1、0 引言单调性是函数和数列的一个重要性质,在求函数和数列的极限问题中有着重要的应用.因此,对单调性方法的研究和归纳就显得非常重要.本文主要从微分法、归纳法、使用重要不等式法、差比法、比商法五个角度研究数列和函数的单调性证法，进而利用单调有界函数（或数列）必存在极限原理来求极限，并且就几个具有特殊形式的极限问题在形式上进行了推广，得到新的命题及推论，并利用单调性证法对其进行加以证明。1利用微分法证明单调性求极限例 1 证明： 存在，并求极限值。limnfx证明：（1）证明 存在。 事实上，因为 在 上可导且单增，所linf fx0,以 ，即 有下界。设 在 上单调递增且为有界的连续函数，0fxx
2、fx0,又 在 内有二阶导数，且,“又因为 递减，综上知 存在，设为 L“0fxfxlimnfx（2）求 L。由 ，现证 L=0，若不然， ，fli0nfL 0fx由极限的保号性，存在 N，若 时，有 ，在 上应用微分中值定x12fx,N理，有 fxff（N 固定，当 ）12ffx当 在 单增有上界极限存在矛盾。所以只有 =0fx0, limnfx例 2 设 在 上连续可微，且f1,211lfxfxx求证 存在。limxf证明：单调性：由当 时， 所以 在 单增1x1lnx0fxfx1,有界性：由已知 （因为 1lf x）111 1lnlnlnxxex x 3211fxxxx由 的表达式可见
3、可积，且由积分单调性知f fx 3 211111xxfdfffxf 1,x所以 存在。limxf2 用归纳法证明单调性求极限例 3 设 （n 层根号， ）11, .nnacacc0c证明：用归纳法证单调递增，且以 为上界。1设 且1211,acaca1n1nac那么 ，11nnn121nnc c即 单调有上界 ，故 存在极限nacna1limlilim142nac例 4 若 ,031311 a,试证明数列 收敛于方程 的一个正根.32nnan313x命题 1 若 , , ,0 111 2121 ppp nnxxaxaxa 0则数列 为单调有界数列,必存在极限.n证明 分两种情况:（i）当 ,a
4、x1因为 , ,即 , ,p12pax1pax12pa1所以 ,即 ,故有 .0111axppp 112x假设当 时,均有 ,则当 时,有knkx1Nkn, 即 ,pkkxx11pkpk11所以, pppp kkkkpk xxxxx 1111 221由 .由数学归纳法可知,对任意自然数 均有ppkk112,k1k1 n.所以数列 是单调递增的数列.nx1nx下证数列 有界令 ,因为pxxfp1, ,011p021ppf由根的存在原理知 内必有一正根,而在 上无根,设 最大的正根.2在xf xfM是由 ,即 ,所以 .ax1 pap11得 01pafp又 ,所以 ,但是 ,0Mpp1 ,即 ;p
5、axpp111 Mx1 假设当 时均有 ,则当 时,有knNkxk1kn,pkpkxpp111即 .Mxk1由及数学归纳法可知,对一切自然数 均有 成立.所以数列 是单调递增且nMxnx有上界的数列.（ii） 当 时,同理可证数列 是单调递减且有下界的数列.ax1n由（i） （ii）可知数列 是单调有界数列,从而命题 1得证.n3 使用重要不等式 研究单调性求极限122 nna1例 5 设 （ ）122110,ba11,nnnabab,2.证明： 收敛于同一极限,n证：需要找到 的 关系以及 的关系，利用重要不等式nab与 11,nnab与 与有 故对任意 有2b11()n nnab nN，以
6、下证单调性, 首先， 单调递减，0na 211nnnnb为研究 单调性，需要知道函数 关于一个变量 x或 y的单调性，由于xy且注意 所以20xy1nab单调。111nnnnab有界性： 单减且 有上界， 由递推式n10nnbana中任一个求极限，如 令112nnnab和 1nnb所以2ablimlinna例 6 证明数列 收敛,其中 , , ,并求极限 .nx1xnnx3221nxlim通过观察、猜想、分析可将例 6推广为以下更一般的形式:命题 2 若 ,定义 , ,则数列 存Npxa,01 pnnxapx11 2nx在极限且为 .p1证明 由 可知01x,paxpxapappp 11112
7、 当且仅当 时取等号.px1设 ,则pak1 111 pkpkkk xaxx= 11pkpk个,paxk1当且仅当 时取等号.paxk1由数学归纳法知,对任意自然数 都有: .故数列 有界.又当 时,npaxn1nx1,1111 pnpnpnnxxpx因为 ,所以 .又因为 ,所以 ,即 .所以数列pan10pn001xnx1是单调递增的.x由数列的单调有界定理知: 存在,设为 ,对 两边同时nxlimt pnnxapx11取极限得: ,可解得 .所以说数列极限存在且为 .ptat1pat1p1注 由以上命题 2易得例 6中的数列 极限存在且为 .nx3推论 当 , , 时,数列 极限存在且为
8、 1.01xknnxk11 nx利用这个推论很容易便可知对于数列 : 的极n213n0,1xa限存在且为 1.4利用差比法研究单调性求极限例 证明数列 收敛并求极限1nna0n证明： 现 与 同号，11nnnaa1na1na-1na与 同号,与 同号，故当 时 单减，当 时12n1010n10单增，且 ， 单减时有下界 1，单增时有上界 2，根据单调有界原ann理， 存在极限，设为 A n 1limlinnaa2110A容易求得 5例 已知 , , .证明 存在并求其值.60a1nna,2nalim例 可以作如下推广:命题 3 若 , , ,则数列 极限存在且为0xpnnx1 21,0,Npn
9、x的正根.alp证明 ： 由 得 .又 , ,则 .由递推pnnx1 npxa10a01ppax关系知 .因函数 是递增函数,则由0xy 111 nnnpn x知 与 的符号相同.而 的符号又与 的符号相同,故依pn11nxnxpx次下去便知最终与 的符号相同.而 ,2 0112 pp aa即 ,所以 ,从而 ,于是便有 ,故数列 是单调递增px1201x01npxnxn数列.又 ,假设当 时都有 成立,则当 时,11paxkn1pkax1kn,由数学归纳法知,对一切自然树 都有 1 pppkk a,即数列 有界.由数列的单调有界定理知数列 必存在极限,设 ,对nxnx nxlxnlim两边同
10、时取极限的得 即 .所以数列 收敛于方程pna1 llp 0alp的正根.0l推论 若 , , ,则数列 的极限存在且收敛于x0nnxa121,nx方程 的一个正根,即 .2a4liman注： 利用该推论易知例 8中的数列 的极限存在且为 3.文1、13中的一些题也可由此推论直接得出.例 9 证明 存在.nkn2)l(1li证明 ： 设 ,可知 在 上非负单调递减,所以xfl)(f1,12122 lnllnknddx即 ,亦即 ,12l)l()l(nk )2ln()l(2kna所以数列 有界.又nan1 12)1l(k k2)l(= )l()ln()ln(= )1l(ndxn1l)l(nn)1
11、l(=0,即 ,所以数列 是单调递减的数列.由数列的单调有界定理知,数列 的极限存在,也na1na na就是 存在.nkn2)l(1lim5 利用比商法研究单调性求极限例 10 设 , , .证明:数列 的极限存在并求出此极限.301xnnx1 ,21nx例 10 可以作如下推广:命题 4 若 , , ,则数列 的极限存在且为 .p1nnp1 n2p证明 : 由 知 .由算术几何平均不等式x001x且,220112x假设 ,再次用算术几何平均不等式知pk,1kkkpxxx由数学归纳法知,对任意正整数 均有 ,因而数列 有界.又当 时,1n20nnx1,1 nnnn xpxp故 ,即数列 单调递
12、增.由数列的单调有界定理知 存在,设为 ,对1nxlima两边同时取极限得: ,可解得 或 （舍去）.故nnxpxap2p0.2lim注： 由命题 4立得例 10的极限存在且为 . 23结束语综上所述，基于单调性的一个应用出发，本文着重从微分法、归纳法、使用重要不等式法、差比法、比商法这五个角度对数列和函数的单调性证法通过具体的例子进行了详细的阐述和归纳。并且，通过本文可以看到利用单调性在求一些有特殊形式的极限时常常很有效，本文对几个特殊类型的数列在形式上进行推广，得到新的命题及推论，并对命题利用单调性的那几种证法进行了详细的论证和归纳，从而很多题目都可由此命题和推论得出其极限值。为了更好地利
13、用单调有界原理方法求极限，应对单调性的证法多总结和归纳，对单调性的应用多分析和研究，这对利用单调有界原理方法求极限将起到很大的帮助作用。.参 考 文 献1 张传义等. 工科数学分析(上册)M. 哈尔滨: 科学出版社, 2001, 26.2 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法M. 北京: 高等教育出版社, 1993.3 刘玉琏，傅沛仁数学分析讲义（上）M.北京：高等教育出版社，1992 4 叶慧芬. 递推式数列的极限及应用J. 台州学院学报, 2004, 26(6):8-9.5 华东师范大学数学系，数学分析（上）M.北京：高等教育出版社，20036 黄翔.数学方法论选论M.重庆:重庆大学出版社,1955.7 钱昌本.高等数学解题过程分析与研究M.北京:北京科技出版社,1983.8 钱吉林. 数学分析题解精粹M. 武汉: 崇文书局, 2003.9 薛嘉庆.高等数学题库精编（理工类）M.东北:东北大学出版社,2000.410 贺冬冬, 程伟健. 算术几何平均不等式在解极限问题中的应用J.大学数学, 2004, 20(3):125-126. 11 白玉兰等.数学分析题解（一）至（四）卷M .黑龙江：.黑龙江科技出版社,198512 张人智等.数学分析中的问题与例题M .江西：江西人民出版社,198413 沈燮昌, 邵品琮编著. 数学分析纵横谈M北京：北京大学出版社，1992，29-30
