1、二次函数一、选择题1. （2015，广西柳州，11，3 分）如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴相交于（2 ，0 ）和（ 4，0）两点，当函数值 y0 时，自变量 x 的取值范围是（ ）A x2 B 2x4 C x0 D x4考点： 抛物线与 x 轴的交点分析： 利用当函数值 y0 时，即对应图象在 x 轴上方部分，得出 x 的取值范围即可解答： 解：如图所示：当函数值 y0 时，自变量 x 的取值范围是：2x4故选：B点评： 此题主要考查了抛物线与 x 轴的交点，利用数形结合得出是解题关键2. （2015，广西玉林，12，3 分）如图，反比例函数 y= 的图象经过二次函数
2、y=ax2+bx 图象的顶点（ ，m） （m0） ，则有（ ）A a=b+2k B a=b2k C kb0 D ak0考点： 二次函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征专题： 计算题分析： 把（ ，m）代入 y=ax2+bx 图象的顶点坐标公式得到顶点（ ， ） ，再把（ ， ）代入 得到 k= ，由图象的特征即可得到结论解答： 解：y=ax 2+bx 图象的顶点（ ，m） ， = ，即 b=a，m= = ，顶点（ ， ） ，把 x= ，y= 代入反比例解析式得：k= ，由图象知：抛物线的开口向下，a0，ak0，故选 D点评： 本题考查了二次函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握
3、反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键3. （2015，广西河池，8，3 分）将抛物线 y=x2 向右平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位后,抛物线的解析式为( B ) A.y=(x+2)2+3 B. y=(x-2)2+3 C. y=(x+2)23 D. y=(x-2)-3解析:左加右减,上加下减,故选 B1 （2015 内蒙古赤峰 8，3 分）抛物线 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数y=ax+b 与反比例函数 y= 在同一平面直角坐标系内的图象大致为（ ）A B CD考点： 二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象分析： 根据二次函数图象与系数的关系确定 a0，
4、b0，c0，根据一次函数和反比例函数的性质确定答案解答： 解：由抛物线可知，a0，b0，c0，一次函数 y=ax+b 的图象经过第一、三、四象限，反比例函数 y= 的图象在第二、四象限，故选：B点评： 本题考查的是二次函数、一次函数和反比例函数的图象与系数的关系，掌握二次函数、一次函数和反比例函数的性质是解题的关键4. （2015 齐齐哈尔 ,第 9 题 3 分）抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x=1，与x 轴的一个交点 A 在点（3 ，0）和（2，0）之间，其部分图象如图，则下列结论：4acb 20；2ab=0；a+b+c0；点 M（x 1，y 1） 、N （x 2，y
5、2）在抛物线上，若x1x 2，则 y1y2，其中正确结论的个数是（ ）A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个考点： 二次函数图象与系数的关系分析： 根据函数与 x 中轴的交点的个数，以及对称轴的解析式，函数值的符号的确定即可作出判断解答： 解：函数与 x 轴有两个交点，则 b24ac0，即 4acb 20，故正确；函数的对称轴是 x=1，即 =1，则 b=2a，2a b=0，故正确；当 x=1 时，函数对应的点在 x 轴下方，则 a+b+c0，则正确；则 y1 和 y2 的大小无法判断，则错误故选 C点评： 本题考查了二次函数的性质，主要考查了利用图象求出 a，b，c 的范围，以及特殊
6、值的代入能得到特殊的式子5. （2015 内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第 11 题 3 分）二次函数 y=（x+2） 21 的图象大致为（ ）A B C考点： 二次函数的图象分析： 根据函数解析式判断出抛物线的对称轴、开口方向和顶点坐标即可解答： 解：a=10，抛物线开口向上，由解析式可知对称轴为 x=2，顶点坐标为（2，1） 故选：D点评： 本题主要考查的是二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键6. （2015 天津 ,第 12 题 3 分） （2015 天津）已知抛物线 y= x2+ x+6 与 x 轴交于点 A，点 B，与 y 轴交于点 C若 D 为 AB 的中点，则 CD
7、 的长为（ ）A B C D考点： 抛物线与 x 轴的交点分析： 令 y=0，则 x2+ x+6=0，由此得到 A、B 两点坐标，由 D 为 AB 的中点，知OD 的长，x=0 时，y=6 ，所以 OC=6，根据勾股定理求出 CD 即可解答： 解：令 y=0，则 x2+ x+6=0，解得：x 1=12，x 2=3A、B 两点坐标分别为（12，0） （3，0）D 为 AB 的中点，D（4.5，0） ，OD=4.5，当 x=0 时，y=6，OC=6，CD= = 故选：D点评： 本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系和抛物线的对称性，求出 AB 中点 D 的坐标是解决问题的关键7.（2015 贵
8、州省贵阳 ,第 10 题 3 分）已知二次函数 y=x 2+2x+3，当 x2 时，y 的取值范围是（ ）Ay3 B y3 C y3 D y3考点： 二次函数的性质分析： 先求出 x=2 时 y 的值，再求顶点坐标，根据函数的增减性得出即可解答： 解：当 x=2 时，y= 4+4+3=3，y=x 2+2x+3=（x1） 2+4，当 x1 时，y 随 x 的增大而减小，当 x2 时，y 的取值范围是 y3，故选 B点评： 本题考查了二次函数的性质的应用，能理解二次函数的性 质是解此题的关键，数形结合思想的应用8. （2015 贵州省黔东南州 ,第 10 题 4 分）如图，已知二次函数 y=ax2
9、+bx+c（a0）的图象如图所示，给出以下四个结论：abc=0，a+b+c0，ab，4ac b 20；其中正确的结论有（ ）A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个考点： 二次函数图象与系数的关系分析： 首先根据二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过原点，可得 c=0，所以 abc=0；然后根据 x=1 时，y0，可得 a+b+c0；再根据图象开口向下，可得 a0，图象的对称轴为x= ，可得 ，b0，所以 b=3a，a b；最后根据二次函数 y=ax2+bx+c 图象与x 轴有两个交点，可得0，所以 b24ac0，4acb 20，据此解答即可解答： 解：二次函数 y=ax2+bx+c
10、 图象经过原点，c=0，abc=0正确；x=1 时，y0，a+b+c0，不正确；抛物线开口向下，a0，抛物线的对称轴是 x= ， ，b0，b=3a，又a0，b0，ab，正确；二次函数 y=ax2+bx+c 图象与 x 轴有两个交点，0，b 24ac0，4acb 20，正确；综上，可得正确结论有 3 个：故选：C点评： 此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小：当 a0 时，抛物线向上开口；当a0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a与 b 同号时（即 ab0） ，对称轴
11、在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴右 （简称：左同右异）常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点 抛物线与 y 轴交于（0，c） 9. （2015 黑龙江省大庆 ,第 9 题 3 分）已知二次函数 y=a（x2） 2+c，当 x=x1 时，函数值为 y1；当 x=x2 时，函数值为 y2，若|x 12|x 22|，则下列表达式正确的是（ ）A y1+y2 0 B y1y 20 C a（y 1y 2）0 D a（y 1+y2）0考点： 二次函数图象上点的坐标特征分析： 分 a0 和 a0 两种情况根据二次函数的对称性确定出 y1 与 y2 的大小关系，然后对各选
12、项分析判断即可得解解答： 解：a0 时，二次函数图象开口向上，|x12|x 22|，y1y 2，无法确定 y1+y2 的正负情况，a（y 1y 2）0，a0 时，二次函数图象开口向下，|x12|x 22|，y1y 2，无法确定 y1+y2 的正负情况，a（y 1y 2）0，综上所述，表达式正确的是 a（y 1y 2）0故选 C点评： 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性，难点在于根据二次项系数 a 的正负情况分情况讨论10. （2015 辽宁省盘锦 ,第 8 题 3 分）如图是二次函数 y=ax2+bx+c=（a0 ）图象的一部分，对称轴是直线 x=2关于下列结论：
13、ab0；b 24ac0；9a3b+c0；b4a=0 ；方程 ax2+bx=0 的两个根为x1=0，x 2=4，其中正确的结论有（ ）A B C D 考点： 二次函数图象与系数的关系分析： 由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断解答： 解：抛物线开口向下，a0， =2，b=4a，ab0 ，错误，正确，抛物线与 x 轴交于4，0 处两点，b 24ac0，方程 ax2+bx=0 的两个根为 x1=0，x 2=4，正确，当 a=3 时 y0，即 9a3b+c0，错误，故正确的
14、有故选：B点评： 本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求 2a 与 b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用11 （4 分） （2015黔西南州） （第 9 题）如图，在 RtABC 中，C=90 ，AC=4cm，BC=6cm，动点 P 从点 C 沿 CA，以 1cm/s 的速度向点 A 运动，同时动点 O 从点C 沿 CB，以 2cm/s 的速度向点 B 运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动则运动过程中所构成的CPO 的面积 y（cm 2）与运动时间 x（s）之间的函数图象大致是（ ）A B C D 考点： 动点问题的函数
15、图象；二次函数的图象专题： 压轴题；动点型分析： 解决本题的关键是正确确定 y 与 x 之间的函数解析式解答： 解：运动时间 x（s） ，则 CP=x，CO=2x；SCPO= CPCO= x2x=x2则 CPO 的面积 y（cm 2）与运动时间 x（s）之间的函数关系式是：y=x 2（0x3） ，故选：C点评： 解决本题的关键是读懂图意，确定函数关系式二、填空题1. （2015 宁德 第 15 题 4 分）二次函数 y=x24x3 的顶点坐标是（ 2 ， 7 ） 考点： 二次函数的性质分析： 先把 y=x24x3 进行配方得到抛物线的顶点式 y=（x 2） 27，根据二次函数的性质即可得到其顶
16、点坐标解答： 解：y=x 24x3=x24x+47=（x2） 27，二次函数 y=x24x+7 的顶点坐标为（2，7） 故答案为（2，7） 点评： 本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式是解题的关键2 （2015 福建龙岩 15，3 分）抛物线 y=2x24x+3 绕坐标原点旋转 180所得的抛物线的解析式是 y=2x 24x3 考点： 二次函数图象与几何变换分析： 根据旋转的性质，可得 a 的绝对值不变，根据中心对称，可得答案解答： 解：将 y=2x24x+3 化为顶点式，得 y=2（x1） 2+1，抛物线 y=2x24x+3 绕坐标原点旋转 180所得的抛物线的解析式是 y=
17、2（x+1） 21，化为一般式，得y=2x 24x3，故答案为：y=2x 24x3点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了中心对称的性质3. （2015 辽宁省朝阳 ,第 15 题 3 分）一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间 t（s）之间具有函数关系 h=at2+19.6t，已知足球被踢出后经过 4s 落地，则足球距地面的最大高度是 19.6 m 考点： 二次函数的应用分析： 首先由题意得：t=4 时，h=0，然后再代入函数关系 h=at2+19.6t 可得 a 的值，然后再利用函数解析式计算出 h 的最大值即可解答： 解：由题意得：t=4 时，h
18、=0，因此 0=16a+19.64，解得：a=4.9，函数关系为 h=4.9t 2+19.6t，足球距地面的最大高度是： =19.6（m） ，故答案为：19.6点评： 此题主要考查了二次函数的应用，关键是正确确定函数解析式，掌握函数函数图象经过的点必能满足解析式三、解答题1. （2015 福建 第 22 题 10 分）已知二次函数 y=x2+2x+m（1）如果二次函数的图象与 x 轴有两个交点，求 m 的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点 A（3，0） ，与 y 轴交于点 B，直线 AB 与这个二次函数图象的对称轴交于点 P，求点 P 的坐标考点 ： 抛物线与 x 轴的交点；二次函数的性
19、质.分析： （1）由二次函数的图象与 x 轴有两个交点，得到=2 2+4m0 于是得到 m1；（2）把点 A（3，0）代入二次函数的解析式得到 m=3，于是确定二次函数的解析式为：y=x2+2x+3，求得 B（0，3） ，得到直线 AB 的解析式为：y= x+3，把对称轴方程 x=1，直线 y=x+3 即可得到结果解答： 解：（1）二次函数的图象与 x 轴有两个交点，=2 2+4m0，m1；（2）二次函数的图象过点 A（3，0） ，0=9+6+mm=3，二次函数的解析式为：y=x 2+2x+3，令 x=0，则 y=3，B（0，3） ，设直线 AB 的解析式为：y=kx+b， ，解得： ，直线
20、AB 的解析式为：y= x+3，抛物线 y=x2+2x+3，的对称轴为：x=1，把 x=1 代入 y=x+3 得 y=2，P（1，2） 点评： 本题考查了二次函数与 x 轴的交点问题，求函数的解析式，知道抛物线的对称轴与直线 AB 的交点即为点 P 的坐标是解题的关键2. （2015 甘南州第 17 题 7 分）已知抛物线 y=ax2+bx+3 的对称轴是直线 x=1（1）求证：2a+b=0；（2）若关于 x 的方程 ax2+bx8=0 的一个根为 4，求方程的另一个根考点：二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；抛物线与 x 轴的交点.分析：（1）直接利用对称轴公式代入求出即可；（2）根据
21、（1）中所 求，再将 x=4 代入方程求出 a，b 的值，进而解方程得出即可解答：（1）证明：对称轴是直线 x=1= ，2a+b=0；（2）解：ax 2+bx8=0 的一个根为 4，16a+4b 8=0，2a+b=0，b=2a，16a8a 8=0，解得：a=1，则 b=2，ax 2+bx8=0 为：x 22x8=0，则（x4 ） （x+2）=0，解得：x 1=4，x 2=2，故方程的另一个根为：2点评：此题主要考查了二次函数的性质以及一元二次方程的解法等知识，得出 a，b 的值是解题关键3. （2015 宁德 第 24 题 4 分）已知抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点，
22、与 y 轴交于点 C，O 是坐标原点，点 A 的坐标是（ 1，0） ，点 C 的坐标是（0， 3） （ 1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线 BC 的函数表达式和ABC 的度数；（3）P 为线段 BC 上一点，连接 AC，AP，若ACB=PAB，求点 P 的坐标考点： 二次函数综合题分析： （1）直接将 A，C 点坐标代入抛物线解析式求出即可；（2）首先求出 B 点坐标，进而利用待定系数法求出直线 BC 的解析式，进而利用 CO，BO的长求出ABC 的度数；（3）利用ACB=PAB ，结合相似三角形的判定与性质得出 BP 的长，进而得出 P 点坐标解答： 解：（1）将点 A 的坐标（ 1，0
23、） ，点 C 的坐标（0， 3）代入抛物线解析式得：，解得： ，故抛物线解析式为：y=x 22x3；（2）由（1）得：0=x 22x3，解得：x 1=1，x 2=3，故 B 点坐标为：（3，0） ，设直线 BC 的解析式为：y=kx+d，则 ，解得： ，故直线 BC 的解析式为：y=x3，B（3，0） ，C（0， 3） ，BO=OC=3，ABC=45；（3）过点 P 作 PDx 轴于点 D，ACB=PAB ，ABC=PBA，ABP CBA， = ，BO=OC=3，BC=3 ，A（1 ，0） ，B （3，0） ，AB=4， = ，解得：BP= ，由题意可得：PDOC ，则BDP BOC，故 =
24、= ，则 = = ，解得：DP=BD= ，DO= ，则 P（ ， ） 点评： 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数和二次函数解析式等知识，熟练应用相似三角形的判定方法得出ABPCBA 是解题关键4. （2015 福建 第 24 题 12 分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为 A（1，1）的抛物线经过点 B（5，3） ，且与 x 轴交于 C，D 两点（点 C 在点 D 的左侧） （1）求抛物线的解析式；（2）求点 O 到直线 AB 的 距离；（3）点 M 在第二象限内的抛物线上，点 N 在 x 轴上，且MND=OAB ，当DMN 与OAB 相似时，请你直接写出点 M 的坐
25、标考点： 二次函数综合题.分析： （1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式；（2）根据勾股定理，可得 OA2、OB 2、AB 2 的长，根据勾股定理的逆定理，可得OAB 的度数，根据点到直线的距离的定义，可得答案；（3）根据抛物线上的点满足函数解析式，可得方程，根据相似三角形的性质，可得方程，根据解方程组，可得 M 点的坐标解答： 解：（1）设抛物线的解析式为 y=a（x1） 21，将 B 点坐标代入函数解析式，得（5 1） 2a1=3，解得 a= 故抛物线的解析式为 y= （x 1） 21；（2）由勾股定理，得 OA2=11+12=2，OB 2=52+32=34，AB 2=（5 1） 2+（
26、3+1） 2=32，OA2+AB2=OB2，OAB=90，O 到直线 AB 的距离是 OA= ；（3）设 M（a，b） ，N（a，0）当 y=0 时， （ x1） 21=0，解得 x1=3，x 2=1，D（3，0） ，DN=3 a当MNDOAB 时， = ，即 = ，化简，得 4b=a3 M 在抛物线上，得 b= （a 1） 21 联立，得 ，解得 a1=3（不符合题意，舍） ，a 2=2，b= ，M1（2， ） ，当MNDBAO 时， = ，即 = ，化简，得 b=124a ，联立，得 ，解得 a1=3（不符合题意，舍） ，a 2=17，b=1 24（ 17）=80，M2（17，80） 综上
27、所述：当DMN 与OAB 相似时，点 M 的坐标（2， ） ， （ 17，80） 点评： 本题考查了二次函数综合题， （1）设成顶点式的解析式是解题关键， （2）利用了勾股定理及勾股定理的逆定理，点到直线的距离；（3）利用了相似三角形的性质，图象上的点满足函数解析式得出方程组是解题关键，要分类讨论，以防遗漏5. （2015 甘南州第 22 题 9 分）如图，折叠矩形 OABC 的一边 BC，使点 C 落在 OA 边的点 D 处，已知折痕 BE=5 ，且 = ，以 O 为原点，OA 所在的直线为 x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线 l：y= x2+ x+c 经过点 E，且与 AB 边相交
28、于点 F（1）求证：ABDODE；（2）若 M 是 BE 的中点，连接 MF，求证：MFBD；（3）P 是线段 BC 上一点，点 Q 在抛物线 l 上，且始终满足 PDDQ，在点 P 运动过程中，能否使得 PD=DQ？若能，求出所有符合条件的 Q 点坐标；若不能，请说明理由考点：二次函数综合题.分析：（1）由折叠和矩形的性质可知EDB=BCE=90，可证得EDO= DBA，可证明ABDODE；（2）由条件可求得 OD、OE 的长，可求得抛物线解析式，结合（1）由相似三角形的性质可求得 DA、AB，可求得 F 点坐标，可得到 BF=DF，又由直角三角形的性质可得MD=MB，可证得 MF 为线段
29、BD 的垂直平分线，可证得结论；（3）过 D 作 x 轴的垂线交 BC 于点 G，设抛物线与 x 轴的两个交点分别为 M、N，可求得DM=DN=DG，可知点 M、N 为满足条件的点 Q，可求得 Q 点坐标解答：（1）证明：四边形 ABCO 为矩形，且由折叠的性质可知BCE BDE，BDE=BCE=90，BAD=90，EDO+BDA= BDA+DAB=90 ，EDO=DBA，且EOD= BAD=90，ABDODE；（2）证明： = ，设 OD=4x， OE=3x，则 DE=5x，CE=DE=5x，AB=OC=CE+OE=8x，又ABDODE， = = ，DA=6x ，BC=OA=10x，在 Rt
30、 BCE 中 ，由勾股定理可得 BE2=BC2+CE2，即（5 ） 2=（10x） 2+（5x） 2，解得x=1，OE=3，OD=4，DA=6 ，AB=8，OA=10 ，抛物线解析式为 y= x2+ x+3，当 x=10 时，代入可得 y= ，AF= ，BF=AB AF=8 = ，在 Rt AFD 中，由勾股定理可得 DF= = = ，BF=DF，又 M 为 RtBDE 斜边上的中点，MD=MB，MF 为线段 BD 的垂直平分线，MF BD；（3）解：由（2）可知抛物线解析式为 y= x2+ x+3，设抛物线与 x 轴的两个交点为 M、N，令 y=0，可得 0= x2+ x+3，解得 x=4
31、或 x=12，M（4，0） ，N（12，0） ，过 D 作 DGBC 于点 G，如图所示，则 DG=DM=DN=8，点 M、N 即为满足条 件的 Q 点，存在满足条件的 Q 点，其坐标为（ 4，0）或（12，0） 点评：6. （2015 甘南州第 28 题 12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y= x2+bx+c，经过 A（0，4） ，B （x 1，0） ，C （x 2，0）三点，且|x 2x1|=5（1）求 b，c 的值；（2）在抛物线上求一点 D，使得四边形 BDCE 是以 BC 为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点 P，使得四边形 BPOH 是以 OB 为对角线的菱形？若
32、存在，求出点 P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由考点： 二次函数综合题分析： （1）把 A（0，4）代入可求 c，运用两根关系及|x 2x1|=5，对式子合理变形，求b；（2）因为菱形的对角线互相垂直平分，故菱形的另外一条对角线必在抛物线的对称轴上，满足条件的 D 点，就是抛物线的顶点；（3）由四边形 BPOH 是以 OB 为对角线的菱形，可得 PH 垂直平分 OB，求出 OB 的中点坐标，代入抛物线解析式即可，再根据所求点的坐标与线段 OB 的长度关系，判断是否为正方形即可解答： 解：（1）抛物线 y= x2+bx+c，经过点 A（0， 4） ，c=4又 由题意可知
33、，x 1、x 2 是方程 x2+bx4=0 的两个根，x1+x2= b，x 1x2=6由已知得（x 2x1） 2=25又 （x 2x1） 2=（x 2+x1） 24x1x2= b224 b224=25解得 b= ，当 b= 时，抛物线与 x 轴的交点在 x 轴的正半轴上，不合题意，舍去b= （2）四边形 BDCE 是以 BC 为对角线的菱形，根据菱形的性质，点 D 必在抛物线的对称轴上，又 y= x2 x4= （x+ ） 2+ ，抛物线的顶点（ ， ）即为所求的点 D（3）四边形 BPOH 是以 OB 为对角线的菱形，点 B 的坐标为（6，0） ，根据菱形的性质，点 P 必是直线 x=3 与抛
34、物线 y= x2 x4 的交点，当 x=3 时，y= （3） 2 （3） 4=4，在抛物线上存在一点 P（ 3，4） ，使得四边形 BPOH 为菱形四边形 BPOH 不能成为正方形，因为如果四边形 BPOH 为正方形，点 P 的坐标只能是（3 ，3 ） ，但这一点不在抛物线上点评： 本题考查了抛物线解析式的求法，根据菱形，正7 （2015 辽宁铁岭） （第 24 题）某蔬菜经销商去蔬菜生产基地批发某种蔬菜，已知这种蔬菜的批发量在 20 千克60 千克之间（含 20 千克和 60 千克）时，每千克批发价是 5 元；若超过 60 千克时，批发的这种蔬菜全部打八折，但批发总金额不得少于 300 元（
35、1）根据题意，填写如表：蔬菜的批发量（千克） 25 60 75 90 所付的金额（元） 125 300 300 360 （2）经调查，该蔬菜经销商销售该种蔬菜的日销售量 y（千克）与零售价 x（元/千克）是一次函数关系，其图象如图，求出 y 与 x 之间的函数关系式；（3）若该蔬菜经销商每日销售此种蔬菜不低于 75 千克，且当日零售价不变，那么零售价定为多少时，该经销商销售此种蔬菜的当日利润最大？最大利润为多少元？考点： 二次函数的应用；一次函数的应用分析： （1）根据这种蔬菜的批发量在 20 千克60 千克之间（含 20 千克和 60 千克）时，每千克批发价是 5 元，可得 605=300
36、元；若超过 60 千克时，批发的这种蔬菜全部打八折，则 9050.8=360 元；（2）把点（5，90） ， （6，60）代入函数解析式 y=kx+b（ k0） ，列出方程组，通过解方程组求得函数关系式；（3）利用最大利润=y（x4） ，进而利用配方法求出函数最值即可解答： 解：（1）由题意知：当蔬菜批发量为 60 千克时：605=300（元） ，当蔬菜批发量为 90 千克时：9050.8=360（元） 故答案为：300，360；（2）设该一次函数解析式为 y=kx+b（k0） ，把点（5， 90） ， （6，60）代入，得，解得 故该一次函数解析式为：y=30x+240；（3）设当日可获利润
37、 w（元） ，日零售价为 x 元，由（2）知，w=（ 30x+240） （x50.8 ） =30（x6） 2+120，当 x=6 时，当日可获得利润最大，最大利润为 120 元点评： 此题主要考查了一次函数的应用以及二次函数的应用，得出 y 与 x 的函数关系式是解题关键8 （2015 辽宁铁岭） （第 26 题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+ 与 x 轴交于 A（3，0） ，B（1，0）两点与 y 轴交于点 C，点 D 与点 C 关于抛物线的对称轴对称（1）求抛物线的解析式，并直接写出点 D 的坐标；（2）如图 1，点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿
38、 AB 匀速运动，到达点B 时停止运动以 AP 为边作等边APQ （点 Q 在 x 轴上方） ，设点 P 在运动过程中，APQ 与四边形 AOCD 重叠部分的面积为 S，点 P 的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 之间的函数关系式；（3）如图 2，连接 AC，在第二象限内存在点 M，使得以 M、O、A 为顶点的三角形与AOC 相似请直接写出所有符合条件的点 M 坐标考点： 二次函数综合题分析： （1）直接代入求得函数解析式即可，由点 D 与 C 对称求得点 D 坐标即可；（2）由特殊角的三角函数值得出DAP=60，则点 Q 一直在直线 AD 上运动，分别探讨当点 P 在线段 AO 上；点 Q
39、 在 AD 的延长线上，点 P 在线段 OB 上以及点 Q 在 AD 的延长线上，点 P 在线段 OB 上时的重叠面积，利用三角形的面积计算公式求得答案即可；（3）由于 OC= ，OA=3， OAOC，则OAC 是含 30的直角三角形，分两种情况探讨：当AMO 以AMO 为直角的直角三角形时；当AMO 以OAM 为直角的直角三角形时；得出答案即可解答： 解：（1）抛物线 y=ax2+bx+ 经过 A（3，0） ，B（1，0）两点， ，解得 ，抛物线解析式为 y= x2 x+ ；则 D 点坐标为（2， ） （2）点 D 与 A 横坐标相差 1，纵坐标之差为 ，则 tanDAP= ，DAP=60，
40、又APQ 为等边三角形，点 Q 始终在直线 AD 上运动，当点 Q 与 D 重合时，由等边三角形的性质可知： AP=AD=2当 0t2 时，P 在线段 AO 上，此时APQ 的面积即是 APQ 与四边形 AOCD 的重叠面积AP=t，QAP=60，点 Q 的纵坐标为 tsin60= t，S= tt= t2当 2t3 时，如图：此时点 Q 在 AD 的延长线上，点 P 在 OA 上，设 QP 与 DC 交于点 H，DCAP，QDH=QAP=QHD=QPA=60，QDH 是等边三角形，S=S QAPS QDH ， QA=t，S QAP = t2QD=t 2，S QDH = （t2） 2，S= t2
41、 （t2） 2= t 当 3t4 时，如图：此时点 Q 在 AD 的延长线上，点 P 在线段 OB 上，设 QP 与 DC 交于点 E，与 OC 交于点 F，过点 Q 作 AP 的垂涎，垂足为 G，OP=t3，FPO=60，OF=OPtan60= （t3） ，SFOP= （t3） （t3）= （t 3） 2，S=S QAPS QDE S FOP ，S QAP S QDE = t S= t （t3） 2= t2+4 t 综上所述，S 与 t 之间的函数关系式为 S= （3）OC= ，OA=3，OAOC，则OAC 是含 30的直角三角形当AMO 以 AMO 为直角的直角三角形时；如图：过点 M2
42、作 AO 的垂线，垂足为 N，M 2AO=30，AO=3，M 2O= ，又OM 2N=M2AO=30，ON= OM2= ，M 2N= ON= ，M 2 的坐标为（ ， ） 同理可得 M1 的坐标为（ ， ） 当AMO 以OAM 为直角的直角三角形时；如图：以 M、O、A 为顶点的三角形与OAC 相似， = ，或 = ，OA=3 ，AM= 或 AM=3 ，AMOA，且点 M 在第二象限，点 M 的坐标为（3， ）或（3，3 ） 综上所述，符合条件的点 M 的所有可能的坐标为（3， ） ， （3，3 ） ， （ ，） ， （ ， ） 点评： 此题考查二次函数的综合运用，图形的运动，待定系数法求函数
43、解析式，特殊角的三角函数，三角形的面积，分类讨论是解决问题的关键9 （16 分） （2015黔西南州） （第 26 题）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 ABOC如图放置，将此平行四边形绕点 O 顺时针旋转 90得到平行四边形 ABOC抛物线y=x 2+2x+3 经过点 A、C、A三点（1）求 A、A、C 三点的坐标；（2）求平行四边形 ABOC 和平行四边形 ABOC重叠部分COD 的面积；（3）点 M 是第一象限内抛物线上的一动点，问点 M 在何处时，AMA的面积最大？最大面积是多少？并写出此时 M 的坐标考点： 二次函数综合题分析： （1）利用抛物线与 x 轴的交点问题可求出 C（1
44、，0） ，A（3，0） ；计算自变量为 0 时的函数值可得到 A（0 ，3） ；（2）先由平行四边形的性质得 ABOC，AB=OC，易得 B（1，3） ，根据勾股定理和三角形面积公式得到 OB= ，S AOB = ，再根据旋转的性质得ACO= OCD，OC=OC=1 ，接着证明CODBOA，利用相似三角形的性质得 =（ ） 2，则可计算出SCOD ；（3）根据二次函数图象上点的坐标特征，设 M 点的坐标为（m，m 2+2m+3） ，0m3，作 MNy 轴交直线 AA于 N，求出直线 AA的解析式为 y=x+3，则N（m，m+3 ） ，于是可计算出 MN=m 2+3m，再利用 SAMA =SAN
45、M +SMNA 和三角形面积公式得到 SAMA = m2+ m，然后根据二次函数的最值问题求出AMA的面积最大值，同时刻确定此时 M 点的坐标解答： 解：（1）当 y=0 时，x 2+2x+3=0，解得 x1=3，x 2=1，则 C（1，0） ，A（ 3， 0） ；当 x=0 时，y=3，则 A（0，3） ；（2）四边形 ABOC 为平行四边形，ABOC，AB=OC ，而 C（1，0） ，A（0，3） ，B（1，3）OB= = ，S AOB = 31= ，又 平行四边形 ABOC 旋转 90得平行四边形 ABOC，ACO=OCD，OC=OC=1，又 ACO=ABO，ABO=OCD又 COD=A
46、OB， CODBOA， =（ ） 2=（ ） 2= ，S COD= = ；（3）设 M 点的坐标为（m， m 2+2m+3） ，0m 3，作 MNy 轴交直线 AA于 N，易得直线 AA的解析式为 y=x+3，则 N（m，m+3） ，MN=m 2+2m+3（m+3）=m 2+3m，S AMA=SANM +SMNA= MN3= （m 2+3m）= m2+ m= （m ） 2+ ，当 m= 时，S AMA 的值最大，最大值为 ，此时 M 点坐标为（ ） 点评： 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质、抛物线与 x 轴的交点和二次函数的最值问题；会运用旋转的性质和平行四边形的性质；会利用相似三角形的性质计算三角形的面积10 （2015 辽宁抚顺） （第 23 题，12 分）一个批发商销售成本为 20 元/千克的某产品，根据物价部门
