1、1第 一 部 分 数 列 的 基 础 知 识等 差 数 列一 定 义 式 ： 1nad二 通 项 公 式 ： ()m一 个 数 列 是 等 差 数 列 的 等 价 条 件 ： (a， b 为 常 数 )， 即 是 关 于 n 的 一 次 函 数 ，nna因 为 ， 所 以 关 于 n 的 图 像 是 一 次 函 数 图 像 的 分 点 表 示 形 式 。nZa三 前 n 项 和 公 式 ： 1()2S中 间 项 1()2d一 个 数 列 是 等 差 数 列 的 另 一 个 充 要 条 件 ： (a， b 为 常 数 ， a 0)， 即 是 关nSnnS于 n 的 二 次 函 数 ， 因 为 ，
2、 所 以 关 于 n 的 图 像 是 二 次 函 数 图 像 的 分 点 表 示 形 式 。nZ四 性 质 结 论1.3 或 4 个 数 成 等 差 数 列 求 数 值 时 应 按 对 称 性 原 则 设 置 ，如 ： 3 个 数 a-d,a,a+d； 4 个 数 a-3d,a-d,a+d,a+3d2. 与 的 等 差 中 项 ；b2bA在 等 差 数 列 中 ， 若 ， 则nmpq； 若 ， 则 ；mpq2mnp3.若 等 差 数 列 的 项 数 为 2 ， 则N，奇偶 dS；1naS偶奇若 等 差 数 列 的 项 数 为 ， 则 ， 且 ，n2nnaS121 naS偶奇S偶奇4.凡 按 一
3、 定 规 律 和 次 序 选 出 的 一 组 一 组 的 和 仍然 成 等 差 数 列 。 设 ，12,nA，122nnBaa， 则 有 ；23C CAB5. , ,则 前 (m+n 为 偶 数 )或 (m+n 为 奇 数 )最 大10mnS212S等 比 数 列2一 定 义 ： 成 等 比 数 列 。1(2,0,)nnnaqaqa二 通 项 公 式 ： ，1n m数 列 an是 等 比 数 列 的 一 个 等 价 条 件 是 ：当 且 时 ， 关 于 n 的 图 像 是 指 数 函 数 图 像 的(),0,Sbb， ） 0qa分 点 表 示 形 式 。三 前 n 项 和 ： ； (注 意 对
4、 公 比 的 讨 论 )11()()1nn naq四 性 质 结 论 ：1. 与 的 等 比 中 项 ( 同 号 )；abG2bb,a2.在 等 比 数 列 中 ， 若 ， 则 ；nmpmnpq若 ， 则 ；n23.设 ， ，12,nAa 122nBa， 则 有3nCa AC求 通 项 公 式 的 基 本 方 法na一 构 造 等 差 数 列 ： 递 推 式 不 能 构 造 等 比 时 ， 构 造 等 差 数 列 。第 一 类 ： 凡 是 出 现 分 式 递 推 式 都 可 以 构 造 等 差 数 列 来 求 通 项 公 式 ，例 如 ： ，121nna两 边 取 倒 数 是 公 差 为 2
5、的 等 差 数 列12nna， 从 而 求 出 。)(1an第 二 类 ：221()n是 公 差 为 1 的 等 差 数 列1na12nna二 。 递 推 ： 即 按 照 后 项 和 前 项 的 对 应 规 律 ， 再 往 前 项 推 写 对 应 式 。例 如 121nnnnaa!【 注 : 】!()3求 通 项 公 式 的 题 ， 不 能 够 利 用 构 造 等 比 或 者 构 造 等 差求 的 时 候 ， 一 般 通 过 递 推 来 求 。na nana求 前 n 项 和 S一 裂 项 相 消 法 ：、11234()()()()111nnn （ ） 1,23,4n978139278 前前+
6、前二 错 位 相 减 法 ： 凡 等 差 数 列 和 等 比 数 列 对 应 项 的 乘 积 构 成 的 数 列 求 和 时 用 此 方 法 ，求 ： 23n-2n-1nnS=x5(5)x(3)x(-1) ()23n-2n-1nn()()() ()41+12减 得 ： 23n- nn2-1n+1(1x)S=xx从 而 求 出 。n错 位 相 减 法 的 步 骤 ：(1)将 要 求 和 的 杂 数 列 前 后 各 写 出 三 项 ， 列 出 式(2)将 式 左 右 两 边 都 乘 以 公 比 q， 得 到 式(3)用 ， 错 位 相 减(4)化 简 计 算三 倒 序 相 加 法 ： 前 两 种
7、方 法 不 行 时 考 虑 倒 序 相 加 法例 ： 等 差 数 列 求 和 ：n123n21nn23S=aaa 两 式 相 加 可 得 ：n1n1n23n2211nnaaaaS 4第 二 部 分 数 列 通 项 公 式 的 求 和 方 法一、公式法例 1 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。na123nna12na解： 两边除以 ，得 ，则 ，故数列123n13na132n是以 为首项，以 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得a23，所以数列 的通项公式为 。()22nna()nna二、累加法例 2 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n112n， n解：由 得 则12na1n
8、a123212()()()()2()()1naann 所以数列 的通项公式为 。na2na例 3 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n113nna， na解：由 得 则123na12nna512321211()()()()333()(33nnnnnaaaa 所以 1.na例 4 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n11323nnaa， na解： 两边除以 ，得 ，132na1n112nn则 ，故11nn2232111221()()()()3332() 1)333nnnnnnaaaa因此 ，()2()2nn na则 13.nnn三、累乘法例 5 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na
9、112()53nna， na解：因为 ，所以 ，则 ，故112()53nn， 0n12()5n6132122211(1)1(1)2(55()5()333!nnnnnaa 所以数列 的通项公式为na(1)235!.nna例 6 （2004 年全国 I 第 15 题，原题是填空题）已知数列 满足na，求 的通项公式。11231()(2)n naaa，解：因为 1231n n所以 1231()n naaa 用式式得 1.nn则 1()2)nna故 1()n所以 13222 !(1)43.naanna 由 ， ，则 ，又1231()()n n 212a取 得 1知 ，则 ，代入得 。a !345na所
10、以， 的通项公式为n!.2n四、待定系数法例 7 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na11356nna， na解：设 1152()nnxx7将 代入式，得 ，等式两边消去1235nna123525n nnaxax，得 ，两边除以 ，得 代入式得1nx ,1,则1()nn由 及式得 ，则 ，则数列 是以1560a50na152na5na为首项，以 2 为公比的等比数列，则 ，故 。1 1n1n例 8 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na113524nnaa， na解：设 112()nnnxyxy将 代入式，得1354nna123(2)nnn nxyaxy整理得 。(5)4n令 ，则
11、，代入式得234xy52xy115()nnnaa由 及式，1230得 ，则 ，5na11523nna故数列 是以 为首项，以 3 为公比的等比数列，2n1因此 ，则 。153nna1352nnna例 9 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n21 14n a， na8解：设 2 21()(1)()n naxynzaxyz将 代入式，得21345n，则22 2(1)()()n naxnyzaxyz2 2(3)45n nx等式两边消去 ，得 ，na2 2(3)(4)(5)yxyzxnyz解方程组 ，则 ，代入式，得2452xyz3108xz2 213()0(1)(3)n nana 由 及式，得2
12、18023108na则 ，故数列 为以213()0(1)2nan 2n为首项，以 2 为公比的等比数列，因此2183，则 。1302nna43108na五、对数变换法例 10 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。na51nn17na解：因为 ，所以 。在 式两边取511237nn， 10nna， 5123nna常用对数得 lgllg2a设 1l()5(l)n nxyaxy11将式代入 式，得 ，两边消去11 lgl3g2()5(lg)n nnyaxy并整理，得 ，则5lgna()xyx9，故lg352xylg34216xy代入 式，得 11 1lg3lglg3lg2l()5()44416
13、4n naa 12由 及 式，1g3l2ll2l 71046612得 ，lgl 04na则 ，1l3l2lg()165g44na所以数列 是以 为首项，以 5 为公比的等l3l216n lg3l27416比数列，则 ，因此1ggl (l)44na 1111 16 6444411 6614444553l23lg2lg(l7)5glglll(32)l(32)7lg(nnnn nn1641)32nnn则 。11545647nna六、迭代法例 11 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na3(1)2115nna， na解：因为 ，所以3(1)2nn121323(1)3nnnn 102(2)(1)32
14、(2)(1)3 (3)(2)(1)1 12(3)(2)(1)(1)123(1)()()(2)(1)3()()3!nnn nnnnnn nnnnnnnnaa 又 ，所以数列 的通项公式为 。15ana(1)23!5nna评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式两边取常用对数得 ，即 ，再3(1)2nn 1lg()2lgnna1l3()2nn由累乘法可推知，(1)123!13211221lgllgll lgl5nnnnnaaa从而 。1(1)3!25nnna七、数学归纳法例 12 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na1 1228()8139nnaa， na解：由
15、及 ，得1228()13nan189a11212234228(1)82439538()()981480391aa由此可猜测 ，往下用数学归纳法证明这个结论。2()1n（1）当 时， ，所以等式成立。21()89a（2）假设当 时等式成立，即 ，则当 时，nk2(1)ka1nk1228(1)3kak222222222()()1138()()(1)(1)3()()1kkkk由此可知，当 时等式也成立。nk根据（1） ， （2）可知，等式对任何 都成立。*nN八、换元法例 13 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na1 1(42)6nnnaa， na12解：令 ，则124nnba21()4nb故
16、 ，代入 得11()nna1124)6nnna2214()46nnnbb即 221(3)n因为 ，故40nnba11240nnba则 ，即 ，123n13nn可化为 ，1()2nnb所以 是以 为首项，以 为公比的等比数3n11432413a21列，因此 ，则 ，即 ，得2()nnb()nb4()3na。2()343nna九、不动点法（三种情况）例 14 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na1124nna， na解：令 ，得 ，则 是函数214x20x123x，的两个不动点。因为()f。所以数列124124(1)3261339733nn nnnnnaaa是以 为首项，以 为公比的等比数列
17、，故 ，2na12491 12()9nna13则 。132()9nna例 15 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na11723na， na解：令 ，得 ，则 是函数 的不动点。723x240xx31()47xf因为 ，所以1513nnna。2()34nna14第 三 部 分 数 列 练 习 题成绩：一、填空题1 各项都是正数的等比数列a n，公比 q 1,a5,a7,a8成等差数列，则公比 q= 2 已知等差数列a n，公差 d 0,a1,a5,a17成等比数列，则 = 1862751a3 已知数列a n满足 Sn=1+ ,则 an= 44已知二次函数 f(x)=n(n+1)x2-(2n
18、+1)x+1,当 n=1,2,，12 时，这些函数的图像在 x 轴上截得的线段长度之和为 5.已知数列a n的通项公式为 an=log(n+1)(n+2),则它的前 n 项之积为 6.数列(-1) n-1n2的前 n 项之和为 7一种堆垛方式，最高一层 2 个物品，第二层 6 个物品，第三层 12 个物品，第四层 20 个物品，第五层 30 个物品，当堆到第 n 层时的物品的个数为 8已知数列 1，1，2，它的各项由一个等比数列与一个首项为 0 的等差数列的对应项相加而得到，则该数列前 10 项之和为 9在 2 和 30 之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两
19、个数的等比中项为 10已知整数对的序列如下：（1，1） ， （1，2） ， （2，1） ， （1，3） ， （2，2） ， （3，1） ，（1，4） ， （2，3） ， （3，2） ， （4，1） ， （1，5） ， （2，4） ，则第 60 个数对为 11设等差数列a n的前 n 项和是 Sn，若 a5=20a 16，则 S20=_12若a n是等比数列，a 4 a7= 512 ，a 3+ a8=124，且公比 q 为整数，则 a10 等于_13在数列a n中，a 1=1，当 n2 时，a 1 a2 an=n2 恒成立，则 a3+ a5=_14设a n是首项为 1 的正项数列，且（ n1 ）
20、 1na na n+1 an=0（n =1，2，3，） ，则它的通项公式是 an=_二.解答题1.已知数列a n的通项公式为 an=3n+2n+(2n-1),求前 n 项和。2已知数列a n是公差 d 不为零的等差数列，数列a bn是公比为 q 的等比数列， b1=1,b2=10,b3=46,，求公比 q 及 bn。3已知等差数列a n的公差与等比数列b n的公比相等，且都等于 d(d0,d 1),a1=b1 ，a 3=3b3,a5=5b5,求 an,bn。4 有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为 216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。5.已知等差数列a n中，a 1a 4a
21、 7 =15，a 2 a4 a6=45，求a n的通项公式6.在等差数列a n中，a 1=13，前 n 项和为 Sn，且 S3= S11，求 Sn 的最大值15参考答案一、填空题1. 252. 963. ,相减得a n= 故a n=-n)1(4114nnS14134. 2 )()(212121 xxx5. log2(n+2) 6. (-1)n-1 )(n7. n2+n 8. 978 9. 6310.(5,7)规律：（1）两个数之和为n的整数对共有n-1个。 （2）在两个数之和为n的n-1个整数对中，排列顺序为，第1个数由1起越来越大，第2个数由n-1起来越来越小。设两个数之和为2的数对方第1组
22、，数对个数为1；两个数之和为3的数对为第二组，数对个数2; ,两个数之和为n+1的数对为第n组，数对个数为 n。 1+2+10=55，1+2+11=66 第60个数对在第11组之中的第5个数，从而两数之和为12，应为（5，7）11 200a 1 a 20= a 5a 16=20，S 20=2001a=1020=20012 512 a 3 a 8=124，又a 3 a 8= a 4a 7=512，故a 3， a 8是方程x 2124x512=0的两个根于是，a 3=4 ，a 8=128，或a 3=128，a 8=4由于q为整数，故只有a 3=4，a 8=128因此4 q5=128，q=2 所以a
23、 10= a 8q2=1284=5121613 16 a 1 a 2a n=n2，a 1 a 2a n 1 =（n1） 2两式相除，得（n2 ） 所以，a 3 a 5= 164214 n1所给条件式即（a n1 a n）（n1）a n1 n a n=0，由于a n1 a n0 ，所以（n1）a n1 = na n，又a 1=1，故na n=（n1）a n1 =（n2）a n2 =2a 2= a 1=1，a n= 二、解答题1 Sn=a1+a2+an=(31+21+1)+(32+22+3)+ +3n+2n+(2n-1)=(31+32+3n)+(21+22+2n)+1+3+(2n-1)=732)(
24、)(3)( nnn2.a =a1,a =a10=a1+9d,a =a46=a1+45d b23b由a bn为等比数例，得（a 1+9d） 2=a1(a1+45d)得a 1=3d,即a b1=3d,ab2=12d,ab3=48d.q=4 又由a bn是a n中的第b na项，及a bn=ab14n-1=3d4n-1,a1+(bn-1)d=3d4n-1 b n=34n-1-23. a 3=3b3 , a1+2d=3a1d2 , a1(1-3d2)=-2d a5=5b5, a1+4d=5a1d4 , a 1(1-5d4)=-4d /,得 =2， d 2=1或d 2= ,由题意，d= ,a1=-243
25、5。a n=a1+(n-1)d= (n-6) bn=a1dn-1=- ( )n-15554.设这四个数为aqa2,则 由，得a 3=216,a=6 36)(1aqa代入，得3aq=36,q=2 这四个数为3，6，12，185、a 1a 7=2a4，3 a4= a1a 4a 7=15，a 4=5 3分a 2 a4 a6=45，a 2 a6=9 4分设a n的公差为d，17则（a 42 d） （a 42d）9，即（52 d） （52d）=9，d= 2 7分因此，当d = 2时 ，a n= a4（n4）d=2 n3， 9分当d= 2 时，a n= a4（n4 ）d=2 n13，6、 S3= S11，3 a110 3分又a 1=13，81352d=0解得d= 2 5分a n= a1（n1）7、 d = 2 n15 7分由 .0,1n即 015)(，解得 213n5.由于 N，故n=7 10分当n=7时，S n最大，最大值是 492671326717 da 13分
