1、第一讲 奇思妙想知识要点：这类数学问题，带有智力测验的性质，还有点“脑筋急转弯”的意味，一般不需要较复杂的计算，而需要通过机智的思考来获得答案。这类问题，我们通常称之为“智巧问题” ，有时也称之为“趣味问题” 。要正确解答智巧问题，首先要读懂题意，全面考虑各种情况。其次要充分运用学过的数学知识，运用自己的灵气以及非常规的思考方法巧妙地解答。另外还要说明的是，解答问题时要慎重以免落入“圈套” 。奇偶性；倒推(这是最常用、最重要的一种办法，我们要求的是一种必胜情况而不是所有必胜或一种可能获胜的情况，把握好这个度很重要。)从特殊到一般；列举法（在可能性较少，运算量不大的题目中经常用到） 。精选例题：
2、例 1：有一个叫“抢 30”的游戏，甲，乙两人轮流从开始，依次报数，每人每次只能报 1个数或 2 个数，谁先报到 30 获胜。问怎样才能取胜？（如果谁先报 30 就输，又该怎样设计呢？） 思路点拨：例 2：有 200 枚棋子放在盒子里面，甲乙两人轮流各取两枚或四枚，取到最后一枚者为胜，请问如果甲先取，必胜的对策是什么呢？思路点拨：例 3：租车：秋天的景色真美，五年级 183 名师生准备去郊游。李老师从旅行社带回一张租车价格表：大客车，限坐 45 人，每辆每天 1000 元中巴车，限坐 24 人，每辆每天 600 元请你设计一个最优秀的租车方案。思路点拨：例 4：甲、乙两人参加同一场考试，又同时
3、在上午 10 点离开考场，同时去吃午饭。但甲说：“我是在午饭前 2 小时与考试开始后 1.5 小时这两个时间中较早的一个时间离开考场的。”乙说：“我是在午饭前 2.5 小时与考试后 1 小时这两个时间中较晚的一个时间离开考场的”。求考试开始和午饭开始的时间。思路点拨：例 5: 三张扑克牌：（1）从一副扑克牌中拿出三张梅花，我们用 A、B、C 表示，把这三张牌牌面朝下放在桌上，请根据下面三个条件，确定它们是哪三张牌？A 和 B 的点数之和是 13；B 和 C 的点数之和是 17；没有一张牌的点数是 4，也没有一张牌的点数大于9。（2）从一副扑克牌中拿出三张扑克牌牌面朝下，放成一排，已知其中：有一
4、张 10 在 5 的右边；有一张 10 在 10 的左边；有一张黑桃在一张红心的左边；有一张黑桃在另一张黑桃的右边。你知道是哪三张牌？它们怎样排列的？思路点拨：例 6:五个小朋友围坐在一个大圆桌边，按顺时针方向依次编为 1，2，3，4，5 号。老师给 1，2，3，4，5 号小朋友分别发 1，2，3，4，5 个苹果。从 5 号小朋友开始，依次按顺时针方向看，若邻坐的苹果比自己少，则送给对方一个；若邻坐的苹果不比自己少就不送。照此做下去，到第三圈为止，他们每人手中各有多少个苹果？思路点拨：例 7: 孙悟空找来 8 颗珍珠，大小都一样。他送给猪八戒说：“八戒，这 8 颗珍珠中有一颗是假的，是我变出来
5、的，假的比真的轻，7 颗真珍珠重量都是一样的，你能不能用天平称两次就找出哪个是假的呢？”你能够帮八戒找出吗？思路点拨：例 8：在天平左边放砝码右边放物体称重量，最少应准备几个砝码，就能够称出 1 克到 60克之间不论多少克的重量？这几个砝码分别是多少克？思路点拨：1,1,2,5,10,20,20应用与拓展1.有 43 枚硬币甲，乙两人轮流取，每人每次取 13 个，规定最后一个取完的人为胜，那么甲先取有必胜的把握吗？（试着考虑如果取最后一个为输，那么甲该如何取？）2.桌面上放着 54 张扑克牌，两人轮流从中取 1 张，2 张，或 3 张，取到最后一张者为输，怎样取才能保证获胜？3.有分别装了 6
6、3，108 个球的两个箱子，两人轮流在任意的箱子中取任意的球数，规定是一次只能在一个箱子中取球，不能一个不取，取到最后球的人为胜者，先取者是必胜的，你能给出方案吗？4.有 20 间房子，有的开着灯，有的关着灯。在这些房子里的人都希望与大多数房子保持一致。现在，从第 1 间房子里的人开始，如果其余 19 间房子的灯开着的多，就把灯打开，否则就把灯关上。假设最开始时开灯与关灯的房子各 10 间，并且第 1 间房子的灯开着。那么，这 20 间房子里的人轮完一遍后，开着灯的房子有几间？5.小光被家乐福超市聘用。待遇是:年薪 9600 元和一台电脑。可是，小光中途因家人生病，只干了 9 个月，便终止了工
7、作。离开时，家乐福按规定付给小光 9 个月的工资和一台电脑。因电脑不能拆开，他只得到 3000 元和一台电脑。那么，这台电脑是多少钱呢？6在天平右边放砝码左边放物体称重量，最少应准备几个砝码，就能够称出 1 克到 125 克之间不论多少克的重量？这几个砝码分别是多少克？7如果在 81 个零件中混杂了一个重量稍轻的次品，用天平（不用砝码）最少称多少次就能够把次品找出来？8有一把 13 厘米的绳子，你在上面来做记号，使得这根绳子能够一次量出 113 厘米的所有整厘米的长度，问至少要做几个记号？分别记在哪个位置上？1,3,7,11,129小明参加 QQ 游戏中的钓鱼比赛，每关有鱼 50 条，评分方法
8、是：钓上一条 3 两银子（注：钓鱼有一定时间限制，过了时间就变成石头） ，没钓上劳动报酬 1 两银子，如果钓上石头来倒扣 1 两银子，小明最后得到的银子会是奇数还是偶数？偶数10 “嗨！约翰尼斯， ”星期天乔在街上遇到一个年轻人向他喊道， “好久不见，我听说你开始工作啦！”“几个星期了， ”约翰尼斯回答道， “这是一份计件工作，我干得挺好的。第一星期我得了四十多美元，而且后来每个星期都比前一个星期多赚 99 美分。 ”“这真是巧事！”乔笑了笑并继续说， “愿你一如继往都能这样！”“我估计用不了多久我一个星期便能赚到 60 美元， ”年轻人告诉乔， “自从开始工作到现在，我已经赚了整整 407
9、美元。这的确不坏！”试问，约翰尼斯第一个星期赚了多少？第二讲 数的整除知识要点：1数的整除特征：(1)能被 4 或 25 整除的数的特征：这个数的末两位上的数字所组成的数能被 4 或 25 整除。(2)能被 8 或 125 整除的数的特征：这个数的末三位上的数字所组成的数能被 8 或 125整除。(3)能被 3 或 9 整除的数的特征：这个数的各个数位上的数字之和能被 3 或 9 整除。 (4)能被 11 整除的数的特征：这个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被 11 整除。(5)能被 7、11、13 整除的数的特征：这个数的末三位上的数字组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差
10、能被 7、11、13 整除。2数的整除性质：(1)如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。例如：72 能被 36 整除，36 能被 9 整除，那么 72 一定能被 9 整除。(2)如果两个数都能被同一个自然数整除，那么这两个数的和与差一定能被这个自然数整除。例如：84 与 63 都能被 7 整除，那么 84+63 及 8463 都能被 7 整除。(3)如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数能被这两个互质的自然数的乘积整除。例如：144 能被 4 整除，又能被 9 整除，而且 4 与 9 互质，那么 144 能被49=36 整除。精选例题：例 1：在下面的数
11、中，哪些能被 4 整除?哪些能被 8 整除?哪些能被 25 整除?哪些能被 125 整除?100，234，728，7756，6648，2781，1750，8125。思路点拨：例 2：学校为竖笛小组购买了 75 根竖笛，发票上的总价有两个数字模糊不清，只看到 37元，你知道每根竖笛至少是多少元吗?思路点拨：例 3：一个六位数 165能同时被 4 和 9 整除，这个六位数最大是多少?最小是多少?思路点拨：例 4：abcabc 这个六位数能否被 7 整除?能否被 11 整除?能否被 13 整除?如果能，请说明理由。思路点拨：例 5: 173是四位数，数学老师说：“我在这个中先后填入 3 个数字，所得
12、到的 3 个四位数，依次可被 9、11、6 整除”问：数学老师先后填入的 3 个数字的和是多少？思路点拨：例 6: 将自然数 1，2，3，依次写下去组成一个数：12345678910111213如果写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被 72 整除，那么这个自然数是多少?思路点拨：例 7: 自然数中 1100 内共有多少个不能被 3 或 11 整除的数？思路点拨：例 8：用 1，2，3，4，5，6，7，8，9（每个数字用一次）组成三个能被 9 整除的、和尽可能大的三位数，这三个三位数分别是多少？思路点拨：例 9：小明的两个衣服口袋中各有 13 张卡片，每张卡片上分别写着 1，2，3，13。
13、如果从这两个口袋各拿出一张卡片来计算它们所写两数的乘积，可以得到许多不相等的乘积。那么，其中能够被 6 整除的乘积共有多少个？思路点拨：应用与拓展1. 在下面的里填上适当的数字。能被 4 整除：93，可以填( ) 能被 8 整除：482，可以填( )能被 9 整除：20308，可以填( ) 能被 25 整除：71，可以填( )能被 125 整除：850，可以填( ) 2. 在下面的数中，哪些能被 4 整除，哪些能被 25 整除?哪些能被 8 整除？哪些能被除 125整除?234500789886537288064512512000 能被 4 整除的数是： 能被 8 整除的数是能被 25 整除的
14、数是 能被 125 整除的数是：3. 用 2，3，7，8 四个数字组成没有重复数字的四位数，且它是 11 的倍数，并将这些数按从大到小排列出来。4. 在 420的方框中填上合适的数字，使这个五位数能同时被 2、3、5 整除，请写出所有可能的情况。5. 自然数 N 由两种数字 0 和 8 组成，且是 15 的倍数，当 N 尽可能小时，它是 15 的多少倍？6在 97538的里填上什么数字就能被 45 整除？填上什么数字就能被 21 整除？7. 实验小学五年级三班期末数学综合测试，平均分是 90 分，总分是 A95B，求这个班有多少学生。8过新年，小明到大润发超市买了一箱饮料共 24 瓶，可收据上
15、的钱数已模糊不清，只看到总价是27元，这箱饮料至少多少钱?9一个七位数 4352，中的各位数字互不相同，且这个七位数能同时被 7 和 6 整除，这个七位数最大是多少?10. 一个六位数 256能同时被 8 和 9 整除，求这样的六位数中最小的数是多少?11. 有 10 个连续自然数，其中的奇数之和是 85。在这 10 个连续自然数中，是 3 的倍数的数之和最大是多少？12.用 1-9 九个数字组成三个三位数，使其中最大的三位数被 3 除余 2，且尽可能地小；次大的三位数被 3 除余 1；最小的三位数能被 3 整除。那么，最大的三位数是多少？（每个数字只用一次）第三讲 分解质因数知识要点：1判断
16、一个较大自然数是否为质数：顺次从小到大用质数试除，除到除数比商大或者相等时为止。2.因数个数为奇数个的数是完全平方数，有 3 个因数的数，是质数的平方数。3求一个数因数个数及所有因数和的方法：先将这个数分解为标准分解式，再根据公式计算。精选例题：例 1：判断 269、439 是质数还是合数?思路点拨：例 2：两个质数的和是 40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？思路点拨：例 3：36 的全部因数有多少个?216 的全部因数有多少个?思路点拨：例 4：36 的因数和是多少?216 的因数和是多少?思路点拨：例 5: 李聪是个中学生，他参加了全市的数学竞赛(满分 100 分)。他说：“我的名次、
17、分数和我的年龄乘起来是 3738。 ”李聪得了多少分，获得了第几名?思路点拨：例 6: 小亚、小美和小欧是三个好朋友，他们三人的年龄依次相差 2 岁，已知他们三人的年龄之积是 1680，他们中年龄最大的上了初中，小亚和小欧在同一学校学习，小亚不是年龄最小的，那么三个好朋友的年龄分别是多少?思路点拨：例 7: 连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？思路点拨：例 8：把 14、33、35、30、75、39、143、169 这八个数平均分成两组，使每组数的乘积相等。思路点拨：例 9：一个整数 a 与 1080 的乘积是一个完全平方数，求 a 的最小值与这个平方数。思路点拨：例 10：有 3 个自然数 a、 b、c. 已知 ab=6，bc=15，ac10.求 abc 是多少？思路点拨：应用与拓展1. 两个质数和是 45，这两个质数的积是多少?2. 一个两位质数，将它们的十位数字和个位数字对调后仍是一个两位质数，这样的数共有几个，求它们的和是多少?3. 求 100 以内所有只有三个因数的自然数的和是多少?4把 1008 分解质因数，并求出它们因数的个数及因数和。5. 冬冬参加小学数学竞赛，满分是 100 分。他说：“我的分数、我的岁数和我竞赛得的名
