1、1习题一1设 CBA,是三个事件，且 41)()(CPBA， 0)()(BCPA，8)(P，求 ,中至少有一个发生的概率解： 0()0P()()()()()ABCABCPABCPABC115482设事件 ,及 的概率分别为 qp,及 r，求： )(， )(， )(及)(BAP解： ()()PBAr()rq)(PAp(1)1Br3设 3)， 2(，试分别在下列三种情况下求 )(BAP)的值：(1) A,互不相容；(2) B ；(3) 81)(P解：（） 1()2AP（） 1(36BA（） )()8B4盒子中装有同型号的电子元件 100 个，其中有 4 个是次品从盒子中任取 4 个，求：(1) 4
2、 个全是正品的概率；(2) 恰有一个是次品的概率；(3) 至少有两个是次品的概率解： 49610(2).872Cp319640(2).58Cp2或 (3)10.8472.150.7p23144964960.071Cp5从 45 件正品 5 件次品的产品中任取 3 件产品，求其中有次品的概率解：3450.6C6从一副扑克牌（52 张）中任取 4 张，求 4 张牌的花色各不相同的概率 解：452130.pC7某城市的电话号码由个数字组成，第一位为 5 或 6求(1) 随机抽取的一个电话号码为不重复的八位数的概率；(2) 随机抽取的一个电话号码末位数是 8 的概率解： 792(1)0.1Pp67()
3、.8房间里有 4 人，求：(1) 这 4 人的生日不在同一个月的概率；(2) 至少有 2 人的生日在同一个月的概率解： 41()0.9p124.7A9已知 ， ， ，求 )(P31)|(B21)|(BAP)(BAP解： |2A(|)61()()()42310掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为 7，求其中有一颗为 1 点的概率解：设：其中一颗为点，：点数之和为，则 611(),(),68PBPAB ()(|)3PAB3或 ，则(1,6),(25),(34),B 21(|)63PAB11某个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，试问另一个也是女孩的概率是多少?解：其中一个是女孩的样本空间为：（男，
4、女） ， （女，男） ， （女，女）故所求概率为 1312一盒子中装有 7 只晶体管，其中 5 只是正品，2 只是次品，从中抽取两次，每次任取一只不放回，求：(1) 两次都取得正品的概率；(2) 第一次取得正品，第二次取得次品的概率；(3) 一次取得正品，另一次取得次品的概率；(4) 第二次取得正品的概率解：（1） 5410762p（2）（3） 1（4） 525767p13袋中有红球和白球共 100 个，其中白球有 10 个每次从袋中任取一球不放回，求第三次才取到红球的概率解：设 表示事件“第 次取到白球” ，iAi1,23i则所求概率为： 31211209()(|)(|).083PAPA14
5、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拔号不超过三次而拨对所需电话的概率若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少?解：（1） 或 310p9183010（2） 515两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为 0.03，第二台出现废品的概率为0.02加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求任意取出的一件产品是合格品的概率解：设事件 ：取得的产品是合格品，事件 ：取得的产品由第 台车床加工，AiBi1,2i则所求概率为： 1122()(|)(|)0.97.80.9733PBAPA416设有甲、乙两个口袋，甲袋中装有 n只白球， m只红球
6、，乙袋中装有 N只白球，M只红球现从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任意取一球，问：(1) 取到白球的概率是多少?(2) 若已知取到白球，则原先是从甲袋中取得白球放入乙袋的概率是多少?解：设事件 ：从乙袋取到白球，事件 ：从甲袋取到白球AB（1）所求概率为： ()(|)(|)PAP11()1)nNmNnmNmMnM（2）所求概率为： ()(|)B1()1)nnnNNmm 17设 8 支枪中有 3 支未经试射校正，5 只已经试射校正一射手用校正的枪射击时，中靶的概率为 0.8，而用未校正过的枪射击时，中靶的概率为 0.3现假定从 8 支枪中任取一支进行射击，结果中靶，求所用的枪是己校正过的概率
7、解：设事件 ：射击中靶，事件 ：所用的枪是已校正过的AB则所求概率为： ()|(|)|(|)PAPB50.840.81633918盒子中放有 12 个乒乓球，其中有 9 个是新的第一次比赛时从中任取 3 个来使用，比赛后仍放回盒中，第二次比赛时再从盒中任取 3 个，求第二次取出的球都是新球的概率解：设事件 ：第二次取出的球全是新球A事件 ：第一次取出的球当中有 个新球，iBi0,12i则所求概率为：30()()|iiiPBPA312321303998979612 12.458CCC19设事件 A与 相互独立，且 qp)(,)(求下列事件的概率：(1) )(BP； (2) (BP； (3) BA
8、P解：（1） )()()()PABpq（2） ()( 11Apq5（3） ()()1()()1PABPABPpq20甲、乙两人独立地向同一目标射击，甲击中目标的概率是 0.9，乙击中目标的概率是0.8甲、乙两人各射击一次，求此目标被击中的概率解：设事件 ：甲击中目标，事件 ：乙击中目标则所求概率为： ()()()0.98.0.98PABPAB21设每一门高射炮（发射一发）击中飞机的概率为 0.6，现若干门炮同时发射（每炮射一发） ，若欲以 99%的把握击中来犯的一架飞机，问至少需配备几门高射炮?解： 事件 ：第 门炮击中飞机， ，则i 1in111()()()()10.4.9nnnnni i
9、iiPAPA所以至少配备 6 门高射炮。0.4log5.2622如图，三个元件分别记作 CB,，且三个元件能否正常工作是相互独立的设CBA,三个元件正常工作的概率分别为 0.7，0.8 和 0.8，求该电路发生故障的概率BAC解：设事件 CBA,分别表示元件 ,正常工作则所求概率为： 1()()1(0.2).70328pP或 ()0.37.20.38P23一大楼有 5 个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻每个设备被使用的概率为 0.1，问在同一时刻(1) 恰有 2 个设备被使用的概率；(2) 至少有 3 个设备被使用的概率解：（1） 2355()0.1)(9.072PC（2） 4p32415
10、055(.)(.)(.)9.856C24某人独立射击 10 次，每次射击的命中率均为 0.6，求：(1) 击中三次的概率；(2) 至少有一次未击中的概率6解：（1） 371010().6)(40.25pPC（2） 9习题二1.设随机变量 X的分布律为 kaP2， ,1，(1)确定常数 a；(2)求 3 解：（1）由规范性： 得： 1kp112kaa（2） 3XP 23138PX 2设在 15 只同类型的零件中有 2 只次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样以 表示取出次品的只数，求 的分布律解： 3150CPX2135CPX1235CPX的分布律为：0 1 2P235353一射手每次射
11、击的命中率为 0.2，试问必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于 0.9？解：设 表示 次射击中击中的次数，则Xn(,0.2)XBn101.809nP1必须进行 11 次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于 0.9.4一批产品中有 20的次品，进行重复抽样检查，共抽取 5 件样品，计算这 5 件样品中恰好有 3 件次品、至多有 3 件次品的概率解：设 表示 5 件样品中次品的件数，则X(,0.2)XB则恰好有 3 件次品的概率为： 358.51PC7至多有 3 件次品的概率为： 3145PXPX105(0.2)8(.2)8.93C5某高速公路每天有大量汽车通过，设每辆汽车在一天
12、的某段时间内出事故的概率为0.0001，在某天的该段时间内有 1000 辆汽车通过，问出事故的次数不小于 2 的概率是多少？（利用泊松定理计算）解： 10.0.1np2PXPX0010191 09CC10.0.47!e6某电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为 4 的泊松分布，求：(1) 每分钟恰有 8 次呼唤的概率；(2) 每分钟的呼唤次数超过 10 次的概率解： 4(1)0.298!PXe41(2)0.!k7设随机变量 X的分布律为 412kpX求 X的分布函数解：014()321xFx8一口袋中装有 5 只球，编号为 1，2，3，4，5从袋中同时取 3 只，以 X表示取出的三只球中的最大号
13、码，求随机变量 X的分布律和分布函数， 解：X 的可能取值为 3，4， 5， ，510.PC2350.CP24350.6CPXX 的分布律为：.1.6k8X 的分布函数为：03.14()5xFx9设随机变量 的概率密度为 .,0,2cos)(其 它 xkxf求：(1) 系数 k；(2) X的分布函数 )(F；(3) XP； 解： 22200(1)coscosin1xdxdkxk 12k（2）当 时，-21()(si)xFtX 的分布函数为：021()sin)22Fxxx1(3)0()02Px10设连续型随机变量 X的分布函数为 .1,0,)(2xkxF求：(1) 系数 k；(2) 3.1.0X
14、P；(3) 概率密度 )(f解： 211()lim)lilim()xxxFkk220.3.(.).0.91PF()fx其 他11设 K在 )6,1(上服从均匀分布，求方程 012Kx有实根的概率9解：方程有实根，即 240,2kkor所求的概率为：64015pP12设某种电子元件的使用寿命 X（以小时计）的概率密度为 .10,)(2xxf某仪器内装有 3 个这样的电子元件（设各电子元件损坏与否相互独立） ，试求：(1) 使用的最初 150 小时内没有一个电子元件损坏的概率；(2) 这段时间内只有一个电子元件损坏的概率解：最初 150 小时内一个电子元件损坏的概率为： 15023PXdx设 Y：
15、最初 150 小时内电子元件损坏的个数，则 (3,)YB:故 033128(1)7PC2134(2) 9Y13设随机变量 X在 )5,2(上服从均匀分布现对 X进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于 3 的概率解： P设 Y：三次观测中观测值大于 3 的次数，则 2(3,)YB:故所求概率为：233107YC14设 )16,(NX，试求：(1) 5.P；(2) 4XP；(3) 1XP解： .51()()(0.25).49824(1.2)0.7.76X(3)1()(.)0.253PorX1015某产品的质量指标 ),160(2NX，若要求 8.0210XP，允许 最大为多少？解： 44120
16、()().P4().91.289,31.25016测量至某一目标的距离时发生的随机误差 X（米）的概率密度为320)(4)(xexf， )(x求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过 30 米的概率解： 2(0,4)XN:一次测量误差的绝对值不超过 30 米的概率为：3(0.25)(1.)0.493P设 Y：在三次测量中误差的绝对值不超过 30 米的次数，则 (,.1)YB:所求概率为： 31(.).86Y17设随机变量 X的分布律为-2 -1 0 1 3kp516501试求：(1) XY21；(2) 2Y的分布律解：（1） 1-6 -2 0 2 4kp51651301（2） 2XY0 1
17、4 911kp51307513018设随机变量 )1,0(NX，求：(1) Yarctn的概率密度； (2) 的概率密度解：的概率密度为：2()()xXfxe（） ()arctn,yg210,y且 xh()tah(),()2gg故由定理可得， XYrt的概率密度为： 2tan1sec()0yyfy其 他（）的分布函数为： 2 20110()xxyyY ededyFyPX的概率密度为：2()0yYfyF19设随机变量 X在 )1,0(上服从均匀分布，求：(1) eY的概率密度； (2) ln2的概率密度解：的概率密度为： 01()Xxfx其 他(1) 且 (),xyge,y()ln,hy1(),
18、hy(0),(1ge故由定理可得， XY的概率密度为： ()0Yef其 他(2) 且()2ln,ygx0,yx,yhe21(),ye(),(1)g12故由定理可得， XYln2的概率密度为：210()yYef习题三1 一口袋中装有四个球，它们依次标有数字 1,2,2,3从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球，设每次取球时袋中每个球被取到的可能性相同以 YX,分别表示第一、二次取得的球上标有的数字，试写出随机变量 X和 Y的联合分布律解： YX1 2 31 0 61122 663 122设随机变量 ),(YX的概率密度为 ,0,42)6(, 、yxyxkyxf(1) 确定常数 k； (
19、2) 求 31YP；(3) 求 5.1XP；(4) 求 4YXP解：(1) 2420 0(,)(6)(6)81fxydxkydkxdk 18k(2) 13102073,()()8828PXYxyx(3) .54.5.66ddd(4) 2 20 02()(46)3xyxx3设二维随机变量 ),(YX具有概率密度 ,02,)(、yxeyxfyx(1) 求分布函数 ),(F； (2) 求概率 XYP解：(1) ,yxfuvd13当 时，0,xy(2) 22000(,) (1)yxxyuvuvxyFedede当 取其他值时， 2(1),(,)0xyexxy其 他(2) (2) 200(1)3xyxxP
20、YXded4求第 1 题中随机变量 ,Y的边缘分布律解： X1 2 3 Y1 2 3ip441jp4415. 设随机变量 ),(YX的概率密度为 其 它020,3),(2yxyxyf，求关于X和关于 的边缘概率密度。解：220()1()(,)33xdyxfxfyd 其 他1201()02()(,) 6Y xyfyfxy 其 他6设随机变量 ),(YX具有概率密度 ,0),(、yxeyxfy求边缘概率密度 ),(fxYX解： (),00yxxXedffy()(,)yyYfyfx147设随机变量 X和 Y的联合分布律为1 21 632 93 18试问：当 ,取何值时， X与 Y相互独立？解：与相互
21、独立，则有即 211P1()9329即 3818设随机变量 ),(YX在区域 G上服从均匀分布，其中 G由直线 2,yxy所围成(1) 求 与 的联合概率密度；(2) 求 YX、的边缘概率密度；(3) 问 与 相互独立吗？为什么？解：(1)的面积 142AX与 Y的联合概率密度为：1|,02(,)4xyfxy其 他(2) 2|1(|)|()(,)40xXdxfxfy 其 他15102()(,)4yY dxyfyfx 其 他(3) 不是相互独立的。因为不恒成立 (,)()XYffx9设 X和 Y是两个相互独立的随机变量， X在 )1,0(上服从均匀分布， Y的概率密度为.,2)(yeyfyY(1
22、) 求 ),(YX的概率密度 ),(xf；(2) 设含有 t的二次方程为 02YXtt，求 t有实根的概率解：(1) 10()Xfx其 他X 与相互独立，2101,(,)()yXYexyfxyf其 他(2) 方程有实根， 即 2402所求概率为：221100(,) ()yxxDPYfxydeded21021.45xed10设 X和 Y是两个相互独立的随机变量，其分布律分别为0 1 Y-1 0 1kp0.6 0.4 kp0.2 0.3 0.5试分别求 YXZ1和 ),max(2X的分布律解： ijP0.12 0.18 0.3 0.08 0.12 0.2(,)Y(0,-1) (0,0) (0,1)
23、 (1,-1) (1,0) (1,1)161ZXY-1 0 1 0 1 22max(,)0 0 1 1 1 1的分布律为： 的分布律为1ZXY 2max(,)ZXY-1 0 1 2 0 1kp0.12 0.18 0.42 0.2 kp0.3 0.711设 X和 Y是两个相互独立的随机变量， X在 )2.0,(上服从均匀分布， Y的概率密度是 .0,5)(yeyfY试求 YXZ的概率密度解： 50.2()xfx其 他 ()ZXYXYfzffzxd5()50.2(), 0,1(1),5,.zzxzzzede 12设随机变量 X和 Y相互独立， X在 )1,0(上服从均匀分布， Y在 )2,0(上服
24、从均匀分布，求 ),max(1Z和 in2YZ的概率密度解： 0()1XFx()021YyFy172max 01()()2XYzFzFzzmaxax01()()2zfzF其 它2min 0031()1()1()(1) 12XY zzFzzFz zminin3,0,()()2zfz其 它 习题四1设随机变量 X的分布律为 4126310kp，求 )(,(),2XEXE解： 101312()20()36242 541EX2一口袋中共有 8只球，其中 5只白球， 只红球和 只黑球从中随机地取出 3只球，以 表示这三只球中所含红球数，试求 )(XE解：的分布律为:X 0 1 2kp36854C2638
25、51638C51()024EX183设随机变量 X的概率密度为 其 它 ，,0,212,)(xxf求 )(,2XE解： 1201()()()Exfdd22 76Xxx4某车间生产的圆盘其直径在区间 ),(ba内服从均匀分布，试求圆盘面积的数学期望解：圆盘直径的概率密度为：1()0xbfx其 他圆盘面积的数学期望为：22221()() ()4baESfxddxab 5设随机变量 X的概率密度为 ,0,)(xexf求（1） Y21， （2） XeY2的数学期望解： 00()()2(1)2xxExfdde223200xxxefe6设二维随机变量 ),(YX的概率密度为 ,112),(、xyyf求 )
26、,(2E解： 112500(,) 32xxyfdydx1 122 2 50 036()()(,()xXYf ydx 7设随机变量 21,相互独立，它们的概率密度分别为 ;,0,1)(1、xxf,5,0)(52xexf、19求 )(21XE解： 1102()3xfdx(5)(5)225() 16xxede112()64EXEX8计算第 1 题，第 3 题中随机变量 的方差及标准差解：第题方差：22235197()(4D标准差： 97()()X第题方差： 标准差：22216E6()()XD9设随机变量 服从参数为 2 的泊松分布， 23XZ，求 )(,ZDE解： ()2,()E34ZXE2()()
27、18DD10设随机变量 与 Y相互独立，且 4)(,2)(,1)(YDXYEX，求2)(XE解： ()2,EX()()6,D2 2()10YDY11设随机变量 与 相互独立，且 )3,7(2NX， )25,40(NY设，求 的概率分布，并求概率 PZXZ解： ()()80,()()1EYEYDD80,152N200801()(2.05).9785PXYPZ12试证明：如果 与 相互独立，则有 )()()()( 22XDYEXEYD解：等式右边 22YEX22()()()(等式左边22YDX13已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞平均数是 7300，均方差是 700利用切比雪夫不等式估计每毫升含
28、白细胞数在 52009400 之间的概率 p解：设：每毫升血液中含白细胞数所求概率 5209421073210pPXP28|73| 914设随机变量 Z的分布律为：且设 YXcos,sin，试验证 X和 Y是不相关的，但 X和 Y不是相互独立的解： 的分布律为： 的分布律为：-1 0 1 0 1kp0.3 0.4 0.3 kp0.6 0.4， 的分布律为：sicZXY0kp1()0,().4,()0,EXYEcov(,)()()0EXY和 不相关covD另一方面： 和 的联合概率密度为：YX0 1-1 0.3 00 0 0.41 0.3 0显然 和 不相互独立1,PXYPYXY15设 4.,3
29、6)(25)(XD，试求 )(D以及 )(解： 2cov(,)2(XYDZ02kp3.4.3.2125360.425368()()cov(,)7DXYDYX16设二维随机变量 ,在 G上服从均匀分布，其中 0,1|),(xyxyG，试求相关系数 解： 其 他0,12),( xyxyxf31dXE 312)(01xydYE 412)(01xydXYE2)(02xy624)()(,covXY1832)(22 EXD 1836)() 222 YEYD1)(,cYY17试证： )(),XCov证： ),cov,cov(,( YYX )()c DX习题五1根据以往的经验，某种电器元件的寿命服从均值为 1
30、00 小时的指数分布现随机取 16只，设它们的寿命是相互独立的，求这 16 只元件的寿命的总和大于 1920 小时的概率解：（1）设第 i 个元件的寿命为 ，则16,2,iX210)(,10)(iiXE由中心极限定理得： ),(40106116 Niiii 近 似8.1926 iiii XPXP 219.078.1).(2某银行的统计资料表明，每个定期存款储户的存款的平均数为 5元，均方差为50元， (1)任意抽取 1个储户，问每户平均存款超过 510元的概率为多少？(2) 至少要抽取多少储户，才能以 %9以上的概率保证，使每户平均存款数超过49元解：（1）设第 户储户的存款为 ，则i,2,i
31、X 2()50,()50i iEXD由中心极限定理得：1050(,1)ii N近 似221010 552iiii XPXP1()0.972.8（2）1010 49549 5iiii nn(.)(0.1).n查表得： 0.1.28164n至少要抽取 165 户储户，才能以 %9以上的概率保证，使每户平均存款数超过495元3有一批建筑房屋用的木柱，其中 80%的长度不小于 3 米现从这批木柱中随机地取出100 根，问其中至少有 30 根短于 3 米的概率是多少？解：设短于 3 米的根数为 ，则 ，则X)2.0,1(B168.02.01)( XDE由中心极限定理得： )1,0(46N近 似 062.
32、938.1)5.2(.4223030 PXP4设某电视台某项电视节目的收视率为 %，现任意采访 0户城乡居民，问其中有175户收视该项节目的概率为多少？解：设收视该项节目的户数为 ，则 ，则)32.,50(B8.106.,1632.05)( XDXE由中心极限定理得： ),(8.1N近 似 630.1835.021)96.0(2.81069.7015 PXP5设有 台纺纱机彼此独立地工作，每台纺纱机在任意时刻都可能发生棉纱断头（其概率为 02.） ，因而需要工人去及时接头问至少应配备多少工人，才能以 %95的概率保证，当纺纱机发生断头时有工人及时地去接头解：设发生棉纱断头的纺纱机为 台，则 ，则X)02.,1(B6.198.),20.10)( DE23由中心极限定理得： )1,0(6.192NX近 似设应该配备 n 个人，则 95.0)6.12(.906.12nPX查表得： ，即5.90n3.7n至少配备 28 个工人，才能以 %9的概率保证，当纺纱机发生断头时有工人及时地去接头
