1、概率论与数理统计,教材：概率论与数理统计 （经管类） 课程代码：4183 柳金甫 王义东 主编 武汉大学出版社,本课程的重点章是第1、2、3、4、7、8章.,（1）试题的难度可分为：易，中等偏易，中等偏难，难。,它们所占分数依次大致为：20分，40分，30分，10分。,（2）试题的题型有：选择题(10*2=20分)、填空题 (15*2=30分)、计算题 (2*8=16分)、综合题(2*12=24分)、应用题(1*10=10分)。,（3）在试题中，概率论和数理统计内容试题分数的分布大 致是75分和25分.,概率论是研究什么的？,概率论从数量上研究随机现象的统计规律性的科学。,序 言,数理统计从应
2、用角度研究处理随机性数据，建立有效的统计方法，进行统计推理。,目 录,第一章 随机事件与概率(重点) 第二章 随机变量及其概率分布(重点) 第三章 多维随机变量及其概率分布(重点) 第四章 随机变量的数字特征(重点) 第五章 大数定律及中心极限定理 第六章 统计量及其抽样分布 第七章 参数估计(重点) 第八章 假设检验(重点) 第九章 回归分析,第一章 随机事件与概率,1.1 随机事件 1.2 概率 1.3 条件概率 1.4 事件的独立性,1.1.1 随机现象现象按照必然性分为两类：一类是确定性现象；一类是随机现象。在一定条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，我们预先无法断言，这类
3、现象成为随机现象。,1.1 随机事件, 1.1.2 随机试验和样本空间,试验的例子,上述试验的特点： 1.试验的可重复性可在相同条件下重复进行； 2.一次试验结果的随机性一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现，但能确定所有的可能结果。 3.全部试验结果的可知性所有可能的结果是预先可知的。在概率论中，将具有上述三个特点的试验成为随机试验， 简称试验。随机试验常用E表示。,1、样本空间: 试验的所有可能结果所组成的集合称为试验E的样本空间,记为.,样本空间,2、样本点:试验的每一个可能出现的结果成为一个样本点,用字母表示.,下面分别写出上述各试验 所对应的样本空间,1.1.3 随机事件,1.定义
4、样本空间的任意一个子集称为随机事件, 简称“事件”.记作A、B、C等。,例在试验E2中，令A表示“出现奇数点”，A就是一个随机事件。 A还可以用样本点的集合形式表示，即A=1，3，5.它是样本 空间的一个子集。,事件发生：例如，在试验E2中，无论掷得1点、3点还是5点， 都称这一次试验中事件A发生了。,基本事件：样本空间仅包含一个样本点的单点子集。,例，在试验E1中H表示“正面朝上”，就是个基本事件。,两个特殊的事件,必然事件：；,不可能事件：.,既然事件是一个集合，因此有关事件间的关系、 运算及运算规则也就按集合间的关系、运算及运算规 则来处理。,1.包含关系与相等：“ 事件 A发生必有事件
5、B发生” ，记为AB。AB AB且BA.,1.1.4、事件之间的关系,2.和事件： “事件A与事件B至少有一个发生”，记作AB或A+B。,推广：n个事件A1, A2, An至少有一个发生，记作,显然： 1.AAB，BAB； 2.若AB，则AB=B。,3.积事件 :事件A与事件B同时发生，记作 AB 或AB。,推广：n个事件A1, A2, An同时发生，记作 A1A2An,显然： 1.ABA，ABB； 2.若AB，则AB=A。,4.差事件 ：AB称为A与B的差事件,表示事件 A发生而事件B不发生,显然： 1.A-BA； 2.若AB，则A-B=。,5.互不相容事件（也称互斥的事件） 即事件A与 事
6、件B不可能同时发生。AB 。,6.对立事件 AB , 且AB ,思考：事件A和事件B互不相容与事件A和事件B互 为对立事件的区别.,显然有：,事件的运算律,1、交换律：ABBA，ABBA。,2、结合律：(AB)C=A(BC)， (AB)CA(BC)。,3、分配律：(AB)C(AC)(BC)，(AB)C(AC)(BC)。,4、对偶(De Morgan)律：,例1-4、设A、B、C表示三个事件，试以A，B，C的运算表示以下事件： （1）仅A发生； （2）A，B，C都发生； （3）A，B，C都不发生； （4）A，B，C不全发生； （5）A，B，C恰有一个发生。,解,例1-5 某射手向一目标射击3次,
7、Ai表示“第i次射击命中目标”, i=1,2,3.Bj表示“三次射击恰命中目标j次”,j=0,1,2,3.试用 A1,A2,A3的运算表示Bj,j=0,1,2,3.,解,例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分 别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下 列事件：,本节课主要讲授：1.随机现象；2.随机试验和样本空间；3.随机事件的概念；4.随机事件的关系和运算（重点）。,小 结,1.2 概 率,1.2.1 频率与概率,频率的性质：,频率是概率的近似值，概率P(A)也应有类似特征：,2.等可能性：每个基本事件发生的可能性相同.,1.2.2 古典概型,理论上,具有下面
8、两个特点的随机试验的概率模型,称为古典概型：,1.有限性：基本事件的总数是有限的,换句话说样本空间仅含有有限个样本点;,设事件A中所含样本点个数为r ,样本空间中样本点 总数为n,则有,古典概型中的概率:,例1-7 掷一枚质地均匀的骰子,求出现奇数点的概率。,事件“出现奇数点”用A表示,则A=1,3,5,所含样本 点数r=3,从而,解： 显然样本空间=1,2,3,4,5,6,样本点总数n=6,解1:试出现正面用H表示,出现反面用T表示,则样本空间 =HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT,样本点总数n=8.,A=TTH，THT，HTT，B=HHH， C=HHH, THH
9、,HTH, HHT, TTH,THT, HTT,所以A,B,C中样本点数分别为rA=3,rB=1,rC=7,例1-8 抛一枚均匀硬币3次,设事件A为“恰有1次出现面”, B为“恰有2次出现正面”,C为“至少一次出现正面”,试求 P(A),P(B),P(C).,则P(A)=rAn= 38, P(B)=rBn=18, P(C)=rCn= 78.,例1-9 从0,1,2,9等10个数字中任意选出3个不同数字,试 求3个数字中不含0和5的概率.,解 设A表示“3个数字中不含0和5”.从0,1,2,9中任意选3个不同的数字,共有 种选法, 即基本事件总数n= .3个数中不含0和5,是从1,2,3,4,6
10、,7,8,9共8个数中取得,选法有 ,即A包含的基本事件数 ,则,例1-10 从1,2,9这9个数字中任意取一个数,取后放回,而 后再取一数,试求取出的两个数字不同的概率.,解 基本事件总数n= ,因为第一次取数有9种可能取法,这时可重复排列问题.设A表示“取出的两个数字不同”. A包含的基本事件数9*8因为第一次取数有9种可能取法,为保证两个数不同,第二次取数应从另外的8个数中选取,有8种可能取法,r=9*8,故 P(A)=rn= 9*8 =89,(2)采取放回抽样：第一次抽取共有100种取法，取后放回，第二次抽取仍有100种取法，即基本事件总数n=1002.在这种 情况下，A中包含的基本事
11、件数r仍为97*3，故,例1-12 一批产品共有100件，其中3件次品，现从这批产品中接连抽取两次，每次抽取一件，考虑两种情况： （1）不放回抽样：第一次取一件不放回，第二次再抽取一件； （2）放回抽样：第一次抽取意见检查后放回，第二次再抽取一件. 试分别针对上述两种情况，求事件A“第一次取到正品，第二次取到次品的概率”。,解 (1)采取不放回抽样：由于要考虑2件产品取出的顺序，接 连两次抽取共有 种取法，即基本事件总数 .第一次 取到正品共有97种取法，第二次取到次品共有3种取法，则A中包含的基本事件数是r=97*3，故,计算古典概型的概率还可以利用概率的性质，后面将有这方面的例子：由古典概
12、型中事件概率的计算公式易知概率具有下列 性质：,(3)当A与B互不相容时，有P(AUB)=P(A)+P(B). 这个性质可以推广：当A1，A2，Am互不相容时，有其中m是正整数. 当A1，A2，Am互不相容时，有,1.定义若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数 P(A)满足条件： (1) P(A) 0； (2) P()1； (3) 可列可加性：设A1，A2，, 是一列两两互不相容的事件，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. 则称P(A)为事件A的概率。,1.2.3 概率的定义与性质,概率的性质
13、,性质 1-1,性质 1-2 对于任意事件A,B有 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB).,特别地,当A与B互不相容时, P(AUB)=P(A)+P(B).,性质1-2可推广：对于任意事件A,B,C有P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC). 当A1,A2,An互不相容时：P(A1UA2UUAn)=P(A1)+P(A2)+P(An).,性质1-3 P(B-A)=P(B)-P(AB).,特别地,当A B时,P(B-A)=P(B)-P(A),且P(A) P(B).,性质 1-4 P(A)1 P(A).,例1-13 已知12种产品中有2
14、件次品,从中任意抽取4件产品,求至少取得1件次品(记为A)的概率.,例1-14 设A,B为两个随机事件, P(A)=0.5, P(AUB)=0.8,P(AB)=0.3, 求P(B).,解 由P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB),得P(B)=P(AUB)-P(A)+P(AB)=0.8-0.5+0.3=0.6.,解 由性质1-5可知，,小 结,本节课的重点：（1）古典概型事件概率的计算；（2）概率的性质及其应用.,1.3.1 条件概率与乘法公式,例1-17 某工厂有职工400名,其中男女职工各占一半,男女职 工中优秀的分别为20人与40人.从中任选一名职工,试问：（1）该职工技术优秀的概率
15、是多少？（2）已知选出的是男职工,他技术优秀的概率是多少？,1.3 条件概率,1 定义 ：已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率称为A 条件下B的条件概率,记作P(B|A).,定义1-2 设A,B是两个事件,且P(B)0,称,为在事件B发生条件下事件A发生的概率. 显然，P(A)0时，,计算条件概率有两个基本的方法：一、是用定义计算；二、是在古典概型中利用古典概型的计算方法直接计算.,例1-18 在全部产品中有4%是废品,有72%为一等品.现从 中任取一件为合格品,求它是一等品的概率.,解 设A表示“任取一件为合格品”,B表示“任取一件为一等品”, 显然B A, P(A)=96%, P(AB
16、)=P(B)=72%, 则所求概率为,解 设A表示“第一次取球取出的是白球”,B表示“第二次取 球取出的是黑球”,所求概率为P(B|A).,由于第一次取球取出的是白球,所以第二次取球时盒中 有5个黑球2个白球,由古典概型的概率计算方法得,例1-20 盒中有5个黑球3个白球,连续不放回的从中取两 次球,每次取一个,若已知第一次取出的是白球,求第二次取 出的是黑球的概率.,性质2 若A与B互不相容，则,性质3,条件概率的性质,性质1,概率的乘法公式： (1)当P(A)0时，有P(AB)=P(A)P(B|A). (2)当P(B)0时，有P(AB)=P(B)P(A|B). 乘法公式还可以推广到n个事件
17、的情况： (1)设P(AB)0时，则P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB). 同理还有P(AC)0， P(BC)0之下的乘法公式. (2)设P(A1A2An-1)0,则 P(A1A2An-1)=P(A1)P(A2|A1)P(An|A1A2An-1).,例1-21 在10个产品中,有2件次品,不放回的抽取2次产品,每 次取一个,求取到的两件产品都是次品的概率.,解 设A表示“第一次取产品取到次品”,B表示“第二次取产 品取到次品”,则 故,例1-22 盒中有5个白球2个黑球,连续不放回的在其中取3 次球,求第三次才取到黑球的概率.,解 设Ai(i=1,2,3)表示“第i次取到黑球”,于
18、是所求概率为,例1-23 设P(A)=0.8,P(B)=0.4,P(B|A)=0.25,求P(A|B).,解,1.3.2 全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式,定义1-3 设事件A1,A2,An满足如下两个条件： (1)A1,A2,An互不相容,且P(Ai)0,i=1,2,n; (2)A1 A2 An=,即A1,A2,An至少有一个发 生,则称A1,A2,An为样本空间的一个划分.,全概率公式 设随机试验对应的样本空间为,设A1,A2,An 是样本空间的一个划分,B是任意一个事件,则,注：全概率公式求的是无条件概率,例1-24 盒中有5个白球3个黑球,连续不放回地从中取两 次球,每次取一个,求
19、第二次取球取到白球的概率.,解 设A表示“第一次取球取到白球”,B表示“第二次取球取到 白球”,则,由全概率公式得,例1-25 在某工厂中有甲、乙、丙三台机器生产同一型号的产品, 它们的产量各占30%, 35%, 35%,并且在各自的产品中废品率分别为 5%, 4%, 3%. 求从该厂的这种产品中任取一件是废品的概率.,解 设A1表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为甲所生产”, A2表示 “从该厂的这种产品中任取一件产品为乙所生产”, A3表示“从该厂的这 种产品中任取一件产品为丙所生产”,B表示“从该厂的这种产品中任取一件为次品”,则,P(A1)=30%， P(A2)=35%, P(A3)
20、=35%, P(B|A1)=5%, P(B|A2)=4%, P(B|A3)=3%.,由全概率公式得,例1-26 设在n(n1)张彩票中有1张奖券,甲、乙两人依次 摸一张彩票,分别求甲、乙两人摸到奖券的概率.,解 设A表示“甲摸到奖券”,B表示“乙摸到奖券”.现在目的是求P(A),P(B), 显然P(A)=1/n.,因为A是否发生直接关系到B的概率,即,于是由全概率公式得,这个例题说明,购买彩票时,不论先买后买,中奖机会是均等的,这就是所 谓的“抽签公平性”.,贝叶斯(Bayes)公式 设A1,A2,An是样本空间的一个划分,B 是任一事件,且P(B)0,则,例1-27 在例1-24的条件下,若
21、第二次取到白球,求第一次取 到黑球的概率.,解 使用例1-24解中记号,所求概率为 ,由贝叶斯公式,注：Bayes公式求的是条件概率.,例1-27 在例1-25的假设下,若任取一件是废品,分别求它 是甲、乙、丙生产的概率.,解 由贝叶斯公式，,例1-28 针对某种疾病进行一种化验,患该病的人中有90%呈阳性反应, 而未患该病的人中5%呈阳性反应.设人群中有1%的人患这种病.若某人 做这种化验呈阳性反应,则他换这种疾病的概率是多少?,解 设A表示“某人患这种病”，B表示“化验呈阳性反应”，则,由全概率公式得,再由贝叶斯公式得,本题的结果表明，化验呈阳性反应的人中，只有15%左右真 正患有该病.,
22、例题 小明的父母亲每月有且仅有一人给他寄钱,假设母亲每 月给他寄钱的概率是0.8. 小明打算国庆假期去上海看世博会在母亲给他寄钱的时候小明能去上海的概率是0.1,父亲给他寄钱的时候小明能去上海的概率是0.9. 求： (1) 小明能去上海看世博会的概率是多少？ (2) 假如现在国庆假期已过,小明已经去过上海,求他父母亲给他寄钱的概率各是多少？,1、全概率公式及其应用；(求无条件概率),小 结,2、贝叶斯公式及其应用。(求条件概率),定义1-4 若P(AB)=P(A)P(B) ,则称A与B相互独立,简称A,B独立.,1.4 事件的独立性,1.4.1 两事件独立,性质1-5 设P(A)0,则A与B相
23、互独立的充分必要条件是P(B)=P(B|A).,设P(B)0,则A与B相互独立的充分必要条件是P(A)=P(A|B).,由性质1-6知，,例1-30 两射手彼此独立地向同一目标射击,设甲射中目标的概率为0.9,乙射中目标的概率为0.8,求目标被击中的概率.,解 设A表示“甲射中目标”, B表示“乙射中目标”, C表示“目 标被击中”,则C=AB,A与B相互独立,P(A)=0.9,P(B)=0.8， 故,P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) =0.9+0.8-0.9*0.8=0.98.,或利用对偶律亦可.,注：A，B相互独立时,概率加法公式可以简化,即当A与B相互独立时,例1-3
24、1 袋中有5个白球3个黑球,从中有放回地连续取两次,每次取一个球,求两次取出的都是白球的概率.,解 设A表示“第一次取球取到白球”,B表示“第二次取球取到白球”,由 于是有放回抽取,A与B是相互独立的,所求概率为,例1-32 设A与B相互独立,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等,且P(A)=1/3，求P(B).,即,解得,解 由题意，P(AB)=P(AB)，因为A与B相互独立，则A与B，A与B都相互独立，故,P(A)P(B)=P(A)P(B)，,二、多个事件的独立,定义1-5 若三个事件A、B、C满足：P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(
25、B)P(C), 则称事件A、B、C两两相互独立；,若在此基础上还满足： P(ABC)P(A)P(B)P(C), 则称事件A、B、C相互独立, 简称A、B、C独立.,一般地,设A1,A2,An是n个事件,如果对任意k(1kn), 任意的1i1i2 ik n,具有等式P(A i1 A i2 A ik)P(A i1)P(A i2)P(A ik) 则称n个事件A1,A2,An相互独立。,思考： 1.设事件A、B、C、D相互独立，则,2.三个事件相互独立和两两独立的关系.,AUB与CD独立吗？,例1-33 3人独立地破译一个密码,他们能单独译出的概 率分别为 1/5, 1/3, 1/4. 求此密码被译出
26、的概率.,解法1 设A,B,C分别表示3人能单独译出密码，则所求概率为P(ABC)，且A,B,C独立，P(A)= 1/5 ，P(B)= 1/3 ，P(C)= 1/4.,于是,解法 2 用解法1的记号，,比较起来, 解法1要简单一些,对于n个相互独立事件 A1,A2,An,其和事件A1A2An的概率可以通过下 式计算：,例1-34 3门高射炮同时对一架敌机各发一炮,它们的命中率分别为0.1, 0.2, 0.3,求敌机恰中一弹的概率。,解 设Ai表示“第i门炮击中敌机”,i=1,2,3, B表示“敌机恰中一弹”,则,已知P(A)=1/2,P(B)=1/3,且A,B相互独立,则P( )=_.,设随机
27、事件A与B相互独立,P(A)=P(B)=0.5,则P(AB)= .设随机事件A与B相互独立,P(A)=0.2,P(B)=0.8,则P(A|B)=_,练 习,0.75,0.2,设两两独立的三个随机事件A，B，C满足ABC=，且 P(A)=P(B)=P(C)=x，则当x= 时，P(ABC)= .,n重贝努利(Bernoulli)试验：试验只要两个结果A和A,而且P(A)=p,0p1.将试验独立 重复进行n次,则称为n重贝努利试验.此类试验的概率模型成 为贝努利概型.,定理1-1 在n重贝努利试验中,设每次试验中事件A的概率为 p(0p1),事件A恰好发生k次的概率,1.4.2 n重贝努利(Bern
28、oulli)试验,例1-35 一射手对一目标独立射击4次,每次射击的命中率为0.8,求： （1）恰好命中两次的概率； （2）至少命中一次的概率。,解 因每次射击是相互独立的,故此问题可看做4重贝努力试验,p=0.8,(1)设事件A2表示“4次射击恰好命中两次”,则所求的概率为,(2)设事件B表示“4次射击中至少命中一次”,有A0表示“4次射击都未命 中”,则,故所求的概率为,例1-36 一车间有5台同类型的且独立工作的机器.假设在任 一时刻t,每台机器出故障的概率为0.1,问在同一时刻 (1) 没有机器出故障的概率是多少?（0.59049） (2) 至多有一台机器出故障的概率是多少？（0.91
29、854）,例1-37 转炉炼钢,每一炉钢的合格率为0.7.现有若干台转炉 同时冶炼.若要求至少能够炼出一炉合格钢的把握为99%. 问同时至少要有几台转炉炼钢？（4台）,某气象站天气预报的准确率0.8，且各次预报之间相互独立. 试求： （1）5次预报全部准确的概率p1； （2）5次预报中至少有1次准确的概率p2； （3）5次预报中至少有4次准确的概率p3; （4）5次预报中至多有1次准确的概率p4; （5）直到第5次才预报准确的概率p5.,练 习,小 结,1、事件的独立性；,2、n重贝努利(Bernoulli)试验.,第二章随机变量,随机变量概念 分布函数的概念和性质 离散型随机变量及其分布律
30、连续型随机变量概率密度函数 随机变量函数分布,2.1.1随机变量的概念,定义 2.1 设E是随机试验，样本空间为，如果对每一个结果（样本点），有一个实数X()与之对应，这样就得到一个定义在上的实值函数X=X()称为随机变量.随机变量常用X，Y，Z，.或X1，X2，X3，,.,顾名思义，随机变量就是“其值随机会而定”的变量，正如随机事件是“其发生与否随机会而定”的事件机会表现为试验结果，一个随机试验有许多可能的结果，到底出现哪一个要看机会，即有一 定的概率最简单的例子如掷骰子，掷出的点数X是一个随机变量，它可以取1，6等6个值到底是哪一个，要等掷了骰子以后才知道因此又可以说，随机变量就是试验结果
31、的函数从这一点看，它与通常的函数概念又没有什么不同把握这个概念的关键之点在于试验前后之分：在试验前我们不能预知它将取何值，这要凭机会，“随机”的意思就在这里，一旦试验后，取值就确定了比如你在星期一买了张奖券，到星期五开奖在开奖之前，你这张奖券中奖的金额X是一个随机变量，其值耍到星期五的“抽奖试验”做过以后才能知道,2.1.2 离散型随机变量及其分布律,定义2-2 若随机变量X只能取有限多个或可列无限多个值，则称X为离散型随机变量。,定义2-3 X为离散型随机变量，可能取值为x1, x2, , xn, 且 PX=xk=pk, (k=1, 2, ) 则称Pk为X的分布律或分布列，概率分布。,X x
32、1 x2 xK Pk p1 p2 pk ,分布律也可用表格形式表示,2.2离散型随机变量,(P25)定义 若随机变量X取值x1, x2, , xn, 且取这些值的概率依次为p1, p2, , pn, , 则称X为离散型随机变量，而称 PX=xk=pk, (k=1, 2, ) 为X的分布律或概率分布。可表为X PX=xk=pk, (k=1, 2, )， 或,X x1 x2 xK Pk p1 p2 pk ,分布律Pk具有下列性质：,反之，若一个数列Pk具有以上两条性质，则它必可作为某离散型随机变量的分布律。,例2-1 设离散型随机变量X的分布律为,X 0 1 2 P 0.2 C 0.3,求常数C.
33、,例2-2 投一枚质地均匀的骰子，记X为出现的点数，求X的分布律。,例2-3 袋子里有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5.从中同时取出3个球，记X为取出球的最大编号，求X的分布律.,例2-4 已知一批零件共10个，其中有3个不合格.现任取一件使用，若取到不合格零件，则丢弃，再重新抽取一个，如此下去，试求取到合格零件之前取出的不合格零件个数X的分布律。,例2-5 对某一目标连续进行射击，直到击中目标为止.如果每次射击的命中率为p，求射击次数X的分布律.,2.1.3 0-1分布与二项分布,定义2-4 若随机变量X只取两个可能值0，1，且PX=1=p，PX=0=q，X 0 1P q p,定义
34、2-5 若随机变量X的可能取值为0，1，2，.,n, 而X的分布律为,其中0p1,q=1-p,则称X服从参数为n，p的二项分布，简记为XB(n,p).,例2-6 某特效药的临床有效率为0.95.现有10人服用，问至少有8人治愈的概率是多少？,例2-7 设XB(2,p)，YB(3,p). 设PX1=5/9, 设求PY1.,2.1.4 泊松分布,定义2-6 设随机变量X的可能取值为0,1,2,.,n,.,而X的分布律为,其中 ，则称X服从参数为 的泊松分布，简记为,例2-9 设随机变量X服从参数为5的泊松分布，求 （1）PX=10； （2）PX10.,例2-10 设X服从泊松分布，且已知PX=1=PX=2，求PX=4.,小 结,本节课主要讲授： 1 、随机变量的概念； 2、离散型随机变量的概念及其分布律； 3、三个重要分布: 0-1分布、二项分布、泊松分布.,2.2 随机变量的分布函数,2.2.1 分布函数的概念.,定义2-7 设X为随机变量，称函数,为X的分布函数。,当X为离散型随机变量时，设X的分布律为,例 2-11 设离散型随机变量X的分布律为X -1 0 1 2P 0.2 0.1 0.3 0.4 求X的分布律。,
