1、11如图，二次函数 cxy21的图象经过点 D 29,3，与 x 轴交于 A、B 两点求 c的值；如图，设点 C 为该二次函数的图象在 x 轴上方的一点，直线 AC 将四边形 ABCD 的面积二等分，试证明线段 BD 被直线 AC 平分，并求此时直线 AC 的函数解析式；设点 P、 Q 为该二次函数的图象在 x 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P、 Q，使 AQP ABP？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由 （图供选用）解： 抛物线经过点 D( 29,3) )3(212cc=6.过点 D、B 点分别作 AC 的垂线，垂足分别为 E、F，设 AC 与 BD 交点为 M
2、，AC 将四边形 ABCD 的面积二等分，即：S ABC =SADC DE=BF 又DME=BMF， DEM= BFEDEM BFMDM=BM 即 AC 平分 BD c=6. 抛物线为 621xyA（ 0,32） 、B（ 0,3）M 是 BD 的中点 M （ 49,2）2设 AC 的解析式为 y=kx+b，经过 A、M 点49230k解得 59103bk直线 AC 的解析式为 103xy.存在设抛物线顶点为 N(0，6)，在 RtAQN 中，易得 AN= 43，于是以 A 点为圆心，AB= 43为半径作圆与抛物线在 x 上方一定有交点 Q，连接 AQ，再作QAB 平分线 AP 交抛物线于 P，
3、连接 BP、PQ，此时由“边角边”易得 AQPABP2已知一次函数 y 12的图象与 x 轴交于点 A与 y轴交于点 B；二次函数cbxy21图象与一次函数 y 12的图象交于 、 C两点，与 x轴交于 D、 E两点且 D点的坐标为 )0,(（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形 BDEF 的面积 S；（3）在 x轴上是否存在点 P，使得 BC是以 P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点 ，若不存在，请说明理由。【答案】解：（1） 由题意知:当 x=0 时,y=1, B（0，1）,当 y=0 时,x=2, A（2，0）0cb解得 231bc,所以 123xy（2）当 y=0 时, 0
4、x,解得 x1=1,x2=2, D(1,0) E(2,0) AO=3,AE=4. S=S3CAE S ABD，S= OBADE213，S=4.5,(3)存在点 P(a,0),当 P 为直角顶点时,如图,过 C 作 CFx 轴于 F, RtBOP RtPFC,由题意得，AD6，OD1，易知，ADBE， CFOB即 34a,整理得:a 24 a3=0,解得 a=1 或 a=3,所以所求 P 点坐标为(1,0)或(3,0).综上所述,满足条件的点 P 有两个.3如图（1） ，抛物线 2yx与 y 轴交于点 A，E（0，b）为 y 轴上一动点，过点 E 的直线 yxb与抛物线交于点 B、C.（1）求点
5、 A 的坐标；（2)当 b=0 时（如图（2） ） ， AE与 的面积大小关系如何？当 4b时，上述关系还成立吗，为什么？（3）是否存在这样的 b，使得 O是以 BC 为斜边的直角三角形，若存在，求出 b；若不存在，说明理由. 解： （1）将 x=0，代入抛物线解析式，得点 A 的坐标为（0，4）（2）当 b0 时，直线为 yx，由 2yx解得 12xy， 所以 B、C 的坐标分别为（2，2） ， （2，2） 14AES， 14ACES所以 BAE（利用同底等高说明面积相等亦可） 当 b时，仍有 BACE成立. 理由如下由 24yx，解得 14xby， 24xby 所以 B、C 的坐标分别为（
6、 ， +b） ， （ ， 4b+b） ，作 Fy轴， Gy轴，垂足分别为 F、G，则 BC，而 AE和 是同底的两个三角形，所以 BACES. （3）存在这样的 b.因为 90F,BFEC所以 G所以 BE，即 E 为 BC 的中点所以当 OE=CE 时， OA为直角三角形 因为 44bbCy xCOE y xCBAOE图（1）图（2）GFyBCQOR4所以 24CEb，而 OEb所以 ，解得 12,，所以当 b4 或2 时，OBC 为直角三角形. 4 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 cbxy2的图象与 x 轴交于 A、 B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0） ，与 y
7、轴交于 C（0，-3）点，点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式（2）连结 PO、PC ， 并把POC 沿 CO 翻折，得到四边形 POP /C， 那么是否存在点P，使四边形 POP /C 为菱形？若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由（3）当点 P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时 P 点的坐标和四边形 ABPC 的最大面积.【答案】解：（1）将 B、 C 两点的坐标代入得 30cb 解得： 2 所以二次函数的表达式为： 32xy （2）存在点 P，使四边形 POP /C 为菱形设 P 点坐标为（ x， 32） ，PP
8、 /交 CO 于 E若四边形 POP /C 是菱形，则有 PCPO连结 PP / 则 PE CO 于 E，5OE=EC= 23 y= 32x= 解得 1x= 0， 2= 10（不合题意，舍去）P 点的坐标为（ ， 23）8 分（3）过点 P 作 y轴的平行线与 BC 交于点 Q，与 OB 交于点 F，设 P（x ， 32x） ，易得，直线 BC 的解析式为 3xy则 Q 点的坐标为（x ，x 3）. EBQPOCABSSCPQBACBP 2121四 边 形 )(421= 87532x6当 23x时，四边形 ABPC 的面积最大此时 P 点的坐标为 415,23，四边形 ABPC 的面积 87的
9、 最 大 值 为 5如图，已知在直角梯形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上， OC 在 x 轴的正半轴上，OAAB2，OC3，过点 B 作 BDBC，交 OA 于点 D，将 DBC 绕点 B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交 y 轴的正半轴于 E 和 F（1）求经过 A，B，C 三点的抛物线的解析式；（2）当 BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求 CF 的长；（3）连接 EF，设BEF 与BFC 的面积之差为 S，问：当 CF 为何值时S 最小，并求出这个最小值.【答案】由题意得：A （ 0，2） 、B（2，2） 、C（3，0） ，设经过 A，B ，C 三点的抛物线的解析式为 2ya
10、xbc，则 4930abc，解得：2342abc，所以 243yx（2）由 243yx 28(1)x，所以顶点坐标为 G（1， 83） ，过 G 作GHAB，垂足为 H，则AHBH1， GH 82 3，EAAB，GHAB，EA GH，GH 是 BEA 的中位线，EA3GH 4，过 B 作 BMOC，垂足为 M，则 MBOAAB，EBFABM90 ，EBA FBM90 ABF，R tEBAR tFBM，FMEA 3，CMOCOM321，CFFMCM 73（3）设 CFa，则 FM a1 或 1 a，BF 2FM 2BM 2(a1) 22 2a 22a5，又EBAFBM，BMBF，则 21(5)2
11、BEFSBFA ，又 11BFCsMA ，S (5)aa，即 S 2()a，当 a2（在 2a3）时，712S最 小 值 6如图 12 已知ABC 中， ACB 90以 AB 所在直线为 x 轴，过 c 点的直线为 y 轴建立平面直角坐标系此时，A 点坐标为（一 1 ， 0） ， B 点坐标为（4，0 ） （1）试求点 C 的坐标（2）若抛物线 2yaxbc过ABC 的三个顶点，求抛物线的解析式（3）点 D（ 1，m ）在抛物线上，过点 A 的直线 y=x1 交（2）中的抛物线于点 E，那么在 x 轴上点 B 的左侧是否存在点 P，使以 P、B 、D 为顶点的三角形与ABE 相似？若存在，求出
12、 P 点坐标；若不存在，说明理由。【答案】 （1）ACB 90，COAB，ACOCBO， COAB，CO=2，则 C（ 0，2）；（2）抛物线 2yaxbc过ABC 的三个顶点，则 20416cba，,3,1cba，抛物线的解析式为 32xy；（3）点 D（ 1，m ）在抛物线上， m，D （1，3） ，把直线 y=x1 与抛物线22xy联立成方程组 21xy 65,021y，E（5，6）,过点 D 作 DH 垂直于 x 轴,过点 E 作 EG 垂直于 x 轴,DH=BH=3,DBH=45,BD= 23,AG=EG=6, EAG=45,AE= 6,当 P 在 B 的右侧时,DBP=135ABE
13、,两个三角形不相似,所以 P 点不存在；当 P 在 B 的左侧时) DPBEBA 时， 2635,BPAE， 5，P 的坐标为（ 23，0），) DPBBEA 时， ,D ， 36B，P 的坐标为（ 516，0），所以点 P 的坐标为（ 23，0）或（ 516，0）。7如图 1，抛物线 baxy1经过点 A（ 1，0） ，C （0， 23）两点，且与 x 轴的另一交点为点 B（1）求抛物线解析式； （2）若抛物线的顶点为点 M，点 P 为线段 AB 上一动点（不与 B 重合） ，Q 在线段 MB 上移动，且MPQ=45，设 OP=x，MQ= 2y，求 2于 x 的函数关系式，并且直接写出自DG
14、H8变量的取值范围；（3）如图 2，在同一平面直角坐标系中，若两条直线 x=m，x=n 分别与抛物线交于 E、G 两点，与（2）中的函数图像交于 F、H 两点，问四边形 EFHG 能否为平行四边形？若能，求出 m、n 之间的数量关系；若不能，请说明理由【答案】 （1） 23xy；（2）由顶点 M（1，2）知PBM=45，易证MBPMPQ 得QBPQB，得 224)1(yx，即)30(252xxy；（3）存在，设点 E、G 是抛物线 23xy分别与直线 x=m，x=n 的交点，则21()Em，、 )21,(n，同理 )251,(2mF、 )251,(nH，,HF由四边形 EFHG 为平行四边形得
15、 EG=FH，即0)(022 mn，由 (01)nm， 且 ，因此，四边形 EFHG 可以为平行四边形，m、n 之间的数量关系是 m+n=2（0m2，且m1） 8如图，在ABC 中，C45，BC10，高 AD8，矩形 EFPQ 的一边 QP 在 BC 边上，E、F 两点分别在 AB、AC 上，AD 交 EF 于点 H（1）求证： ；AHAD EFBC（2）设 EFx ，当 x 为何值时，矩形 EFPQ 的面积最大? 并求其最大值；（3）当矩形 EFPQ 的面积最大时，该矩形 EFPQ 以每秒 1 个单位的速度沿射线 QC 匀速运动( 当点 Q 与点 C 重合时停止运动)，设运动时间为 t 秒，
16、矩形 EFFQ 与ABC 重叠部分的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式图 1 图 29【答案】解：（1） 四边形 EFPQ 是矩形， EFQP AEFABC又 ADBC， AHEF AHAD EFBC（2）由（1）得 AH xAH8 x10 45 EQ HDAD AH8 x，45 S 矩形 EFPQEF EQx (8 x) x28 x （x5） 22045 45 45 0， 当 x 5 时，S 矩形 EFPQ 有最大值，最大值为 2045（3）如图 1，由（2）得 EF5，EQ4 C 45， FPC 是等腰直角三角形 PCFPEQ =4，QCQPPC9分三种情况讨论： 如图 2当 0t4
17、 时，设 EF、PF 分别交 AC 于点 M、N ，则MFN 是等腰直角三角形 FNMF t SS 矩形 EFPQS RtMF N=20 t2 t220；12 12如图 3，当 4t5 时，则 ME5t，QC 9t SS 梯形 EMCQ （5t）（9t ）44t 28；12如图 4，当 5t9 时，设 EQ 交 AC 于点 K，则 KQ=QC9t SS KQC = (9t) 2 ( t9) 212 12图 2 图 3 图 4图 110综上所述：S 与 t 的函数关系式为：S=22104)485(9)9)ttt ( 9已知抛物线 2(0)yaxbc顶点为 C（1，1）且过原点 O.过抛物线上一点
18、P（x，y）向直线 54作垂线，垂足为 M，连 FM（如图）.（1）求字母 a，b，c 的值；（2）在直线 x1 上有一点 3(1,)F，求以 PM 为底边的等腰三角形 PFM 的 P 点的坐标，并证明此时PFM 为正三角形；（3）对抛物线上任意一点 P，是否总存在一点 N（1，t） ，使 PMPN 恒成立，若存在请求出 t 值，若不存在请说明理由.【答案】 （1）a 1，b 2，c 0（2）过 P 作直线 x=1 的垂线，可求 P 的纵坐标为 14，横坐标为 132.此时，MPMF PF1，故MPF 为正三角形.（3）不存在.因为当 t 54，x1 时，PM 与 PN 不可能相等，同理，当
19、t 54，x1 时，PM 与 PN 不可能相等.10如图，以 A 为顶点的抛物线与 y 轴交于点 B已知 A、B 两点的坐标分别为(3，0)、(0，4)(1)求抛物线的解析式；(2)设 M(m，n)是抛物线上的一点(m 、n 为正整数)，且它位于对称轴的右侧若以M、B、O、A 为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点 M 的坐标；(3)在(2)的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点 P，PA 2+PB2+PM228 是否总成立?请说明理由1111.如图，在平面直角坐标系中，顶点为（ 4， 1）的抛物线交 y轴于 A点，交 x轴于 B，C两点（点 B在点 C的左侧）. 已知 A点
20、坐标为（ 0， 3）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点 作线段 的垂线交抛物线于点 D， 如果以点 C为圆心的圆与直线 D相12切，请判断抛物线的对称轴 l与 C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点 P是抛物线上的一个动点，且位于 A， C两点之间，问：当点 P运动到什么位置时， AC的面积最大？并求出此时 P点的坐标和 P的最大面积.【答案】（1）解：设抛物线为 2(4)1yax.抛物线经过点 A（0，3） ， 2(04)1a. 4a.抛物线为 22()34yxx. 3 分(2) 答： l与 C相交. 4 分证明：当 21()0时， 1， 26. B为（2，0） ， 为（6，0）.
21、 231AB.设 C与 D相切于点 E，连接 C，则 90EAOB. 9A， 9O.又 0BOAB， B. EC. E. 6213. 8213CE.6 分抛物线的对称轴 l为 4x， 点到 l的距离为 2.抛物线的对称轴 与 相交. 7 分(3) 解：如图，过点 P作平行于 y轴的直线交 AC于点 Q.可求出 AC的解析式为 132x.8 分设 点的坐标为（ m， 4） ，则 点的坐标为（ m， 132）. 2213()24PQm. 2137()6(3)4ACPCQSS,当 m时， 的面积最大为 7.此时， 点的坐标为（3， 4）. 10 分12如图, 已知抛物线 cbxy21与 y 轴相交于
22、 C，与 x 轴相交于 A、B，点 A 的坐标AxyBOCD13为（2，0） ，点 C 的坐标为（0，-1）.（1）求抛物线的解析式；（2）点 E 是线段 AC 上一动点，过点 E 作 DEx 轴于点 D，连结 DC，当DCE 的面积最大时，求点 D 的坐标；（3）在直线 BC 上是否存在一点 P，使ACP 为等腰三角形，若存在，求点 P 的坐标，若不存在，说明理由.【答案】解：（1）二次函数 cbxy21的图像经过点 A（2，0）C(0,1) 10cb解得： b= 2 c=1-2 分二次函数的解析式为 12xy -3 分（2）设点 D 的坐标为（m，0） （0m2） OD=m AD=2-m由
23、ADEAOC 得， OCDEA -4 分 12EDE= -5 分CDE 的面积= 2mm= 24m= 41)(当 m=1 时，CDE 的面积最大ABCEDx yo ABCx yo备 用 图14点 D 的坐标为（1，0）- 8 分（3）存在 由(1)知：二次函数的解析式为 12xy设 y=0 则 12x 解得：x 1=2 x2=1点 B 的坐标为（1，0） C（0，1）设直线 BC 的解析式为：y=kxb k 解得：k=-1 b=-1直线 BC 的解析式为: y=x 1在 RtAOC 中，AOC=90 0 OA=2 OC=1由勾股定理得：AC= 5点 B(1,0) 点 C（0，1）OB=OC B
24、CO=45 0当以点 C 为顶点且 PC=AC= 5时，设 P(k, k 1)过点 P 作 PHy 轴于 HHCP=BCO=45 0CH=PH=k 在 RtPCH 中k2+k2=5 解得 k1= 2， k2= 10P 1（ 0， ） P2（ ， ）-10 分以 A 为顶点，即 AC=AP= 5设 P(k, k1)过点 P 作 PGx 轴于 GAG=2k GP=k 1在 RtAPG 中 AG2PG 2=AP2（2k) 2+( k1) 2=5解得：k 1=1,k2=0(舍)P 3(1, 2) -11 分以 P 为顶点，PC=AP 设 P(k, k 1)过点 P 作 PQy 轴于点 QPLx 轴于点
25、 LL(k,0)15QPC 为等腰直角三角形PQ=CQ=k由勾股定理知CP=PA= 2kAL=k-2, PL=k1在 RtPLA 中( 2k)2=(k2) 2(k1) 2解得：k= 5P 4( , 7) -12 分综上所述： 存在四个点：P 1（ 20， 1） P2（- 10， 2） P3(1, 2) P 4( 25, 7)13如图 1，已知抛物线经过坐标原点 O和 x轴上另一点 E，顶点 M的坐标为 (2,4)；矩形ABCD的顶点 A与点 O重合，AD、AB 分别在 x轴、y 轴上，且 AD=2，AB=3.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）将矩形 ABCD以每秒 1个单位长度的速度从图 1
26、所示的位置沿 x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点 P也以相同的速度从点 A出发向 B匀速移动，设它们运动的时间为 t秒（0t3） ，直线 AB 与 该 抛物线的交点为 N（如图 2所示）. 当 t= 25时，判断点 P是否在直线 ME上，并说明理由； 设以 P、N、C、D 为顶点的多边形面积为 S，试问 S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由【答案】 解：（1） xy42（2）点 P 不在直线 ME 上依题意可知：P （ t, ） ，N（ t， t42）当 30t时，以 P、N、 C、D 为顶点的多边形是四边形 PNCD，依题意可得：CDSAA= O21+ BCP=
27、31+ 22t= 3t= 4)2(t抛物线的开口方向：向下，当 t= ，且 20t时， 最 大S= 41当 03或t时,点 P、N 都重合，此时以 P、N、C、D 为顶点的多边形是三角形图 2BCO AD EMyxPN图 1BCO (A)D EMyx16依题意可得， ABCDS矩 形21= 32=3综上所述，以 P、 N、 C、 D为顶点的多边形面积 S存在最大值 42114.已知：如图，把矩形 O放置于直角坐标系中， 3OC， B，取 A的中点 M，连结 M，把 沿 x轴的负方向平移 的长度后得到 D.(1)试直接写出点 的坐标；(2)已知点 B与点 在经过原点的抛物线上，点 P在第一象限内
28、的该抛物线上移动，过点P作 Q轴于点 ，连结 .若以 O、 、 为顶点的三角形与 AO相似，试求出点 P的坐标；试问在抛物线的对称轴上是否存在一点 T，使得 TB的值最大.AO xBCMyAO xD BCMyEPTQ【答案】解：(1)依题意得： 2,3D；（3 分）(2) OC， B， ,.抛物线经过原点，设抛物线的解析式为 bxay20又抛物线经过点 2,3B与点 2,3D17 2349,ba解得： 32,94ba抛物线的解析式为 xy942.（5 分）点 P在抛物线上，设点 x394,2.1)若 PQO DA，则 OQP， 23942x，解得： 01x(舍去)或 1652x，点 64153
29、,.（7 分）2)若 OQP DA，则 OPQ， 2394xx，解得： 01x(舍去)或 29x，点 6,29.（9 分）存在点 T，使得 TB的值最大.抛物线 xy3942的对称轴为直线 43x，设抛物线与 x轴的另一个交点为 E，则点0,3E.（10 分）点 O、点 关于直线 4x对称， T（11 分）要使得 B的值最大，即是使得 TBE的值最大，根据三角形两边之差小于第三边可知，当 、 、 三点在同一直线上时， TBE的值最大. （12 分）18设过 B、 E两点的直线解析式为 bkxy0k， 23,b解得： 2,34bk直线 BE的解析式为 xy.当 43x时， 143.存在一点 ,T使得 TOB最大.（13 分）H QP EB MADC
