可以定义三元函数 f (x, y, z) 沿空间曲线 L的,3. 性质,（, 为常数),( L 由 组成),( S 为曲线弧 L 的长度),(4) 若 L 关于x 轴 (或 y 轴) 对称,是奇函数，,即,则,f (x, y) 关于 y (或 x ),二、第一型曲线积分的计算法,基本方法:,转化为计算定
4、积分.,且,上的连续函数,证:,是定义在光滑曲线弧,则曲线积分,将计算曲线积分,根据定义,点,设各分点对应参数为,对应参数为,则,积分中值定理,注:,因此积分限必须满足,(2) 注意到,因此上述计算公式相当于“换元法”.,因此,如果曲线 L 的方程为,则有,如果方程为极坐标形式:,则,设空间曲线的参数方程为,则,对于空间曲线有类似结论.,设 L 为单位圆的右半圆周，求,例1.,曲线 L 的参数方程为,得,解法二：,解法一:,视 y 为参数，,例2. 计算,其中 L 是以,为顶点的三角形的边界.,解:,因 L 由,三条线段连接而成，,故,从而,例3. 计算,其中L为双纽线,在极坐标系下,它在第一象限部分为,利用对称性 , 得,解:,其中 L 为球面,被平面 所截的圆周.,解:,曲线,也可以表示为,这是一个半径为 a 的圆.,于是,例4. 计算,例5.,位于 xOy 面上方及平面,z = y 下方那部分柱面的侧面积 S .,解:,求椭圆柱面,这是曲顶柱面的侧面积问题.,例6.,其中L 为球面,解:,化为参数方程,则,计算,例7.,(1) 求它关于 z 轴的转动惯量,(2) 求它的重心 .,设其密度为 (常数).,(2) L的质量,而力矩,(1),解:,设均匀螺旋形弹簧L的方程为,故重心坐标为,
