1、 1 / 16专题一：旋转中的不变量（）目标：掌握旋转变换形成的基本图形，并会证明.能在旋转变换中找到不变量，并能够类比迁移解决问题第一课时旋转基本图形例 1如图，ABC 和ECD 都是等边三角形，B、C、D 在一条直线上，AC 和 BE 相交于点M，AD 和 CE 相交于点 N（1）求证：AD=BE（2）求 BE 和 AD 的所成的角的大小(3)证明：MN/BD（）当 绕点 C 在平面内转动时，线段 BE 和 AD 有何关系 （相等，夹角为旋转角）EDAB CDEMGFEDCB AEOBAEDCBAB1A1BOAOAA 1与OBB 1是 等腰三角形且顶角AOA 1= BOB 1则 理由（ ）
2、ABC 与ADE 是 等边三角形则 理由（ ）AOB 与EOF 是 等腰直角三角形则 理由（ ）四边形 ABCD 与四边形 EDGF 是正方形则 理由（ ） NMEABCD2 / 16作业1.如图 1，已知等边ABC 和菱形 BDEF，其中 DF=DB，连接 AF、CD（1）观察图形，猜想 AF 与 CD 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不必证明；（2）将菱形 BDEF 绕点 B 按顺时针方向旋转，使菱形 BDEF 的一边落在等边ABC 内部，在图 2中画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，请问：（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）在上述旋转过程
3、中，AF、CD 所夹锐角的度数是否发生变化？若不变，请你求出它的度数，并说明你的理由；若改变，请说明它的度数是如何变化的 EFCABDEFCBAD图 1 图 22.( 2014 期末海淀区)已知四边形 ABCD 和四边形 CEFG 都是正方形，且 ABCE（1）如图 1，连接 BG、DE求证：BG=DE ；（2）如图 2，如果正方形 ABCD 的边长为 ，将正方形 CEFG 绕着点 C 旋转到某一位置时恰好使得2CG/BD，BG=BD .求 的度数；BDE请直接写出正方形 CEFG 的边长的值. GFEDCBA图 2ABCDEFG图 13 / 16第二课时例 2如图(1)，已知两个正方形 AB
4、CD 与正方形 OEFG， O 点是正方形 ABCD 的中心，正方形 OEFG 绕着点 O 旋转（旋转角 满足 ） ，90在旋转的过程中 OM 与 ON 有怎样的数量关系？四边形 OMCN 的面积有何变化，为什么？ NMFGOBAD CE（1）如图（2）当正方形 OEFG 的旋转中心不再是正方形 ABCD 的中心时，而是在 AC 的对角线上，且 OE过点 D，当 OG 与 BC 交于 N 时，OD 与 ON 的数量关系是否发生改变？为什么？ NFGBACDOE（2）如图（3）当 OG 交 BC 的延长线与 N 时，OD 与 ON 还有上面的结论成立吗？为什么？NFGBAD COE(3)4 /
5、16作业:1.(07 北京) 在平面直角坐标系 xOy 中，OEFG 为正方形，点 F 的坐标为 将一个最短边长大于 的(1)， 2直角三角形纸片的直角顶点放在对角线 FO 上如图，当三角形纸片的直角顶点与点 F 重合，一条直角边落在直线 FO 上时，这个三角形纸片与正方形OEFG 重叠部分（即阴影部分）的面积为 ；若三角形纸片的直角顶点不与点 O，F 重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形 OEFG 重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不要求写出求解过程） ，并画出此时的图形2操作：在ABC 中，AC=BC=2,C =90,将一块等腰
6、直角三角板的直角顶点放在斜边的中点 P 处，将三角板绕点 P 旋转，三角板的两直角边分别交射线 AC,CB 于 D,E 两点，图是旋转三角板得到的图形中的其中三种。探究：(1)三角板绕点 P 旋转，观察线段 PD 和 PE 之间有什么大小关系？它们的关系为_；（不必写出证明过程）(2)三角板绕点 P 旋转，PBE 能否成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即求出PBE 为等腰三角形时线段 CE 的长） ；若不能，请说明理由。图 图 图11OEFGyx xyGEFOxyGEFOED PBAC EPBCADEPBCAD5 / 16FAB CDE FAB CDEFAB CDEFAB CD专题二：利用旋
7、转解决问题 第一课时一、引例：如图，F 是正方形 ABCD 中 CD 边上任意一点，以点 A 为中心，把ADF 顺时针旋转 90，画出旋转后的图形.作法：结论：二、例题讲解例 1：已知：正方形 ，EAF45, 绕点 顺时针旋转，它的两边分别交 （或它ABCDEAFCB，们的延长线）于点 ,EF（1）当 绕点 旋转到如图 1 的位置时，线段 和 之间有怎样的数量关系？写出猜BD， EF想，并加以证明 图 1（2）当 绕点 旋转到如图 2 的位置时，线段 和 之间又有怎样的数量关系？写出猜EAFBEDF，想，并加以证明 图 26 / 16FBA DCEFCAB DEFCAB DEBA DCBA D
8、CBA DCBA DCBA DC备用图变式 1：若把例题中的条件变为“在四边形 ABCD 中，AB=AD，ABC=ADC=90，EAF= 21” 绕点 顺时针旋转，它的两边分别交 （或它们的延长线）于点 如下BDEFCB， ,EF图所示线段 和 之间有怎样的数量关系？请直接写出它们之间的关系式，变式 2：若把例题中的条件变为“在四边形 ABCD 中，ABAD ， BD180，E、F 分别是直线BC、CD 上的点，且 EAF= BAD” 绕点 旋转，它的两边分别交直线 、 于点 21EFC,E线段 和 之间有怎样的数量关系？请直接写出它们之间的关系式BEDF，7 / 16图 1 图 2FODBF
9、ODBACACEE备用图例 2如图，已知ABC 为等腰直角三角形，BAC =90，E、F 是 BC 边上点，且EAF=45求证： 22BECF练习：1、如图，已知四边形 ABCD 是正方形，对角线 ACBD 相交于 O.（1） 如图 1，设 E、F 分别是 AD、AB 上的点，且EOF=90，线段 AF、BF 和 EF 之间存在一定的数量关系请你用等式直接写出这个数量关系；（2）如图 2，设 E、F 分别是 AB 上不同的两个点，且EOF=45，请你用等式表示线段 AE、BF 和 EF 之间的数量关系，并证明.ACB FEACB FE8 / 162、如图 1，在正方形 ABCD 中，E 是 A
10、B 上一点，F 是 AD 延长线上一点，且 DFBE（1）求证：CECF；（2）在图 1 中，若 G 在 AD 上，且GCE45，则 GEBEGD 成立吗？为什么？（3）运用（1） （2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图 2，在直角梯形 ABCD 中，ADBC（BCAD ） ，B90，ABBC12，E 是 AB 上一点，且DCE45，BE4，求 DE 的长3、已知，正方形 ABCD 中，MAN=45, MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交 CB、DC（或它们的延长线）于点 M、N，AH MN 于点 H（1）如图，当MAN 绕点 A 旋转到 BM=DN 时，请你直接写出 AH 与
11、 AB 的数量关系： ； （2）如图，当MAN 绕点 A 旋转到 BMDN时， （1）中发现的 AH 与 AB 的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由如果成立请证明；（3）如图，已知MAN=45 ，AHMN 于点 H，且 MH=2，NH=3 ，求 AH 的长（可利用（2）得到的结论） B CA G D FE 图 1 图 2B CA D E 9 / 16PCABM第二课时复习引入：1、 复习旋转的三要素和基本性质。2、 如图，ABC 为等边三角形，M 是ABC 内一点，若将ABM 经过旋转后到ACP 位置，则旋转中心是_，旋转角等于_度，AMP 是_三角形.例题请阅读下列材料问题：如图 1，在
12、等边三角形 ABC 内有一点 P，且 PA=2， PB= ， PC=1求BPC 度数的大小3和等边三角形 ABC 的边长李明同学的思路是：将BPC 绕点 B 逆时针旋转 60，画出旋转后的图形（如图 2） 连接 PP，可得PPB 是等边三角形，而 PPA又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证） 所以APB=150 ，而BPC= APB=150进而求出等边ABC 的边长为 问题得到解决7请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图 3，在正方形 ABCD 内有一点 P，且PA= ，BP= ，PC=1求BPC 度数的大小和正方形 ABCD 的边长52练习 1、如图，P 为等边三角形 ABC 内
13、部一点，且 P 到三角形的三角形顶点 A,B,C 的长分别为 3，4，5，求APB 的度数. ABC P图 3图 1 图 210 / 162、 （1）如图，BCM 中，BMC120 ，以 BC 为边向三角形外作等边ABC，把ABM 绕着点 A 按逆时针方向旋转 60到CAN 的位置.若 BM2，MC 3.求： AMB 的度数；求 AM 的长.（2）如图，ABC 中 BM=2，CM=3，以 BC 为边的ABC 是等边三角形，求 AM 的最大值、最小值.3.如图，已知等腰直角 BCABAC,90,(1)点 D 是 内一点.B若 .,3,2,1一一一 DA AB CDAMCB11 / 16若点 D
14、是 内任意一点 . 求证：ABCBDCA2（2）若点 D 为 AC 上任意一点， （1）中的结论是否成立？若成立给出证明，若不成立，说明理由. AB CD(3)当点 D 为 （1）中的结论是否发生改变？直接写出你的结论.一ABC ACBACB备用图 ACBACBAD CB12 / 16AD CB备用图 备用图4已知，点 P 是正方形 ABCD 内的一点，连接 PA、PB、PC.（1）如图，若 PA=2，PB=4，APB=135，求 PC 的长 . A BD CP图（2）如图 2，若点 P 在对角线 AC 上.求证：若 PA2+PC2=2PB2 A BD CP6.如图，在四边形 ABCD 中，A
15、BC=30 ，ADC=60，AD=DC. 证明：BD 2=AB2+BC2. 7如图，已知：如图，四边形 ABCD 中，AD=CD， ， ，75ABC60AB2，BC ，2（1）以线段 BD，AB ，BC 作为三角形的三边，则这个三角形为 三角形（填：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形） ；求 BD 边所对的角的度数；（2）求四边形 ABCD 的面积 ABCD13 / 16专题三. 与中点有关的旋转例 1：在等腰直角ABC 中，D 是 AB 中点，EDF=90，求证：（）DE=DF . （2） AEBF（3） 22EFBA（）若DEF 绕着顶点 D 旋转，点 E、点 F 分别运动到 CA、BC
16、的延长线上，请自己画出图形，并说明(1)(2)(3)的结论是否成立。D BCA14 / 16例 2 （09 宣武一模）如图， 已知等边三角形 ABC 中，点 D、E、F 分别为边 AB、AC、BC 的中点，M为直线 BC 上一动点，DMN 为等边三角形（点 M 的位置改变时， DMN 也随之整体移动） （1）如图 1，当点 M 在点 B 左侧时，请你连结 EN，并判断 EN 与 MF 有怎样的数量关系？点 F 是否在直线 NE 上？请写出结论，并说明理由；（2）如图 2，当点 M 在 BC 上时，其它条件不变， （1）的结论中 EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立? 若成立，请利用图 2 证
17、明；若不成立，请说明理由；（3）如图 3，若点 M 在点 C 右侧时，请你判断（1）的结论中 EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立? 若成立,请直接写出结论；若不成立，请说明理由 （图 1） （图 2） （ 图 3）作业：1.（北京 2011）第 24 题(7 分)在 ABCD 中，BAD 的平分线交直线 BC 于点 E，交直线 DC 于点 F(1)在图 1 中，证明：CECF；(2)若ABC 90，G 是 EF 的中点 (如图 2)，直接写出BDG 的度数；(3)若ABC 120，FGCE ，FG CE ，分别连结 DB、DG(如图 3)，求BDG 的度数B BA D A DCCEFEGF
18、AB CDEG F图 1 图 2 图 3NFEDCBAMN FEDCBA MAEFDBNCM15 / 162.（北京 2008）第 25 题请阅读下列材料：问题：如图 1，在菱形 和菱形 中，点 在同一条直线上， 是线段 的中点，ABCDEFGABE， ， PDF连结 若 ，探究 与 的位置关系及 的值PG， 60PCG小聪同学的思路是：延长 交 于点 ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决PH请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段 与 的位置关系及 的值；PGCPG（2）将图 1 中的菱形 绕点 顺时针旋转，使菱形 的对角线 恰好与菱形 的边BEFBEFABC
19、D在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图 2） 你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？AB写出你的猜想并加以证明解：（1）线段 与 的位置关系是 ； PC变式：如图 1，在正方形 ABCD 和正方形 BEFG 中，点 A，B，E 在同一条直线上，P 是线段 DF 的中点，连接 PG，PC（1）探究 PG 与 PC 的关系： （2）如图 2，将图 1 中的正方形 BEFG 绕点 B 顺时针旋转，使正方形 BEFG 的边 BG 恰好与正方形 ABCD的边 AB 在同一条直线上，问题（1）中的其他条件不变你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明 P G FED CBADA
20、B EFCPG图 1D CGPA BEF图 216 / 163、 （08 东城二模）已知正方形 ABCD 和等腰 Rt 按图 1 放置，使点 F 在0,9,BEFBEFABC 上，取 DF 的中点 G，连 EG 、CG.(1)探索 EG、CG 的数量关系，并说明理由；（2）将图 1 中BEF 绕 B 点顺时针旋转 得图 2，连结 DF, 取 DF 的中点 G，问（1）中的结论是否045成立，并说明理由；（3）将图 1 中BEF 绕 B 点转动任意角度（旋转角在 0 到 之间）得图 3，连结 DF，取 DF 的中点 G 9，问（1）中的结论是否成立，请说明理由；4、已知：在 RtABC 中，AB=BC，在 RtADE 中，AD=DE，连结 EC，取 EC 的中点 M，连结 DM和 BM（1）若点 D 在边 AC 上，点 E 在边 AB 上且与点 B 不重合，如图，探索 BM、DM 的关系并给予证明；（2）如果将图中的ADE 绕点 A 逆时针旋转小于 45的角，如图，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明图1GFBDACE图2GFBDACE图3GFBDACE图M D B A C E 图M D B A C E
