1、7.2.3 维纳过程,一、简述维纳过程是另一个重要的独立增量过程，有时称为布朗运动过程。它可以作为随机游戏的极限形式来研究，游动过程中的所有轨迹都是连续的。电阻中电子的热运动就具有维纳过程的性质，可用维纳过程来描述。实际中我们常把白噪声作为热噪声的理想化模型，而维纳过程可看做是白噪声通过积分器的输出。此外，维纳过程是一个非平稳的高斯过程。,二、维纳过程的定义 如独立增量过程X(t)，其增量的概率分布服从 高斯分布，即：则称X(t)为维纳过程。 对于所有的样本函数几乎处处连续的齐次独立增量（或齐次独立增量过程 ，几乎都有对所有的 在时间轴上连续），称为维纳过程。,过程的增量服从高斯分布的证明,令
2、 由于：由上述条件，当 时，即 时由中心极限定理可得 趋于高斯分布。 补充：中心极限定理证明了，大量独立的、均匀微小的随机 变量之和近似的服从高斯分布。,三、维纳过程的统计特性,数学期望和相关函数EX(t)=0 因为是独立增量过程，所以有X(t0)=0，则故有： 、当t1=t2=t时，有,、当t1t2,并将X(t1)写成：、同理，当t2t1可得：综合以上可得:维纳过程的自相关函数为：,2、维纳过程与高斯白噪声虽然维纳过程在ae意义下是连续的，但由上述自相关函数的表达式可知， 点间断，所以对于t1=t2，该过程的 是不存在的，因此维纳过程几乎处处不可微。这样在通常意义下，他的导数是不存在的。不过
3、，若在形式上，研究其导数及性质，则维纳过程X(t)的导数也是零均值的高斯过程。令N(t)=X(t)为X(t)形式上的导数，则N(t)的自相关函数为：,可见形式导数为高斯白噪声。于是维纳过程X(t)可以写成白噪声（具有零均值，均匀谱的平稳高斯过程）的积分，所以维纳过程可以看成是高斯白噪声通过积分器的输出。,3、维纳过程的概率分布由上述的讨论结果可以很容易的得到维纳过程的一维和多维概率密度为：,4、维纳过程的性质：,1、X(t0)=0,且，X(t)是实过程。 2、EX(t)=0 3、维纳过程是独立增量过程。 4、维纳过程满足齐次性。换言之，X(t2)-X(t1)的分布只于（t2-t1）有关与t2，
4、与t1无关。 5、X(t2)-X(t1)的方差与t2-t1成正比：6、维纳过程是非平稳高斯过程。,四、扩散方程,维纳过程是一种特殊的扩散过程。维纳过程X(t)满足下列关系式他们被称作扩散方程。式中f=f(x2;t2|x1;t1)=f(x2|x(t1)=x1)(t2t1)是随机变量X(t2)在X(t1)=x1条件下的条件概率密度。,证：因为X(t)具有零均值并为高斯分布，有又即在X(t2)=x1的条件下，X(t2)的条件方差等于(t2-t1)故有,对上式作求导运算，即可的扩散方程。实际上，扩散方程是柯尔莫戈洛夫方程（前进方程和后退方程）的特列。柯尔莫戈洛夫方程也称为福克尔-普朗克方程。这是因为这
5、组方程在特殊的场合用不十分严格的方法，首先为福克尔和普朗克所获得；而在一般的场合，并用严格的方法，则为柯尔莫戈洛夫所得到。设扩散过程X(t)的条件概率密度f=fx(x2;t2|x1;t1)(t2t1),则柯尔莫戈洛夫方程可表示成,式中，(x,t)为t时刻自x出发的质点的瞬时平均速度（或者说是过程X(t)变化的平均速度）。而b(x,t)则与质点瞬时平均动能成比例，换而言之，b(x,t)是在很小的t内，质点位移的平方平均偏差与t的比值。在实际问题中，如果想由实验所得数据资料来直接确定条件分布函数，是极为困难的。但是，可以根据其物理意义，通过比较容易找到的(x,t)及b(x,t)来解柯尔莫戈洛夫微分方程，从而得到条件分布函数。当随机过程X(t)为维纳过程，且(x,t)=0，b(x,t)=时，把这些条件带入柯尔莫戈洛夫方程，则可得到扩散方程，从而解出条件分布函数，也就是说，维纳过程是一种特殊的扩散过程。,
