1、http:/ http:/ 免注册、免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载难点 37 数形结合思想数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合.应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决.运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征. 难点磁场1.曲线 y=1+ (2x2)与直线 y=r(x2)+
2、4 有两个交点时，实数 r 的取值范围4.2.设 f(x)=x22ax+2,当 x1,+) 时，f(x) a 恒成立，求 a 的取值范围.案例探究例 1设 A=x2xa，B= yy=2x+3，且 xA，C =zz=x 2，且 xA ，若 C B，求实数 a 的取值范围.命题意图：本题借助数形结合，考查有关集合关系运算的题目.属级题目.知识依托：解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合 C.进而将 C B 用不等式这一数学语言加以转化.错解分析：考生在确定 z=x2，x2,a的值域是易出错，不能分类而论.巧妙观察图象将是上策.不能漏掉 a2 这一种特殊情形.技巧与方法：解决集合
3、问题首先看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决.解：y =2x+3 在2, a上是增函数1y2a+3，即 B=y1 y2a+3作出 z=x2 的图象，该函数定义域右端点 x=a 有三种不同的位置情况如下：当2a0 时，a 2z4 即 C=zz 2z4要使 C B,必须且只须 2a+34 得 a 与2a0 矛盾.1当 0a2 时，0z4 即 C=z0z4，要使 C B，由图可知：必须且只需 3解得 a21http:/ a2 时，0za 2，即 C=z0za 2，要使 C B 必须且只需解得 2a3当 a
4、2 时，A= 此时 B=C= ，则 C B 成立.综上所述，a 的取值范围是(, 2) ,3.21例 2已知 acos +bsin =c, acos +bsin =c(ab0, k, kZ)求证：.2cos命题意图：本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力.属级题目.知识依托：解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程.进而由 A、B 两点坐标特点知其在单位圆上.错解分析：考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一.如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二.技巧与方法：善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题.证明:在平面直角坐标系中，
5、点 A（cos ,sin ）与点 B（cos ,sin ）是直线 l:ax+by=c 与单位圆 x2+y2=1 的两个交点如图.从而：AB 2=(cos cos )2+(sin sin )2=22cos( )又单位圆的圆心到直线 l 的距离 2|bacd由平面几何知识知OA 2( AB) 2=d2 即1bacd24)cos(21 .22s锦囊妙计应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：（1）集合的运算及韦恩图（2）函数及其图象（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析
6、几何方法.以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合.歼灭难点训练一、选择题http:/ sin(x )= x 的实数解的个数是( )41A.2 B.3 C.4 D.以上均不对2.（）已知 f(x)=(xa)(xb)2（其中 ab ，且 、 是方程 f(x)=0 的两根（ )，则实数 a、b、 、 的大小关系为( )A. ab B. a bC.a b D.a b二、填空题3.（）(4cos +32t)2+(3sin 1+2t)2，( 、t 为参数)的最大值是 .4.（）已知集合 A=x5x ,B=xx 2axxa，当 A B 时，则 a 的取1值范围是 .
7、三、解答题5.（）设关于 x 的方程 sinx+ cosx+a=0 在（0, ）内有相异解 、 .3（1）求 a 的取值范围；（2）求 tan( + )的值.6.（）设 A=(x,y)y= ,a0 ，B=(x,y) (x 1)2+(y3)2=a2,a0, 且 AB2，求 a 的最大值与最小值.7.（）已知 A（1，1）为椭圆 =1 内一点，F 1 为椭圆左焦点，P 为椭圆上一动点.592x求PF 1 +PA 的最大值和最小值 .8.（）把一个长、宽、高分别为 25 cm、20 cm、5 cm 的长方体木盒从一个正方形窗口穿过，那么正方形窗口的边长至少应为多少？参 考 答 案难点磁场1.解析：方
8、程 y=1+ 的曲线为半圆，y =r(x2)+4 为过（2，4）的直线.24x答案：（ 43,1252.解法一：由 f(x)a，在1,+)上恒成立 x22ax+2a0 在1,+ ) 上恒成立.考查函数http:/ 的图象在1,+时位于 x 轴上方.如图两种情况：不等式的成立条件是：(1)=4 a24(2a)0 a( 2,1)(2) a( 3,2 ，综上所述 a( 3,1).0)1(g解法二：由 f(x)a x2+2a(2x+1)令 y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐标系中作出两个函数的图象.如图满足条件的直线 l 位于 l1 与 l2 之间，而直线 l1、l 2 对应的 a 值（即
9、直线的斜率）分别为 1，3，故直线 l 对应的 a(3,1).歼灭难点训练一、1.解析：在同一坐标系内作出 y1=sin(x )与 y2= x 的图象如图.4答案：B2.解析：a,b 是方程 g(x)=(xa)(xb)=0 的两根，在同一坐标系中作出函数 f(x)、g(x) 的图象如图所示：答案：A二、3.解析：联想到距离公式，两点坐标为 A(4cos ,3sin ),B(2t3,12t)点 A 的几何图形是椭圆，点 B 表示直线.考虑用点到直线的距离公式求解.答案： 27http:/ A=xx9 或 x3，B=x( xa)(x1)0 ，画数轴可得.答案：a3三、 5.解：作出 y=sin(x
10、+ )(x(0, )及 y= 的图象，知当 1 且 322a时，曲线与直线有两个交点，故 a(2, )( ,2).2 3把 sin + cos =a,sin + cos =a 相减得 tan ，332故 tan( + )=3.6.解：集合 A 中的元素构成的图形是以原点 O 为圆心， a 为半径的半圆；集合 B 中的元素是以点 O(1, )为圆心，a 为半径的圆.如图所示3A B ，半圆 O 和圆 O有公共点.显然当半圆 O 和圆 O外切时，a 最小a+a=OO=2, a min=2 22当半圆 O 与圆 O内切时，半圆 O 的半径最大，即 a 最大.此时 aa= OO=2,a max=2 +
11、2.7.解：由 可知 a=3,b= ,c=2，左焦点 F1(2,0),右焦点 F2(2,0).由椭圆定义，1592yx5PF 1=2 aPF 2=6PF 2,PF 1 +PA=6PF 2+PA=6+PA PF 2如图：由PA PF2AF 2= 知2)10()(2http:/ PA PF 2 .2当 P 在 AF2 延长线上的 P2 处时，取右“=”号；当 P 在 AF2 的反向延长线的 P1 处时，取左“=”号.即PA PF 2的最大、最小值分别为 ， .2于是PF 1+PA的最大值是 6+ ,最小值是 6 .8.解：本题实际上是求正方形窗口边长最小值.由于长方体各个面中宽和高所在的面的边长最小，所以应由这个面对称地穿过窗口才能使正方形窗口边长尽量地小.如图：设 AE=x,BE=y,则有 AE=AH=CF=CG=x，BE=BF=DG =DH=y 251022yy .10xAB
