1、1辅助角公式在高考三角题中得应用对于形如 y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下：y=asinx=bcosx 。abxabxba222(sincos)上式中的 与 的平方和为 1，故可记ab22=cos， =sin，则 22。)xsin(ba)sinxcoy2由此我们得到结论：asinx+bcosx= ， （*）其中 由2i来确定。通常称式子（ *）为辅助角公式，它可以将多abba22cos,sin个三角式的函数问题，最终化为 y=Asin( )+k 的形式。下面结合近年高考三角题，就x辅助角公式的应用，举例分类简析。一. 求周期例 1 求函数 的最小正周期。yxx2432cos()
2、s()sin解：)6x2sin(cos3x2in3)si( i)(所以函数 y 的最小正周期 T=。评注：将三角式化为 y=Asin( )+k 的形式，是求周期的主要途径。x二. 求最值例 2. 已知函数 f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x。若 ，求 f(x)的最大值和最小值。,022解：f(x)=(cos 2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x= 。24sin()x由 。0434 xx当 ，即 x=0 时， 最小值 ；2sin()22当 时 取最大值 1。438xx， 即 i()4x从而 f(x)在 上的最大值是 1，最小值是 。,
3、0223. 求单调区间例 3. 已知向量 ， ，令 ， axbx(cos,tan()(sin)2424tan()x24，求函数 f(x)在0， 上的单调区间。b)x(f 解： fa 。)4xsin(2co12xssi 2xtan1t)cos2in(co2 )4tan()xt()4si(x 先由 。045 x反之再由 。420245 ； xx所以 f(x)在 上单调递增，在 上单调递减。0， 4，评注：以向量的形式给出条件或结论，是近两年来三角命题的新趋势，但最终仍要归结为三角式的变形问题。而化为 y=Asin(x+ )+k 的形式，是求单调区间的通法。3四. 求值域例 4. 求函数 fxkxk
4、xx()cos()cos()sin()6132613232的值域。(,RkZ解：。)2xsin(46sin)x23co(6s3i2)xcos(2 )x23sin()x23kcos()3)f所以函数 f(x)的值域是-4，4。五. 图象对称问题例 6. 如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x= 对称，那么 a=( )8（A） （B） （C）1 （D ）-122解：可化为 知 时，y 取得最值 ，即yax1sin()。 x812asin()co()()282811201222aaaD选 （ ） 。六. 图象变换例 7 已知函数 该函数的图象可由 的。Rx,1cosin23cos
5、1y yxRsin()图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？解： yxx14341(cos)sin4126265454(sincosin)xx。可将函数 y=sinx 的图象依次进行下述变换：（1）向左平移 ，得到 y=sin(x+ )的图象；66（2）将（1）中所得图象上各点横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得 y= 的21)6x2sin(图象；（3）将（2）中所得图象上各点纵坐标变为原来的 倍，横坐标不变，得 y= sin(2x+ )21的图象；（4）将（3）中所得图象向上平移 个单位长度，得到 y= sin(2x+ )+ 的图象。4521645综上，依次经过四步变换，可得 y= 的图象。xc
6、osin3xcos21七. 求值例 8. 已知函数 f(x)= +sinxcosx。设 （0，） ，f( )= ，求 sin 的xsin32 2341值。解：f(x)= =sin 。2si1)co(23)x(由 f( )=sin( ) ， 343得 sin( )= 。 又 （0，） 。1 )34,(而 sin ， 故 + ，则 cos(+ )= 。423),2(315sin=sin =sin)(3sin)co(s= = 。23)415(2851评注：化为一种角的一次式形式，可使三角式明晰规范。在求 sin 时，巧用凑角法：= （+ ）- ，并且判断出 + 的范围，进而求出 cos(+ )的确切
7、值，使整个求3335值过程方向明确，计算简捷。八. 求系数例 9. 若函数 f(x)= 的最大值为 2，试确定常数 a 的值。)2xcos(ina)x2sin(4co1解：f(x)= csiacos= xin21= ，)si(4a其中角 由 sin = 来确定。22a1cos,a1由已知有 ，解得 a= 。425九. 解三角不等式例 10. 已知函数 f(x)=sin2x+sin2x，x ，求使 f(x)为正值的 x 的集合。2,0解：f(x)=1-cos2x+sin2x =1+ 。 )4sin(由 f(x) 0，有 sin 2x-(,2)4则得 2k- ， 5k。x2故 kxk+ 。)Z(43再由 x 0,2，可取 k=0，1，得所求集合是 。47x43。x0或
