1、潮阳林百欣中学 2015-2016 学年度第一学期第一阶段考试高二级理科数学试卷本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择）题两部分，满分 150 分考试用时 120 分钟第卷（选择题，共 60 分）一、选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. )1若直线 1l和 2是异面直线， 1l在平面 内， 2l在平面 内， l是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是 （ ）A l至少与 1l， 2中的一条相交 B l与 1， 2l都相交C 至多与 ， 中的一条相交 D 与 ， 都不相交2设平面 平面 ， A ， B ， C 是 AB 的中点，当 A、 B 分别在 、 内运动时，那么所
2、有的动点 C ( )A不共面 B当且仅当 A、 B 在两条给定的平行直线上移动时才共面C当且仅当 A、 B 在两条相交直线上移动时才共面 D不论 A、 B 如何移动都共面3. 已知 是两条不同直线， 是三个不同平面，下列命题中正确的为 ( ),mn,A若 则 B若 则, ,mnnC若 ，则 D若 则,n n , 4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A B C D3442435平面 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 的距离为 ，则此球的体积为 2( ) A B C D81264346.表面积为 3 的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为(
3、 )A1 B2 C3 D47如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，若 E 是 AD 的中点，则直线 A1B 与直线 C1E 的位置关系是( )jOCBD APA平行 B相交 C共面 D垂直8如图，已知 ABC 为直角三角形，其中 ACB90， M 为 AB 中点， PM 垂直于 ABC 所在平面，那么( )A PA PB PC B PA PB PCC PA PB PC D PA PB PC9.各棱长都相等的四面体的内切球和外接球的体积之比为( )A127 B19 C13 D9110.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A
4、B C D8171615111如图，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，线段 B1D1上有两个动点 E、 F，且 EF ，则下列结论中错误的是 ( )12A AC BE B三棱锥 A BEF 的体积为定值C EF平面 ABCD D AEF 的面积与 BEF 的面积相等12如图， PA平面 ABCD ，四边形 ABCD 是矩形，下列结论中不正确的是( )A PD BD B PD CD C PB BC D PA BD 第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）13水平放置的 的斜二测直观图如右图所示，已知 ， ABC3A，则 边上中
5、线的实际长度为_214如图所示，在 ABC 中， ACB90， AB8， ABC60， PC平面ABC， PC4， H 是 AB 上一个动点，则 PH 的最小值为_15如图所示， ABCDA1B1C1D1是棱长为 的正方体， M、 N 分别是下底面的棱aA1B1，B1C1的中点， P 是上底面的棱 AD 上的一点， AP ，过 P、 M、 N 的平面交3上底面于 PQ， Q 在 CD 上，则 PQ_.16.在平面四边形 ABCD 中， A= B= C=75， BC=2 ， 则 AB 的取值范围为 _.三、解答题：(本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步)17（本
6、小题满分 10 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中， E， F， G， H 分别是 AB， AC， A1B1， A1C1的中点，求证：(1) B， C， H， G 四点共面；(2)平面 EFA1平面 BCHG.18. （本小题满分 12 分）如图，空间四边形 ABCD 中， E、 F、 G 分别在 AB、 BC、 CD 上，且满足AE EB CF FB21， CG GD31，过 E、 F、 G 的平面交 AD 于点 H.(1)求 AH HD；(2)求证： EH、 FG、 BD 三线共点.19. （本小题满分 12 分）设 2()sincos()4fxx(1)求 的单调区间；(2)在锐角
7、ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 若 求 ABC 面积的最大,.abc()0,12Afa值.20. （本小题满分 12 分）如图所示，三角形 PDC所在的平面与长方形 ABCD所在的平面垂直， 4PDC=，6AB=， 3.(1)证明： BC PD；(2)求点 到平面 A的距离PA BCDFG21. （本小题满分 12 分）如图所示,已知 平面 , , , , ,1ABC1/A3CB5271A, 点 分别是 的中点.721BFE(1)求证： 平面 ；/1(2)求证：平面 平面 .A1BC(3)求直线 与平面 所成角的大小.122. （本小题满分 12 分）如图，直三棱柱 1ABC中， A
8、BC， 1A， D为 1B的中点， E为 1AB上的一点， 3E（）证明： D为异面直线 1与 D的公垂线；（）设异面直线 1AB与 C的夹角为 45，求二面角11AC的正切值.高二理数第一学期第一段考答案ADBDDB DCADDACBAD1C1B1A113. 14. 2 15. a 16. （ ， ）57223 62+2 D：根据平行平面的性质，不论 A、 B 如何运动，动点 C 均在过 C 且与 ， 都平行的平面上4.D【解析】试题分析：由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为 1，母线长为 2，所以该几何体的表面积是 12234，故选 D6.B 解析 设圆锥的母线为 l，圆锥底
9、面半径为 r.则 l2 r23， l2 r， r1，即圆锥的底面直径为 2.127.D 解析：易证 A1B平面 AB1C1D，又 C1E平面 AB1C1D， A1B C1E.答案：D8.C 解析： M 是 Rt ABC 斜边 AB 的中点， MA MB MC.又 PM平面 ABC， MA、 MB、 MC 分别是 PA、 PB、 PC 在平面 ABC 上的射影 PA PB PC.9. A 解析:设四面体的内切球半径为 r,外接球半径为 R,四面体各面面积为 S,则 4 Sr= S(R+r),解得 R=3r,所以四面体的内切球和外接球的体积之比为 127.故选 A.10.D 【解析】由三视图得，在
10、正方体 1ABCD中，截去四面体1ABD，如图所示，设正方体棱长为 a，则 1326Va，故剩余几何体体积为 33156a，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 511.D 解析：如图，正方体 ABCD A1B1C1D1中， AC BD， AC BB1， BD BB1 B， AC平面BB1D1D，BE平面 BB1D1D， AC BE，A 对 EF DB， EF平面 ABCD，B 对S BEF EFBB1 1 ， AO平面12 12 12 14BB1D1D， AO ， VA BEF ，22 13 14 22 224三棱锥的体积为定值，C 对14.解析：作 CH AB 于 H，连 PH， PC面
11、 ABC， PH AB， PH 为 PM 的最小值，等于 2 .715 解析：平面 ABCD平面 A1B1C1D1， MN PQ. M、 N 分别是 A1B1、 B1C1的中点， AP ，a3 CQ ，从而 DP DQ ， PQ a.答案： aa3 2a3 223 22316 试题分析：如图所示，延长 BA，CD 交于 E，平移 AD，当 A 与 D 重合与 E 点时，AB 最长，在BCE 中，B= C=75，E=30，BC=2，由正弦定理可得 ，即 ，解得 = ，siniBCEoo2sin30i75B6+2平移 AD ，当 D 与 C 重合时，AB 最短，此时与 AB 交于 F，在BCF 中
12、，B=BFC=75，FCB=30，由正弦定理知， ，sinsiBC即 ，解得 BF= ，所以 AB 的取值范围为（ ， ）.oo2sin30i75BF6262+17.证明 (1) GH 是 A1B1C1的中位线， GH B1C1.又 B1C1 BC， GH BC， B， C， H， G 四点共面.(2) E、 F 分别为 AB、 AC 的中点， EF BC， EF平面 BCHG， BC平面 BCHG， EF平面 BCHG. A1G EB 且 A1G=EB，四边形 A1EBG 是平行四边形， A1E GB. A1E平面 BCHG， GB平面 BCHG. A1E平面 BCHG. A1E EF E，
13、平面 EFA1平面 BCHG.18(1)解 2， EF AC，AEEB CFFB EF平面 ACD，而 EF平面 EFGH，平面 EFGH平面 ACD GH， EF GH， AC GH. 3. AH HD31.AHHD CGGD(2)证明 EF GH，且 ， ， EF GH， EFGH 为梯形.EFAC 13 GHAC 14令 EH FG P，则 P EH，而 EH平面 ABD，又 P FG， FG平面 BCD，平面 ABD平面BCD BD， P BD.EH、 FG、 BD 三线共点.19 解：（）由 1111()sin2cos(2)sin2sin2ifxxxx由 得 ，2,kkZ,4kkZ则
14、 的递增区间为 ；()fx,4由 得 ，32,kk3,4kxk则 的递增区间为 .()fx,Z（）在锐角 中， , ,而ABC11()sin0,sin22fA6A1,a由余弦定理可得 ，当且仅当 时等号21co3()6bbcbcbc成立，即 ， ，3c123sinsi264ABCS 故 面积的最大值为 .ABC2420【答案】 （1）因为四边形 D是长方形，所以 CD，因为平面 C平面D，平面 平面 CA， 平面 A，所以 平面 D，因为 平面 ，所以 （2）取 C的中点 ，连结 和 ，因为 ，所以 ，在 Rt中，22437，因为平面 DC平面 ，平面 D平面 CDA， 平面 ，所以 平面 ，
15、由（1）知： 平面 ，又 C/，所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，设点 到平面 的距离为 h，因为 CDCDVAA三 棱 锥 三 棱 锥 ，所以DCD13ShA，即 CD1367224ShA，所以点 到平面的距离是 37221（I）证明：如图,连接 ,在 中,因为 E 和 F 分别是 BC, 的1AB1C1AC中点,所以 ,又因为 EF 平面 , 所以 EF平面 ./EFBAB（II）因为 AB=AC,E 为 BC 中点,所以 ,因为 平面 ABC, 1所以 平面 ABC,从而 ,又 ,所以 平面 ,又1/AB1B1ECAE1CB因为 平面 ,所以平面 平面 .A1BPA BCD EFG考点
16、：1.空间中线面位置关系的证明；2.直线与平面所成的角22 解法一：（I）连接 A1B，记 A1B 与 AB1的交点为 F.因为面 AA1BB1为正方形，故 A1BAB 1，且 AF=FB1，又 AE=3EB1，所以 FE=EB1，又 D 为 BB1的中点，故 DEBF，DEAB 1. 3 分作 CGAB，G 为垂足，由 AC=BC 知，G 为 AB 中点.又由底面 ABC面 AA1B1B.连接 DG，则 DGAB 1，故 DEDG，由三垂线定理，得 DECD.所以 DE 为异面直线 AB1与 CD 的公垂线.（II）因为 DGAB 1，故CDG 为异面直线 AB1与 CD 的夹角，CDG=4
17、5设 AB=2，则 AB1= ，DG= ，CG= ，AC= .223作 B1HA 1C1，H 为垂足，因为底面 A1B1C1面 AA1CC1，故 B1H面 AA1C1C.又作 HKAC 1，K 为垂足，连接 B1K，由三垂线定理，得 B1KAC 1，因此B 1KH 为二面角 A1-AC1-B1的平面角.，32211 A ,3211H,7,732121 ACHKC 的正切值为11,4tanHBK所 以 二 面 角1B14【点评】三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段.通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处.
