1、著名几何定理,目录(带“*”的表示作为了解或“证明：略”)：,1、勾股定理（毕达哥拉斯定理） 2、射影定理（欧几里得定理） 3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分（重心定理） 4、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL 5、欧拉定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线（欧拉线），而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半 6、三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆。通常称这个圆为九点圆（nine-point circle），或欧拉圆、费尔巴哈圆。 7、库立奇*大上
2、定理：（圆内接四边形的九点圆） 8、旁心定理及其性质 9、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2) 10、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有nAB2+mAC2=(m+n)AP2+mPB2+nPC2 11、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 12、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上 13、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有ABCD+ADBC=
3、ACBD 14、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰BDC、CEA、AFB，则DEF是正三角形。,目录(带“*”的表示作为了解或“证明：略”)：,15、爱尔可斯定理1：若ABC和DEF都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的中心构成的三角形也是正三角形。 *16、爱尔可斯定理2：若ABC、DEF、GHI都是正三角形，则由三角形ADG、BEH、CFI的重心构成的三角形是正三角形。 17、梅涅劳斯定理：当直线交ABC三边所在直线 BC,AC,AB 于点 D,E,F时 18、梅涅劳斯定理的应用定理1：设ABC的A的外角平分线交边CA于Q、C的平分线交边AB于R
4、，、B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线。 *19、梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线 。 20、塞瓦定理是指在ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 21、西摩松定理：从ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线（这条直线叫西摩松线）。 22、卡诺定理：在外接圆半径为R，内接圆半径为r的三角形ABC中，r和R有如下关系 23、凡奥贝尔定理：任意一个四边形，在其边外侧构造一个正方形。
5、将相对的正方形的中心连起，得出两条线段。线段的长度相等且互相垂直（凡奥贝尔定理适用于凸凹四边形）。 *24、清宫定理：设P、Q为ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线 。,著名几何定理,目录(带“*”的表示作为了解或“证明：略”)：,*25、莫利定理（Morleys theorem）：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相交得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。 26、笛沙格定理1：平面
6、上有两个三角形ABC、DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。 27、蝴蝶定理（Butterfly Theorem）：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。 28、弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半 29、相交弦定理：若圆内任意弦AB、弦CD交于点P，则PAPB=PCPD 30、正弦，余弦定理，各种三角函数定理。,著名几何定理,1、勾股定理（毕达哥拉斯定理）,证明：“如果将大正方形边长为c的小正方形沿对角线切开，则回到了加菲尔德证 法。相反，
7、若将上图中两个梯形拼在一起，就变为了此证明方法。 大正方形的面积等于中间正方形的面积加上四个三角形的面积，即:,CD2=ADBD;AC2=A DAB;BC2=BDAB;ACBC=ABCD 证明：CD2+AD2=AC2,CD2+BD2=BC2 2CD2+AD2+BD2=AC2+BC2 2CD2=AB2-AD2-BD2 2CD2=(AD+BD)2-AD2-BD2 2CD2=AD2+2ADBD+BD2-AD2-BD2 2CD2=2ADBD CD2=ADBD CD2=ADBD(已证) CD2+AD2=ADBD+AD2 AC2=AD(BD+AD) AC2=ADAB BC2=CD2+BD2 BC2=ADB
8、D+BD2 BC2=(AD+BD)BD BC2=ABBD BC2=ABBD SACB=1/2ACBC=1/2ABCD 1/2ACBC=1/2ABCD ACBC=ABCD,2、射影定理（欧几里得定理）,3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分（重心定理）,证明： AD=AB/2， HF平行BE。 又BGE=FGH。 BGEFGH BG/GF=BE/FH。 又FH=DH BG/GF=BE/FH=BE/DH=2。 BG=（2/3）BF,4、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL,证明： 作ABC的外接圆，直径CN，连接AN、BN
9、 CN是直径 NBBC，NAAC ABBC，BEAC NB/AB，NA/BE 四边形ANBH是平行四边形 AHNB OMBC M是BC的中点 而O是CN的中点 OM是BCN的中位线 OMNB/2 AH2OM,设H,G,O,分别为ABC的垂心、重心、外心 。联结AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。 联结OD ，又因为O为外心，所以ODBC。联结AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以 AEBC。所以OD/AE，有ODA=EAD。由于G为重心，则GA:GD=2:1。 联结CG并延长交BA于F,则可知F为AB中点。同理，OF/CM.所以有OFC=MCF 联结FD，有FD平行AC,且有DF:AC
10、=1:2。FD平行AC，所以DFC=FCA，FDA=CAD，又OFC=MCF，ODA=EAD，相减可得OFD=HCA,ODF=EAC,所以有OFDHCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以HA:OD=GA:GD=2:1 又ODA=EAD，所以OGDHGA。所以OGD=AGH,又联结AG并延长，所以AGH+DGH=180,所以OGD+DGH=180。即O、G、H三点共线。,5、欧拉定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线（欧拉线），而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,6、三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点
11、共圆。通常称这个圆为九点圆（nine-point circle），或欧拉圆、费尔巴哈圆。,作图如下：ABC的BC边垂足为D，BC边中点为L， AC边垂足为E，AC边中点为M,AB边垂足为F，AB边中点为N, 垂心为H，AH,BH,CH中点分别为P,Q,R （思路：以PL为直径，其它任意某点，去证P某L为90）证明：（由中位线）PMCH，LMAB，又CHABPMLM，又PDLD PMDL共圆。 （由中位线）PRAC，LRBH，BHAC，所以PRLR PMRDL五点共圆。 PE为RtAHE斜边中线 角PEA等于PAE 同理LEC等于LCE所以PEL等于180减去ADC LEP等于90 PEMRDL
12、六点点共圆，PL为直径，同理PFNQL五点共圆,PL为直径 PEMRDLQNF九点共圆，PL为直径，PL中点(设为V)就是圆心 下证 九点圆的圆心在垂心与外心连线的中点 O为外心，OL平行等于AH一半（这个小定理我就不证明了）所以OL平行等于PH OLPH为平行四边形，V是PL中点，就是OH中点,7、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）,如图，四边形ABCD是圆内接四边形，O1,O2,O3,O4分别是ABC,BCD,CDA,DAB的 九点圆圆心，H1,H2,H3,H4分别是ABC,BCD,CDA,DAB的垂心，E为DB边上A的投影，显然AE过H4点，容易证明DH4E和ABE相似，所以有
13、DH4AB=DEAE=cosADB 同理有 CH1AB=cosACB=cosADB 所以CH1和DH4平行（垂直于同一条边）且相等，所以四边形CH1H4D是平行四边形，所以H1H4和CD平行且相等，同理可以证明： H1H2和AD平行且相等 H2H3和AB平行且相等 H3H4和BC平行且相等 所以四边形ABCD与四边形好H1H2H3H4对应边相等，对应角相等，即两个图形全等，所以H1,H2,H3,H4四点共圆,8、旁心定理及其性质,如左图，点M就是ABC的一个旁心。这个交点到三角形三边距离相等。旁心是三角形的一个内角平分线（如图中AZ）与其不相邻的两个外角平分线（如图中BX与CY)的交点，它到三
14、角形三边的距离相等。一个三角形有三个旁心（每条边对应一个）。 若设O为ABC的旁心,用向量表示则有 1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。 2、每个三角形都有三个旁心。,性质1 ：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。 性质2：旁心到三角形三边的距离相等。 性质3：三角形有三个旁切圆，三个旁心。旁心一定在三角形外。 性质4：直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半。 性质5：BI1C=90-A/2. 性质6：AP1=r1cot(A/2)=(a+b+c)/2. 性质7：AI1B=C/2. 性质8：SABC
15、=r1(b+c-a)/2. 性质9：r1=rp/(p-a). 性质10：r1=(p-b)(p-c)/r. 性质11：1/r1+1/r2+1/r3=1/r. 性质12：r1=r/(tanB/2)(tanC/2).,9、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2),如图，AI是ABC的中线，AH是高线。利用勾股定理来证明。在RtABH中，有AB=AH+BH 同理，有AI=AH+HI，AC=AH+CH 并且BI=CI 那么，AB+AC =2AH+BH+CH =2(AI-HI)+(BI-IH)+(CI+IH) =2AI-2HI+BI+IH-2BII
16、H+CI+IH+2CIIH =2AI+2BI,方法一：,方法二：,10、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有nAB2+mAC2=(m+n)AP2+mPB2+nPC2,设是m和d的夹角，是n和d的夹角。+=，cos = cos 。那么，根据余弦定理： c2=m2+d2-2mdcos， b2=n2+d2-2ndcos=n2+d2+2ndcos； 第一式两边乘以n，第二式两边乘以m，相加消去参数，即得 mb2+nc2=nm2+mn2+(m+n)d2=a(d2+mn)。,d,n,m,c,a,11、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的
17、直线垂直于CD,如图，运用几何证明。 ACBD，MEBC CBD=CME CBD=CAD，CME=AMF CAD=AMF AF=MF AMD=90，由直角三角形斜边中线定理逆定理可知，F是AD中点,12、阿波罗尼斯定理： 图中的就是阿波罗尼斯定理的公式，公式中标明了三角形三条边的边长和中线长度之间的数量关系，在图中三角形ABC中，角A对应的边为边a，角B对应的边为边b，角C对应的边为边c，图中ma、mb、mc分别为边a、b、c上的中线。阿氏圆：到两定点A、B的距离之比为定比m:n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上,阿波罗尼斯定理：,阿氏圆：,
18、13、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有ABCD+ADBC=ACBD,证明：（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。） 在任意凸四边形ABCD中(如右图)，作ABE使BAE=CAD ABE= ACD,连接DE. 则ABEACD 所以 BE/CD=AB/AC,即BEAC=ABCD (1)由ABEACD得AD/AC=AE/AB,又BAC=EAD, 所以ABCAED. BC/ED=AC/AD,即EDAC=BCAD (2) (1)+(2),得 AC(BE+ED)=ABCD+ADBC 又因为BE+EDBD （仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）,14、以任意
19、三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰BDC、CEA、AFB，则DEF是正三角形。,证：FAB=FBA=DBC=DCB=EAC=ECA=30 在多边形AFBDCE中作一点G,使AG=AF,GE=DC. 连接GF、GA、GE,DE、DF、EF. ABF、BCD、ACE均为底角等于30的等腰三角形（即FAB=FBA=DBC=DCB=EAC=ECA=30） ABFBCDACE AF/AB = AE/AC = DC/BC 而AG=AF,GE=DC AG/AB = AE/AC = GE/BC, AGEABCGAE=BAC,AGE=ABC FAG = EAF-GAE = E
20、AF-BAC = FAB+EAC = 60 又AG=AF AGF为等边三角形 AG=AF,AGF=60 FBD = ABC+FBA+DBC = ABC+60 FGE = AGE+AGF = AGE+60 FBD=FGE（AGE=ABC） 在FBD和FGE中, FB=FG,FBD=FGE,BD=GE FBDFGE(SAS) FD=FE 同理可证:FD=DE 则 DEF为等边三角形,倍长CG,CH易证JD=AC=BC=KE。又DF=EF 现在已知两条边，需证其夹角相等， 即证明JDF=KEF, 即证明其补角相等即KE不知道=JD不知道， 又对顶角，可证LDM=MEF.在八字DFEML中，LDM+L
21、=DME=MEF+MFE， 即证明L=MFE， 又DEF为等边三角形，MFE=60，证L=60。 延长BC,KE则图中两条粉线平行，延长AC,JD则图中两条绿线平行。 则L=N=ACB=60 L=MFE，亦可证明JDFKEF。 所以KF=JF. 又H,I为CK,CF中点 HI=1/2KF且KFC=HIC； G,I为CJ,CF中点 GI=1/2JF且DFC=GIC。 GI=HI，且HIC+GIC=KFC+DFC =60 三角形GHI为正三角形,15、爱尔可斯定理1：若ABC和DEF都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的中心构成的三角形也是正三角形。,*16、爱尔可斯定理2：若A1B1C1、A2
22、B2C2、A3B3C3都是正三角形，则由三角形A1A2A3、B1B2B3、C1C2C3的重心G1、G2、G3构成的三角形是正三角形。,证明：略,17、梅涅劳斯定理：当直线交ABC三边所在直线 BC,AC,AB 于点 D,E,F时,过点C作CPDF交AB于P，则,两式相乘得,证明一：,证明二：,连结CF、AD，根据“两个三角形等高时面积之比等于底边之比”的性质有。 AF：FB =SADF：SBDF（1）， BD：DC=SBDF：SCDF（2）， CE：EA=SCDE：SADE=SFEC：SFEA=（SCDE+SFEC）：（SADE+SFEA）=SCDF：SADF （3） （1）（2）（3）得,1
23、8、梅涅劳斯定理的应用定理1：设ABC的A的外角平分线交边CA于P、C的平分线交边AB于R，、B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线。,*19、梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线 。,20、塞瓦定理是指在ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则,（）本定理可利用梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）证明： ADC被直线BOE所截，(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ABD被直线COF所截， (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1 /约
24、分得： (DB/CD)(CE/EA)(AF/FB)=1 （）也可以利用面积关系证明 BD/DC=SABD/SACD=SBOD/SCOD=(SABD-SBOD)/(SACD-SCOD)=SAOB/SAOC 同理 CE/EA=SBOC/ SAOB ，AF/FB=SAOC/SBOC 得(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1,21、西摩松定理：从ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线（这条直线叫西摩松线）。,证明一：ABC外接圆上有点P，且PEAC于E，PFBC于F，PDAB于D，分别连FE、FD、BP、CP. 易证P、
25、B、D、F和P、F、C、E分别共圆，（四点共圆） 在PBDF圆内，DBP+DFP=180度，在ABPC圆内ABP+ACP =180度， DFP=ACP ，在PFCE圆内 PFE=PCE 而ACP+PCE=180 DFP+PFE=180 即D、F、E共线. 反之，当D、F、E共线时，由可见A、B、P、C共圆.,22、卡诺定理：在外接圆半径为R，内接圆半径为r的三角形ABC中，r和R有如下关系,证明： 假设ABC为外心为D的锐角三角形，外心到AB、BC、AC的距离分别为DG、DH、DF，则在三角形HDB中，由外心性质可得 DB=R 角HDB=角A 由此，DH的表达式为 DH=RcosA 同理DG=
26、RcosC、DF=RcosB。 因此， 根据引理，得证 DG+DH+DF=R+r 当ABC为钝角三角形，且角B大于90时，则有 DH=RcosA DF=Rcos(-B)=-RcosB DG=RcosC 所以DG+DH-DF=R(cosA+cosB+cosC)=R+r 结论相同，卡诺定理得证。,23、凡奥贝尔定理：任意一个四边形，在其边外侧构造一个正方形。将相对的正方形的中心连起，得出两条线段。线段的长度相等且互相垂直（凡奥贝尔定理适用于凸凹四边形）。,*24、清宫定理：设P、Q为ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW
27、和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线 。,证明：略,*25、莫利定理（Morleys theorem）：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相交得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。,设ABC中，AQ,AR,BR,BP,CP,CQ为各角的三等分线，三边长为a,b,c,三内角为3，3，3，则+=60。 AE：AC=sin：sin（+）， AF：AB=sin：sin（+） ， AB：AC=sin3：sin3， AE:AF= （ACsin（+）/sin）：（ABsin（+）/sin） 而sin3：sin3
28、= （sinsin(60+)sin(60-) ）：（sin sin(60+) sin(60-) ）， AE：AF=sin(60+)：sin(60+)， 在AEF中，AEF=60+， 同理CED=60+， DEF=60， DEF为正三角形。,26、笛沙格定理1：平面上有两个三角形ABC、DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。,27、蝴蝶定理（Butterfly Theorem）：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。,证明：从X向AM和DM作垂线，设垂足分别为X和
29、X。类似地，从Y向BM和CM作垂线，设垂足分别为Y和Y,28、弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半,弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半。 等于它所夹的弧的圆周角度数。 如上图，已知：直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦。 求证：TCB=1/2BOC=BAC 证明：设圆心为O，连接OC，OB,。 OCB=OBC OCB=1/2*(180-BOC) 又BOC=2BAC OCB=90-BAC BAC=90-OCB 又TCB=90-OCB TCB=1/2BOC=BAC 综上所述：TCB=1/2BOC=BAC,29、相交弦定理：若圆内任意弦AB、弦CD交于
30、点P，则PAPB=PCPD,证明：连结AC，BD 由圆周角定理的推论，得A=D，C=B。（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.） PACPDB PAPD=PCPB PAPB=PCPD 注：其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性。其逆定理也可用于证明四点共圆。,30、正弦，余弦定理，各种三角函数定理。,1）和角公式和差角公式,30、正弦，余弦定理，各种三角函数定理。,2）二，三倍角公式,30、正弦，余弦定理，各种三角函数定理。,2）二，三倍角公式,30、正弦，余弦定理，各种三角函数定理。,3）和差化积公式,30、正弦，余弦定理，各种三角函数定理。,4）万能公式,30、正弦，余弦定理，各种三角函数定理。,5）和差化积公式,30、正弦，余弦定理，各种三角函数定理。,6）积化和差公式,30、正弦，余弦定理，各种三角函数定理。,7）三倍角公式（二倍角延伸）,30、正弦，余弦定理，各种三角函数定理。,
