1、1导数的基础知识一导数的定义： 00000()()()|lim)()lixxfxfxyfxfyf 1.()函 数 在 处 的 导 数 : 2函 数 的 导 数2.利用定义求导数的步骤：求函数的增量： ；求平均变化率： ；00()(yfxf00()(fxfxy取极限得导数： )limxy（下面内容必记）二、导数的运算：（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式： ； ； ；0()C为 常 数 1()nx1()nnnx1()(mmnnxx ； ；sin)cosxcsiel0,)aa且 ； 1(l(lg)(0,)laax且法则 1： ；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).)fxf法则 2：
2、(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号)fgx法则 3： 2() 0)gg(口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号)（2）复合函数 的导数求法：()yfx换元，令 ，则 分别求导再相乘 回代u(fu()ygxfu ()gx题型一、导数定义的理解题型二：导数运算1、已知 ，则 2sinfx0f2、若 ，则 siefx3. =ax3+3x2+2 ， ，则 a=（ ）)(f 4)1( 319.360. DCBA三导数的物理意义1.求瞬时速度：物体在时刻 时的瞬时速度 就是物体运动规律 在 时的导数 ，0t0VSft0t0ft即有 。00Vft2.Vs /(t)
3、表示即时速度。a=v /(t) 表示加速度。四导数的几何意义：函数 在 处导数的几何意义，曲线 在点 处切线的斜率是 。于是相应的切fx0 yfx0,Pfx0kfx线方程是： 。00yfx题型三用导数求曲线的切线注意两种情况：（1）曲线 在点 处切线：性质： 。相应的切线方程是：f0,Pf 0kfx切 线00yx（2）曲线 过点 处切线：先设切点，切点为 ,则斜率 k= ，切点 在曲线xy()Qab()fa(,)Qb上，切点 在切线 上，切点 坐标代入方程得关于 a,b 的方程组，解方f(,)Qab00fax程组来确定切点，最后求斜率 k= ，确定切线方程。()f2例题在曲线 y=x3+3x2
4、+6x-10 的切线中，求斜率最小的切线方程；解析：（1） 当 x0=-1 时，k 有最小值 3，3)1x(36x|yk 2000 此时 P 的坐标为（-1，-14）故所求切线的方程为 3x-y-11=0五函数的单调性：设函数 在某个区间内可导，yf（1） 该区间内为增函数； ()fx()f（2） 该区间内为减函数；x注意：当 在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时， 在这个区间上仍是递增（或递减） ()fx的。（3） 在该区间内单调递增 在该区间内恒成立；()fx()0fx（4） 在该区间内单调递减 在该区间内恒成立；题型一、利用导数证明（或判断）函数 f(x)在某一区间上单调性
5、：步骤： （1）求导数 )(y(2)判断导函数 在区间上的符号x(3)下结论 该区间内为增函数； ()0fx()f 该区间内为减函数；题型二、利用导数求单调区间求函数 单调区间的步骤为：)(fy（1）分析 的定义域； （2）求导数 x )(xfy（3）解不等式 ，解集在定义域内的部分为增区间0（4）解不等式 ，解集在定义域内的部分为减区间)(f题型三、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）思路一.（1） 在该区间内单调递增 在该区间内恒成立；x()0fx（2） 在该区间内单调递减 在该区间内恒成立；()f 思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上
6、的单调增或减区间的子集。注意：若函数 f（ x）在（a，c）上为减函数，在（c，b）上为增函数，则 x=c 两侧使函数 （ x）变号，即 x=c 为函f数的一个极值点，所以 ()0f例题若函数 ，若 则( )fln)( 5),4(),3(fcfbfA. a0,ex-a0,e xa,xlna.f(x)的单调递增区间为(lna,+).（2）f（x）在 R 内单调递增， )(f0 在 R 上恒成立.e x-a0，即 ae x在 R 上恒成立.a （e x） min，又e x0，a0.（3） 由题意知，x=0 为 f(x)的极小值点. )0(f=0,即 e0-a=0,a=1.例 2. 已知函数 f(x
7、)=x3+ax2+bx+c,曲线 y=f(x）在点 x=1 处的切线为 l:3x-y+1=0，若 x= 32时，y=f(x）有极值.（1）求 a,b,c 的值； （2）求 y=f(x）在-3，1上的最大值和最小值.解 （1）由 f(x)=x3+ax2+bx+c,得 )(xf=3x2+2ax+b,当 x=1 时，切线 l 的斜率为 3，可得 2a+b=0 当 x= 32时，y=f(x)有极值，则 f=0,可得 4a+3b+4=0 由解得 a=2,b=-4.由于切点的横坐标为 x=1,f(1)=4.1+a+b+c=4.c=5.（2）由（1）可得 f(x)=x3+2x2-4x+5, )(xf=3x2
8、+4x-4, 令 )(xf=0,得 x=-2,x= 32.当 x 变化时，y,y的取值及变化如下表：x -3 (-3,-2) -2 32, 1,321y + 0 - 0 +y 8单调递增13单调递减 2795单调递增44y=f（x）在-3，1上的最大值为 13，最小值为 .2795例 3.当 0，证明不等式 xx)1ln(.证明： xf)ln()， g，则 2)1()xf，当 0x时。 f在 ,0内是增函数， 0()xf，即 0ln，又 g1)(，当 x时， 0)(xg， g在 ,内是减函数， )(g，即 0)1ln(x，因此，当 x时，不等式 1ln成立.点评：由题意构造出两个函数 xxf)
9、()， x)1ln().利用导数求函数的单调区间或求最值，从而导出是解决本题的关键.七定积分求值1定积分的概念 设函数 在区间 上连续，则()fx,ab1()limnbia bafdxf2.用定义求定积分的一般方法是：分割： 等分区间 ；近似代替：取点 ；求和：n, 1,iiix；取极限：1()niibaf1()limbiafdf3.曲边图形面积： ；0,fxSx0,baSfxd在 轴上方的面积取正，下方的面积取负 变速运动路程 ； 变力做功 21()tvd ()baWFr4定积分的性质性质 1 （其中 k 是不为 0 的常数） babaxfkdxf)(性质 2 1212()()badfx性质
10、 3 （定积分对积分区间的可加性）()()bcbaacfffc其 中5.定理 函数 是 上 的一个原函数，即 则Fx,x()fxF()()|()bbaafxdF导数各种题型方法总结（一）关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：1、分离变量；2 变更主元；3 根分布；4 判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在（二）分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想” ，创建不等关系求出取值范围。（三）同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型：函数的单调区间、极值、最
11、值；不等式恒成立；1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令 得到两个根；0)(xf第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，52、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（ 0,=0,0）第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-（已知谁的范围就把谁作为主元） ；例 1：设函数 在区间 D 上的导数为 ， 在区间 D 上的导数为 ，若在区间 D 上， 恒()yfx()fxf ()gx()0gx成立，则称函数 在区间 D 上为“凸函数” ，已知实数 m 是常数，43216mf（1）若 在区间 上为“凸
12、函数” ，求 m 的取值范围；()f0,3（2）若对满足 的任何一个实数 ，函数 在区间 上都为“凸函数” ，求 的最大值.2m()fx,abba解:由函数 得 42()16xxf32()f23g（1） 在区间 上为“凸函数” ，()yf0,则 在区间0,3上恒成立 2x解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于 max()0g(0)329g解法二：分离变量法： 当 时, 恒成立,0x2()0x当 时, 恒成立33gm等价于 的最大值（ ）恒成立，2x而 （ ）是增函数，则()hx0xma()32h2m(2)当 时 在区间 上都为“凸函数” f,ab则等价于当 时 恒成立 2()30gx变更主元
13、法再等价于 在 恒成立（视为关于 m 的一次函数最值问题）2()Fm2(2)3010Fxxba例 2：设函数 ),10(3231)(2Rbaxaxf （）求函数 f（x ）的单调区间和极值；（）若对任意的 不等式 恒成立，求 a 的取值范围. ,)f（二次函数区间最值的例子）解：（） 22()43faxa01a-2 26令 得 的单调递增区间为（a,3a）,0)(xf)(xf令 得 的单调递减区间为（ ，a）和（3a，+ ）当 x=a 时， 极小值 = 当 x=3a 时， 极大值 =b. f;43b)(xf（）由| |a，得：对任意的 恒成立)(x ,2,1x2243a则等价于 这个二次函数
14、的对称轴 gmain()g()g2xa01,a（放缩法）12即定义域在对称轴的右边， 这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。()x上是增函数. 22431,gaxa、（9 分） maxin()().4于是，对任意 ，不等式恒成立，等价于2,1a(2)41.15ga、又 ,0.点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系第三种：构造函数求最值题型特征： 恒成立 恒成立；从而转化为第一、二种题型)(xgf0)()(xgfxh例 3；已知函数 图象上一点 处的切线斜率为 ，32a1,Pb326()(1)(0)tgxtt（）求 的值；,ab（）当 时，求 的值域；4fx
15、（）当 时，不等式 恒成立，求实数 t 的取值范围。,x()g解：（） ， 解得 /2()3fa/13fba32ab（）由（）知， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递减fx,00,4又 (1)4,(0),()4()6f f 的值域是x16（）令 2131,4thfxgxx思路 1：要使 恒成立，只需 ，即 分离变量()()0h2()6t思路 2：二次函数区间最值二、已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围3aa()fa 3a2xa1,27解法 1：转化为 在给定区间上恒成立， 回归基础题型0)()( xff或解法 2：利用子区间（即子集思想） ；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所
16、给区间是求的增或减区间的子集； 做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与 “函数的单调减区间是（a,b ） ”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集例 4：已知 ，函数 Raxaxxf )14(21)(3（）如果函数 是偶函数，求 的极大值和极小值；gf（）如果函数 是 上的单调函数，求 的取值范围)(f),解： . 14(41)(2 axxf（） 是偶函数， . 此时 ， ， xxf312)(341)(2xf令 ，解得： . 0)(xf 3x列表如下：(,2 ) 2 (2 ,2 ) 2 (2 ,+)f+ 0 0 +x递增 极大值 递减 极小值 递增可知： 的极大值为 ， 的极小值为
17、. (f 34)(f ()fx34)(f（）函数 是 上的单调函数，), ，在给定区间 R 上恒成立判别式法21104fxax则 解得： . 2()(4)a， 02a综上， 的取值范围是 . 例 5、已知函数 321()()(1)0.fxaxa（I）求 的单调区间；（II）若 在0，1上单调递增，求 a 的取值范围。子集思想()f（I） 21().xxx1、 20,()0,a当 时 恒 成 立当且仅当 时取“=”号， 单调递增。 f在2、 1212,f ax当 时 由 得 且单调增区间： ()()单调增区间： ,（II）当 则 是上述增区间的子集：)0,fx在 上 单 调 递 增 0,11、
18、时， 单调递增 符合题意a(,)在2、 ， 0,1,1aa综上，a 的取值范围是0，1。 三、根的个数问题提型一 函数 f(x)与 g(x)（或与 x 轴）的交点=即方程根的个数问题a-1-1()x8解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图” （即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减” ；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组） ；主要看极大值和极小值与 0 的关系；第三步：解不等式（组）即可；例 6、已知函数 ， ，且 在区间 上为增函数23)1()(xkxfkxg31)()(f),2(（1） 求实数 的取值范围；k（2） 若函数 与
19、的图象有三个不同的交点，求实数 的取值范围fg解：（1）由题意 在区间 上为增函数，xkx)1()(2 )(f),2( 在区间 上恒成立（分离变量法）0)(2f ,即 恒成立，又 ， ，故 的取值范围为 k1k1k（2）设 ，32)(3)(xxgfxh1()(2 k令 得 或 由（1）知 ，0k1当 时， ， 在 R 上递增，显然不合题意k0)(2x)(xh当 时， ， 随 的变化情况如下表：)h,kk)1,(k),1(0 0)x 极大值 3263 极小值 2由于 ，欲使 与 的图象有三个不同的交点，即方程 有三个不同的实根，故需021k)(fg 0)(xh，即 ，解得3630)21kk212
20、k31k综上，所求 的取值范围为k3根的个数知道，部分根可求或已知。例 7、已知函数 321()fxaxc（1）若 是 的极值点且 ()f的图像过原点，求 ()fx的极值；（2）若 2()gbd，在（1）的条件下，是否存在实数 b，使得函数 ()gx的图像与函数 ()fx的图像恒有含 x的三个不同交点？若存在，求出实数 b的取值范围；否则说明理由。高 1 考 1 资 1 源 2 网解：（1） fx的图像过原点，则 ，(0)fc()3fa又 是 ()的极值点，则 312aa(0xx()ff、 2()37fxf、（2）设函数 g的图像与函数 的图像恒存在含 1x的三个不同交点，等价于 有含 的三个
21、根，即：()fx1x()(1)2fgdb整理得：3221()b3-1 fx9即： 恒有含 的三个不等实根3211()()0xbxb1x（计算难点来了：） 有含 的根，32()()0hxb1x则 必可分解为 ，故用添项配凑法因式分解，()h()、32x21()()0b1()bx221()()0xb十字相乘法分解： ()1x21()()2恒有含 的三个不等实根3211()()0xbxbx等价于 有两个不等于-1 的不等实根。222(1)4(1)0b(,1)(,3,)b题型二：切线的条数问题=以切点 为未知数的方程的根的个数0x例 7、已知函数 在点 处取得极小值4，使其导数 的 的取值范围为 ，求
22、：32()fxacx ()0fx(1,3)（1） 的解析式；（2）若过点 可作曲线 的三条切线，求实数 的取值范围()f (1,)Pm()yfm（1）由题意得： 3,fbaa在 上 ；在 上 ；在 上,()0,)0f因此 在 处取得极小值()fx014 ， ， 4abc2fc()2760fbc由联立得： ， 69a32()69fxx（2）设切点 Q ，(,)tf,)yftt232(19)(69)ytxtt过22(3131)(txt2(1,m26mtt令 ，)90gt m26()0gtt求得： ，方程 有三个根。,()需： (102)312641m故： ；因此所求实数 的范围为：(,6)题型三：
23、已知 在给定区间上的极值点个数则有导函数=0 的根的个数()fx解法：根分布或判别式法例 8、10解：函数的定义域为 （）当 m4 时，f (x) x3 x210x ，R13 72x 27x10，令 ， 解得 或 .()f ()0fx5,令 ， 解得05可知函数 f(x)的单调递增区间为 和（5，） ，单调递减区间为 ,22,5（） x 2( m3)xm 6, 要使函数 yf (x)在（1，）有两个极值点, x2(m3) xm6=0 的根在（1，）)f根分布问题：则 ， 解得 m32(3)4(6)0;1.fm例 9、已知函数 ， （1）求 的单调区间；231)(xaxf)0,(aR)(xf（2
24、）令 x4f（x） （xR ）有且仅有 3 个极值点，求 a 的取值范围()g1解：（1） )1(2 af当 时，令 解得 ，令 解得 ，0a0)xf 0x、0)(xf 01xa所以 的递增区间为 ，递减区间为 .)(xf ),(,(a,当 时，同理可得 的递增区间为 ，递减区间为 .0a)xf )10(a、 ),1()0,(a（2） 有且仅有 3 个极值点4321)(gx=0 有 3 个根，则 或 ，23(1)a x2x2方程 有两个非零实根，所以20a240,a或而当 或 时可证函数 有且仅有 3 个极值点()ygx111其它例题：（一）最值问题与主元变更法的例子.已知定义在 上的函数 在
25、区间 上的最大值是 5，最小值是11.R32()fxaxb）（ 0a2,1（）求函数 的解析式；（）若 时， 恒成立，求实数 的取值范围.1,t tf） x解：（） 32 2(),()4(34)f f令 =0,得 x140,1x因为 ，所以可得下表：a2,0 0,1()fx+ 0 - 极大 因此 必为最大值, 因此 ， ，)0(f 50）（fb(2)165,(),(1)2faff即 ， ， 162aa.23x）（） ， 等价于 ， xxf43)(2 0(txf） 04t令 ，则问题就是 在 上恒成立时，求实数 的取值范围，tg)g,t x为此只需 ，即 ， 0)1（ 52解得 ，所以所求实数
26、的取值范围是0，1.0xx（二）根分布与线性规划例子例：已知函数 32()fabc() 若函数 在 时有极值且在函数图象上的点 处的切线与直线 平行, 求 的解析x1(0,1)30xy)(xf式；12() 当 在 取得极大值且在 取得极小值时, 设点 所在平面区域为 S, ()fx(0,1)(12)x(2,1)Mba经过原点的直线 L 将 S 分为面积比为 1:3 的两部分, 求直线 L 的方程.解： (). 由 , 函数 在 时有极值 ,2()faxb()f 0b ()1f1c又 在 处的切线与直线 平行,x,)30xy 故 (0)3fb2a . 7 分21fxx() 解法一: 由 及 在
27、取得极大值且在 取得极小值,()ab ()fx(0,1)(12)x 即 令 , 则 0(1)2ff0248()Mxybya 故点 所在平面区域 S 为如图ABC, aybx06xy易得 , , , , , (20)A(1)B(2,)C(0,1)D3(0,)2E2ABCS同时 DE 为ABC 的中位线, 3DEABES四 边 形 所求一条直线 L 的方程为: 0x另一种情况设不垂直于 x 轴的直线 L 也将 S 分为面积比为 1:3 的两部分, 设直线 L 方程为 ,它与 AC,BC 分ykx别交于 F、G, 则 , k1S四 边 形 DEGF由 得点 F 的横坐标为: 20yx 21Fxk由
28、得点 G 的横坐标为: 46ky 64G 即 OEFDSS四 边 形 DEGF131221kk2650k解得: 或 (舍去) 故这时直线方程为: 12k58kyx综上,所求直线方程为: 或 .12 分0x12yx() 解法二: 由 及 在 取得极大值且在 取得极小值,2()fab()f(0,1)(12)x13 即 令 , 则 (0)12ff0248ba()Mxy21xbya 故点 所在平面区域 S 为如图ABC, aybx06xy易得 , , , , , (20)A(1)B(2,)C(0,1)D3(0,)2E2ABCS同时 DE 为ABC 的中位线, 所求一条直线 L 的方程为: 3DEABE
29、S四 边 形 0x另一种情况由于直线 BO 方程为: , 设直线 BO 与 AC 交于 H , 12yx由 得直线 L 与 AC 交点为: 120yx 1(,)2 , , ABCS12DECS 122HABOHSS 所求直线方程为: 或 0xyx（三）根的个数问题例 已知函数 的图象如图所示。32f()ab(c3ab)d (a0)（）求 的值；、（）若函数 的图象在点 处的切线方程为 ，求函数 f ( x )的fx(2,f)3xy10解析式；（）若 方程 有三个不同的根，求实数 a 的取值范围。05,)8解：由题知： 2f()3ab+c-3a（）由图可知 函数 f ( x )的图像过点( 0
30、, 3 ) ，且 = 01f得 dd（）依题意 = 3 且 f ( 2 ) = 5f解得 a = 1 , b = 6 12432865ab所以 f ( x ) = x3 6x2 + 9x + 3（）依题意 f ( x ) = ax3 + bx2 ( 3a + 2b )x + 3 ( a 0 )= 3ax2 + 2bx 3a 2b 由 = 0 b = 9a f若方程 f ( x ) = 8a 有三个不同的根，当且仅当 满足 f ( 5 )8af ( 1 ) 由 得 25a + 38a7a + 3 a3 1所以 当 a3 时，方程 f ( x ) = 8a 有三个不同的根。 12 分1（四）根的个
31、数问题14例：已知函数 321()1()fxaxR（1）若函数 在 处取得极值，且 ，求 的值及 的单调区间；, 12xa()fx（2）若 ，讨论曲线 与 的交点个数a()f25()(16ga解：（1） 2()1fxax21,221 12442 分0a2()fxx令 得,或令 得1 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 5 分()f (,1)(,)(1,)（2）由题 得()fxg322156xaxax即 32106a令 6 分1()()(21)xxx2a令 得 或 7 分01a当 即 时2此时， ， ，有一个交点；9 分9802a当 即 时，21x(2,)a2(2,1)a () 0x982a2(3)6aa,21(3)06当 即 时,有一个交点；98a9a当 即 时，有两个交点；2， 且 016x(2,1)() a15当 时， ，有一个交点13 分102a980a综上可知，当 或 时，有一个交点；96当 时，有两个交点14 分1（五）简单切线问题已知函数 图象上斜率为 3 的两条切线间的距离为 ，函数 23)(axf 510223()bxgxfa（） 若函数 在 处有极值，求 的解析式；g1)(xg（） 若函数 在区间 上为增函数，且 在区间 上都成立，求实数 的取值范)(,)(42mb1,m围
