概率练习及答案.doc

1、第一章 事件与概率1、对一个五人学习小组考虑生日问题：（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率；（3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】 （1） 设 A1=五个人的生日都在星期日，基本事件总数为 75，有利事件仅 1 个，故P（A 1）= =（ ） 5 57（2） 设 A2=五个人生日都不在星期日，有利事件数为 65，故P（A 2）= =( )56(3) 设 A3=五个人的生日不都在星期日P（A 3）=1P (A1)=1( )572、一架升降机开始时有 6 位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：（1） A=“某指定的一层有两

2、位乘客离开” ；（2） B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开” ；（3） C=“恰有两位乘客在同一层离开” ；（4） D=“至少有两位乘客在同一层离开”.【解】 由于每位乘客均可在 10 层楼中的任一层离开，故所有可能结果为 106 种.（1） 2469()10PA（2） 6 个人在十层中任意六层离开，故 610P()B（3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有 种可能结果，再10C从六人中选二人在该层离开，有 种离开方式.其余 4 人中不能再有两人同时离开26C的情况，因此可包含以下三种离开方式：4 人中有 3 个人在同一层离开，另一人在其余 8 层中任一层离开，共

3、有 种可能结果；4 人同时离开，有 种可1398 19能结果；4 个人都不在同一层离开，有 种可能结果，故P123146069489()C()/0P（4） D= .故B610P()1()PDB3、两人约定上午 9001000 在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.【解】设两人到达时刻为 x,y,则 0x,y60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|xy|30.如图阴影部分所示. 23164P4、一个袋内装有大小相同的 7 个球，其中 4 个是白球，3 个是黑球，从中一次抽取 3 个，计算至少有两个是白球的概率.【解】 设 Ai=恰有 i 个白球（i=2,3） ，显然 A2 与 A3

4、 互斥.2134347 7CC8(),()55PP故 23232(5、设 A，B ，C 为三事件，且 P（A）=P（B）=1/4，P（C ）=1/3 且 P（AB）=P（BC）=0， P（AC）=1/12 ，求 A，B，C 至少有一事件发生的概率.【解】 P（AB C ）=P(A)+P(B)+P(C)P( AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)= + + =143246、对任意的随机事件 A，B，C ，试证P（ AB）+ P（AC ）P（BC ）P( A).【证】 ()()BC()()PAP7、证明： 域之交仍为 域。证：设 是 域，记 .)(TtFtTF(i) 每一 ，所以 ，即 .tTt

5、F(ii) ，则 每一 ，由 是 域得 每一 ，所以 ，从而FAtFtAtFtTA.(iii) ，则诸 必属于每一 ，由于 是 域，所以 每一 ，i),21( tAttitF即 .FAtTi 是 域。第二章 条件概率与统计独立性1、 某地某天下雪的概率为 0.3，下雨的概率为 0.5，既下雪又下雨的概率为 0.1,求：（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率.【解】 设 A=下雨，B=下雪 .（1） ()0.1()25P（2） ()()0.35.107BA2、甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是 0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为

6、 0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为 0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.【解】设 A=飞机被击落， Bi=恰有 i 人击中飞机 ，i =0,1,2,3由全概率公式，得 30()(|)iiiPP=(0.40.50.3+0.60.50.3+0.60.50.7)0.2+(0.40.50.3+0.40.50.7+0.60.50.7)0.6+0.40.50.7=0.4583、按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有 90%的可能考试及格，不努力学习的学生有 90%的可能考试不及格 .据调查，学生中有 80%的人是努力学习的，试问：（1）考试及格的学生有多大可能是不努

7、力学习的人？（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？【解】设 A=被调查学生是努力学习的，则 =被调查学生是不努力学习的. 由题意知AP（A ）=0.8，P（ ）=0.2，又设 B=被调查学生考试及格.由题意知 P（B|A）=0.9，P （ | ）=0.9，故由贝叶斯公式知B（1）()()() ()PABPAB0.210.2789.3即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占 2.702%(2) ()()() ()PABPAB0.8140.372.9即考试不及格的学生中努力学习的学生占 30.77%.4、设两两相互独立的三事件，A，B 和 C 满足条件：ABC=，P( A)=P(B)=P(

8、C)2 时，F（x ）=P（X0）=1，故 01e2X1，即 P（0 Y1）=1当 y0 时，F Y（y）=0当 y1 时，F Y（y）=1当 0y1 时， 2()(1)xyy1ln()220ledyxPX即 Y 的密度函数为 ,01()Yyfy其 他即 YU（0，1）6、设 X，Y 是相互独立的随机变量，其分布律分别为PX=k=p（k） ，k=0，1，2，PY=r=q（r） ，r=0 ，1，2，.证明随机变量 Z=X+Y 的分布律为PZ=i= ，i=0，1， 2，.ikk0)(【证明】因 X 和 Y 所有可能值都是非负整数，所以ii0,1,0YXYiXiY于是 0,ikPZik相 互 独 立

9、0ikPXYikA0()ikpqi第四章 数字特征与特征函数1、设随机变量 X 的概率密度为f（x）= .,0,21,他x求 E（X） ，D（ X）.【解】 1201()()d()dxfxx133201.12223017()()d()d6EXxfxx故 .6D2、设随机变量 X 的概率密度为f(x)= .,0,2cos1他x对 X 独立地重复观察 4 次，用 Y 表示观察值大于 /3 的次数，求 Y2 的数学期望。【解】令 1,3(1,234)0,iXYi.则 .因为41(,)iBp及 ,33pPX/301cosd2xPX所以 11(),(),()4,22iiEYDEY,2()EY从而 222

10、()()15.3、设两个随机变量 X，Y 相互独立，且都服从均值为 0，方差为 1/2 的正态分布，求随机变量| XY|的方差. 【解】设 Z=XY，由于22110,NYN且 X 和 Y 相互独立，故 ZN（0，1）.因 22()(|)(|)DEZ2,而 22 /1()(1,(|)|edzEZEZ，2/0edz所以 .2(|)1DXY4、试求 均匀分布的特征函数。0,1解： 。当 时 ；当 时0,1(),xpt()1ft0t.100()(1)itxitxitftede5、设随机变量 X 的概率密度为fX(x)= .,0,241,他x令 Y=X2，F（x,y）为二维随机变量（X，Y）的分布函数，

11、求：(1) Y 的概率密度 fY(y)；(2) Cov(X,Y);(3) . 1(42解： (1) Y 的分布函数为.2()YFyPXy当 y0 时， ， ；0()Yf当 0y1 时，3()04YFPyXPyXPy；3()8Yf当 1y4 时， 1()1024YFyyy；()8Yfy当 y4 时， ， .()1Yy()0Yfy故 Y 的概率密度为 3,01,8(),4,0.Yyfy 其 他(2) ,2101()()dd4+XE=xfxx-,222 05)6Y,033317()() 8+Xxfxx-故 Cov(X,Y) = .()EY=(3) 21(,4),4,422FPPX11X.14PX6、

12、设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=21,1,0.xy其 他试验证 X 和 Y 是不相关的，但 X 和 Y 不是相互独立的.【解】设 .2(,)|1Dxy21(,)ddxyExfy210=cosd0.rA同理 E(Y)=0.而 Cov,)()(),dXxEyYfxy,2 2101dsinco0xyrr由此得 ,故 X 与 Y 不相关.0XY下面讨论独立性，当|x |1 时， 212()d1.xXfyx当|y |1 时， .212()dyYf显然 ,).XfxfxA故 X 和 Y 不是相互独立的.7、对于任意两事件 A 和 B，0P(A)1，0P( B)1,则称= 为事件 A 和

13、B 的相关系数.试证：)(P（1） 事件 A 和 B 独立的充分必要条件是 =0；（2） |1. 【证】 （1）由 的定义知，=0 当且仅当 P(AB)P(A)P(B)=0.而这恰好是两事件 A、B 独立的定义，即 =0 是 A 和 B 独立的充分必要条件 .(2) 引入随机变量 X 与 Y 为1,0若 发 生若 发 生 ;1,0Y若 发 生若 发 生 .由条件知，X 和 Y 都服从 01 分布，即()PA1()PB从而有 E(X)=P(A),E(Y)=P(B),D(X)=P(A)P( ),D(Y)=P(B)P( ),Cov(X,Y)=P(AB)P(A)P(B)所以，事件 A 和 B 的相关系

14、数就是随机变量 X 和 Y 的相关系数.于是由二元随机变量相关系数的基本性质可得|1.第五章 极限定理1、设随机变量 X 和 Y 的数学期望是 2, 方差分别为 1 和 4, 而相关系数为 0.5, 试用切比雪夫不等式估计概率 P(|XY| 6).解. E(XY) = E(X)E(Y) = 22 = 0D(XY) = D(X) + D(Y) = 1 + 420.512 = 3)(YDXY所以 .36)()6|(| 2YXP2、某厂有 400 台同型机器, 各台机器发生故障的概率均为 0,02, 假如各台机器相互独立工作, 试求机器出现故障的台数不少于 2 台的概率.解. 假设 X 表示 400

15、 台机器中发生故障的台数 , 所以 X B(400, 0.02)由棣莫佛拉普拉斯定理:)(2198.024lim2xdtexPxn 所以 98.024798.04)(1)( XPX 1(2.5) = (2.5) = 0.9938.3、设供电网中有 10000 盏灯, 夜晚每一盏灯开着的概率都是 0.7, 假设各灯开、关时间彼此无关, 计算同时开着的灯数在 6800 与 7200 之间的概率.解. 假设 X 表示 10000 盏灯中开着的灯数 , 所以 XB(10000, 0.7)由棣莫佛拉普拉斯定理:)(217.031lim2xdtexPxn 所以 )2680(X 7.03172.03177.

16、03168X (4.36)( 4.36) = 2(4.36)1 = 20.9999931 = 0.999.4、在一定保险公司里有 10000 人参加保险，每人每年付 12 元保险费，在一年内一个人死亡的概率为 0.006,死亡者其家属可向保险公司领得 1000 元赔偿费.求：（1） 保险公司没有利润的概率为多大；（2） 保险公司一年的利润不少于 60000 元的概率为多大？【解】设 X 为在一年中参加保险者的死亡人数，则 XB（10000，0.006）.(1) 公司没有利润当且仅当“1000X=1000012”即“X=120”.于是所求概率为 1120.061200.6.9494P21(60/

17、59.4)230.186e59.42.7eA(2) 因为“公司利润60000” 当且仅当 “0X60”于是所求概率为6.601.0601009494PX().5.65、若 的概率分布为 ，试验证相应的分布函数收敛，但矩不收敛。nX01n解： 。 令 得 ,0()1,nnxFxPxn当当当 n。0,()1nxx这说明分布函数收敛，但 。当1,0,()nnEXEX时，1k，1kknEX 11()()()kkkknn n所以当 时， ， 。由此知其中心距，原点n)knEX矩均不收敛。6、设 独立同分布， ，则大数定律成立。nX2kknP(1,2)证：由辛钦大数定律知，这时只要验证 存在, 。而 iEX2lnln114kki，lnl4nln4l()kkke又 ，所以 ，从而大数定律成立。ln41ln41ikEX7、若 是独立同分布、具有有限二阶矩的随机变量序列，试证iX。12()nPiiiE 证：记 ，则2,iiXaD，1112()()()nnni ii i iEXaa利用 间的独立性得i 221124()()nnii iDX 222()1()0()()63nnn由马尔可夫大数定律得 12()nPi iiXaE