1、第一节 一次方程(组)第二节 一元二次方程第三节 分式方程第四节 一元一次不等式(组),第二章 方程与不等式,第一节 一次方程(组),知识点一 一元一次方程及其解法 1方程：含有 _的等式叫做方程 2方程的解：使方程左、右两边的值相等的_的值， 叫做方程的解 3一元一次方程：在一个方程中，只含有 _未知数，而 且方程中的代数式都是 _，未知数的指数都是_，这 样的方程叫做一元一次方程,未知数,一个,整式,1,未知数,4等式的基本性质 (1)等式两边同时加(或减)同一个代数式，所得的结果仍 是等式即若ab，则ac _ (2)等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为0的数)， 所得结果仍是等式即若
2、ab，则ac _， _ (c0),bc,bc,5解一元一次方程时，目标是把原方程化为xc的形式， 一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并 同类项；(5)未知数的系数化为1.,解一元一次方程的实质是利用等式的基本性质对方程两边 进行恒等变形,知识点二 二元一次方程(组)及其解法) 1二元一次方程：含有 _未知数，并且所含未知数的 项的次数都是 _的方程叫做二元一次方程 2二元一次方程组：共含有两个未知数的两个一次方程所 组成的一组方程叫做二元一次方程组 3二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公 共解，叫做二元一次方程组的解,两个,1,解一元一次方程的实质是利用等
3、式的基本性质对方程两边 进行恒等变形,4二元一次方程组的解法 解二元一次方程组的主要思路是消元，即把两个未知数转 为一个未知数，主要方法有代入消元法和加减消元法,在解方程组时，分情况选择消元法能有效提高解题效率 一般当方程中某个未知数的系数为1或1时，或者常数项 为0时，选择代入消元法较为合适；否则，选择加减消元法 较为合适,知识点三 一次方程(组)的应用 1用一次方程(组)解决日常生活中的行程问题、工程问题、 营销中的利润问题、储蓄问题、折扣问题和其他一些常见 问题,2列方程解应用题的一般步骤为：(1)审，即审清题意， 分清题中的已知量和未知量；(2)设，即设出关键未知数； (3)列，即找出
4、题干中的等量关系，列方程；(4)解，即解 方程；(5)验，即检验结果是否正确或是否有实际意义； (6)答，即回归题中，规范作答,考点一 一元一次方程的解法 (5年1考) 例1(2015济南)若代数式4x5与 的值相等，则x的 值是( ) A1 B. C. D2,【分析】 根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值 【自主解答】 根据题意得4x5 ， 方程两边同乘2得8x102x1， 移项、合并同类项得6x9， 解得x .故选B.,讲： 解一元一次方程的易错点(1)去分母时漏乘不含分母的项，去分母后分子忘记加 括号； (2)去括号时漏乘或弄错符号；(3)移项时不变号；(4)系数化为1时弄错符号
5、或分子、分母颠倒 练：链接变式训练2,1(2016槐荫一模)方程x20的解是( ) Ax Bx Cx2 Dx2,C,2.(2016株洲)在解方程 时，方程两边同 时乘6，去分母后，正确的是( ) A2x16x3(3x1) B2(x1)6x3(3x1) C2(x1)x3(3x1) D(x1)x3(x1),B,考点二 二元一次方程组的解法 (5年0考) 例2 (2017历城二模)二元一次方程组 的解 为( ),【分析】 利用加减消元法求出x，把x的值代入求出y，即可得出方程组的解,【自主解答】,得3x6，解得x2. 把x2代入得y1， 故方程组的解为 故选B.,当方程中有一个未知数的系数为1或1时
6、，一般采用代入消 元法；当两个方程中的某个未知数的系数相同或互为相反数， 或者存在倍数关系时，一般采用加减消元法另外，要关注 所求与已知之间的关系，注意整体思想的应用,D,4(2016历城一模)解方程组：,解： 得3x6，解得x2. 把x2代入得y ，故方程组的解为,考点三 一次方程(组)的应用 (5年4考) 例3(2016济南)学生在素质教育基地进行社会实践活动， 帮助农民伯伯采摘了黄瓜和茄子共40 kg，了解到这些蔬菜 的种植成本共42元，还了解到如下信息：(1)请问采摘的黄瓜和茄子各多少千克？ (2)这些采摘的黄瓜和茄子可赚多少元？,【分析】 (1)设采摘黄瓜x kg，茄子y kg，根据
7、等量关系列 出方程组，求解即可；(2)求出每斤黄瓜和茄子赚的钱数， 再根据黄瓜和茄子的斤数，即可求出赚的钱数 【自主解答】 (1)设采摘黄瓜x kg，茄子y kg. 根据题意得 解得 答：采摘黄瓜30 kg，茄子10 kg.,列方程组解应用题的关键是准确地找出题目中的等量关系， 通过设未知数列出方程组，进而得出实际问题的答案在 设未知数时，可以采用直接设法，也可以采用间接设法,5(2017济南)九章算术是中国传统数学的重要著作， 方程术是它的最高成就其中记载：今有共买物，人出八， 盈三；人出七，不足四问人数、物价各几何？译文：今有 人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱， 问人
8、数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以 下列出的方程组正确的是( ),C,6(2013济南)某寄宿制学校有大、小两种类型的学生宿 舍共50间，大宿舍每间可住8人，小宿舍每间可住6人，该校 360名住宿生恰好住满这50间宿舍求大、小宿舍各有多少间？,答：大宿舍有30间，小宿舍有20间,7(2017长清二模)春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元，求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？,解：设甲种商品每件的进价为x元，乙种商品每件的进价 为y元， 由题意得解得,答：甲种商品每件的进价为30元，乙种商品
9、每件的进价 为70元,第二节 一元二次方程,知识点一 一元二次方程的有关概念 1一元二次方程：只含有 _个未知数x的整式方程，并且 都可以化成ax2bxc0(a，b，c为常数，a0)的形式， 这样的方程叫做一元二次方程,一,2一般形式：ax2bxc0(a，b，c为常数，a0)其 中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分 别称为二次项系数和一次项系数 3一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边 _ 的未知数的值叫做一元二次方程的解(根),相等,知识点二 一元二次方程的解法,知识点三 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1 _叫做一元二次方程ax2bxc0(a0)的根
10、的判别式判别式的符号决定了方程根的情况，即 b24ac0方程有两个 _的实数根； b24ac0方程有两个 _ 的实数根； b24ac0方程 _实数根,b24ac,不相等,相等,没有,应用根的判别式时，当一元二次方程不是一般形式时， 要先化成一般形式,2若一元二次方程ax2bxc0(a0)的两根分别为x1，x2，则x1x2_， x1x2 _,应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意以下几点： (1)当一元二次方程不是一般形式时，要先化成一般形式； (2)计算x1x2 时，不要漏“”号；(3)应用根与系 数的公式前，首先确定判别式b24ac0是否成立，判别式 b24ac0是应用根与系数的公式的前提
11、,知识点四 一元二次方程的应用 1列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)审，即审清题 意，找出题中的已知量、未知量；(2)设，即设出关键未知 数；(3)列，即找出等量关系，列方程；(4)解，即解方程； (5)验，即检验结果是否正确或是否有实际意义； (6)答，即回归题中，规范作答,2应用题中常见的等量关系 (1)增长率等量关系：增长率增长量基础量100%. 一般类型：设原来量为a，平均增长(下降)率为x，则一 次增长(下降)后的值为a(1x)，两次增长(下降)后的值 为a(1x)2.,(2)利润等量关系：利润售价成本(进价)，利润率100%. (3)利息等量关系：利息本金利率期数； 本息和本
12、金利息；利息税利息税率 (4)行程等量关系：路程速度时间,考点一 一元二次方程的解法 (5年1考) 例1(2017槐荫一模)解方程：x2x10.,【分析】 根据配方法，利用完全平方公式求解即可,讲：解一元二次方程的注意点(1)在运用公式法解一元二次方程时，要先把方程化为一般形 式，再确定a，b，c的值，否则易出现符号错误；(2)用因式分解法 确定一元二次方程的解时，一定要保证等号的右边化为0，否则易出 现错误；(3)如果一元二次方程的常数项为0，不能在方程两边同 时除以未知数，否则会漏掉x0的解；(4)对于含有不确定量的方 程，需要把求出的解代入原方程检验，避免增根 练：链接变式训练2,1(2
13、016历下二模)已知等腰三角形腰和底的长分别是方 程x24x30的两个根，则该三角形的周长可以是( ) A5 B7 C5或7 D10,B,2解方程： (1)(2x1)225；(2)x24x30.,解：(1)开方得2x15， 解得x13，x22. (2)整理得x24x3， 配方得x24x47，即(x2)27， 开方得x2 ， 解得x12 ，x22 .,考点二 一元二次方程根的判别式 (5年1考) 例2 (2016济南)若关于x的一元二次方程x22xk0有两 个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) Ak1 Bk1 Ck1 Dk1,【分析】 当0时，方程有两个不相等的实数根，据此 求出k的取值范围
14、即可 【自主解答】 关于x的一元二次方程x22xk0有两个 不相等的实数根， (2)24k0，解得k1， k的取值范围是k1.故选A.,(1)一元二次方程的解一般分为“无实根”“有实根”“有 两个相等的实根”“有两个不相等的实根”四种情况，注 意与判别式的对应关系；(2)利用根的情况确定字母系数的 取值范围时，不要漏掉二次项系数不为0这个隐含条件,3(2017历城二模)下列一元二次方程有两个相等实数根 的是( ) Ax230 B(x1)20 Cx22x0 D(x3)(x1)0 4(2017历下二模)若一元二次方程x24xk0有两个 不相等的实数根，则k的取值范围是 _,B,k4,考点三 一元二
15、次方程根与系数的关系 (5年1考) 例3 (2017济南)关于x的方程x25xm0的一个根为 2，则另一个根为( ) A6 B3 C3 D6 【分析】 设方程的另一个根为a，由根与系数的关系求解 即可 【自主解答】 设方程的另一个根为a，由根与系数的关系 得2a5，解得a3.故选B.,讲： 应用根与系数关系的前提研究一元二次方程根与系数的关系的前提：(1)二次项 系数a0；(2)判别式0.因此利用一元二次方程根与系数 的关系求方程中所含字母的值或范围时，必须要考虑这两个 条件 练：链接变式训练5,5若关于x的方程x2ax2a0的两根的平方和是5， 则a的值是( ) A1或5 B1 C5 D1,
16、D,6(2016潍坊)关于x的方程3x2mx80有一个根是 ， 求另一个根及m的值,解：设方程的另一根为t. 依题意得3( )2 m80，解得m10. 又 t ，解得t4. 故另一个根是4，m的值为10.,考点四 一元二次方程的应用 (5年1考) 例4 (2015济南)将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长 为3 cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容 积为300 cm3，则原铁皮的边长为( ) A10 cm B13 cm C14 cm D16 cm,【分析】 设正方形铁皮的边长是x cm，表示出无盖盒子的 长、宽、高，再根据长方体的体积公式求解即可 【自主解答】 设正方形铁皮的边长是
17、x cm，则无盖的盒子 的长、宽都为(x32)cm，高为3 cm， 由题意得(x32)(x32)3300， 解得x116，x24(不合题意，舍去)故选D.,列一元二次方程解决实际问题的关键是找出“等量关系”， 在得到方程的解之后，要记得检验它是否符合实际意义,7(2017市中一模)如图，要利用一面墙(墙长为25 m)建 羊圈，用100 m的围栏围成总面积为400 m2的三个大小相同 的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？,解：设AB的长度为x m，则BC的长度为(1004x)m. 根据题意得(1004x)x400，解得x120，x25. 则1004x20或1004x80. 8025，x
18、25舍去， 即AB20，BC20. 答：羊圈的边长AB，BC分别是20 m，20 m.,8(2017烟台)今年，我市某中学为响应习总书记“足球 进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动现需要购进 100个某品牌的足球供学生使用经调查，该品牌足球2015年 单价为200元，2017年单价为162元 (1)求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率； (2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促 销方案：,试问去哪个商场购买足球更优惠？,解：(1)设平均每年降低的百分率为x. 由题意得200(1x)2162， 解得x0.1或x1.9(舍去),答：平均每年降低的百分率为1
19、0%. (2)A商场买十送一，买90个送9个，另外1个需要购买， 需要购买91个，所需费用为1629114 742(元) B 商场全场九折，所需费用为1620.910014 580(元) 14 74214 580， 去B 商场购买更优惠,第三节 分式方程,知识点一 分式方程及其解法 1分式方程的概念：分母中含有 _的方程叫做分式 方程,未知数,2分式方程的解法,解分式方程去分母时，不要漏乘常数项；去括号时，括号前 面是负号时，括号内要变号；解得整式方程的根后，要代入 原分式方程或最简公分母检验,(2)增根：使分式方程 _的根称为原方程的增根 (3)产生增根的原因：将分式方程化为整式方程时，在方
20、程 的两边同乘使最简公分母为 _的整式,分母为零,0,知识点二 分式方程的应用 1列分式方程解应用题的一般步骤与列整式方程的步骤一 样：审题、设未知数、列方程、解方程、检验并作答,解分式方程应用题验根时，既要检验是否是原分式方程的 根，还要检验是否使实际问题有意义,2常见类型有工程问题、行程问题及工作量问题,考点一 解分式方程 (5年3考) 例1(2016济南)若代数式 与 的值相等，则x . 【分析】 由代数式 与 的值相等，得出方程 ， 解方程即可 【自主解答】 由题意得 ， 去分母得6x4(x2)，解得x4， 经检验，x4是原方程的解故答案为4.,讲： 解分式方程的易错点在解分式方程中，
21、易出错的是：(1)最简公分母确定 不准；(2)去分母漏乘不含分母的项；(3)当括号前面是负 号时，去括号漏变号；(4)忽略验根 练：链接变式训练2，3,1(2014济南)若代数式 和 的值相等， 则x _ 2(2017历下二模)解方程： . 解：方程两边都乘x(x3)，得2x3(x3)， 解得x9. 经检验，x9为原方程的根,7,3(2017高新一模)解分式方程： . 解：去分母，得1x12(x3)， 解得x4. 经检验，x4是原分式方程的解,考点二 由解的情况求参数的取值范围 (5年0考) 例2(2016潍坊)若关于x的方程 的解为正数， 则m的取值范围是( ),【分析】 先去分母转化为整式
22、方程，再利用解为正数列不 等式，解不等式得出x的取值范围，进而得出答案,讲： 分式方程无解的原因分式方程无解的原因有两种：一是去分母后的整式方程 无解；二是整式方程的解使最简公分母为0.在解答此类问题 时，一定要考虑全面，切勿漏解 练：链接变式训练5,4(2017龙东)若关于x的分式方程 的解为非负 数，则a的取值范围是( ) Aa1 Ba1 Ca1且a4 Da1且a4 5若关于x的分式方程 有增根，则k的值为 _,C,考点三 分式方程的应用 (5年2考) 例3(2017济南)某小区响应济南市提出的“建绿透绿” 号召，购买了银杏树和玉兰树共150棵用来美化小区环境， 购买银杏树用了12 000
23、元，购买玉兰树用了9 000元已知 玉兰树的单价是银杏树的1.5倍，那么银杏树和玉兰树的单 价各是多少？ 【分析】 设银杏树的单价为x元，则玉兰树的单价为1.5x元，根据等量关系列出方程，解答即可,【自主解答】 设银杏树的单价为x元，则玉兰树的单价为 1.5x元， 由题意得 ，解得x120. 经检验，x120是原分式方程的根，且符合实际意义， 则1.5x180. 答：银杏树的单价为120元，玉兰树的单价为180元,在利用分式方程解决问题时，必须进行“双检验”，既要检验去分母化成的整式方程的解是否为分式方程的解，又要检验分式方程的解是否符合实际意义,6(2017历城一模)某市为处理污水需要铺设一
24、条长为 4 000 m 的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响， 实际施工时每天比原计划多铺设10 m，结果提前20天完成任 务设原计划每天铺设管道x m，则可得方程( ),A,7(2015济南)济南与北京两地相距480 km，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4 h到达，已知高铁列车的平均行驶速度是普通快车的3倍，求高铁列车的平均行驶速度,解：设普通快车的速度为x km/h， 由题意得 ， 解得x80. 经检验，x80是原分式方程的解，且符合题意， 3x380240. 答：高铁列车的平均行驶速度是240 km/h.,第四节 一元一次不等式(组),知识点一 不等式的概念及其性质 1不等式的概
25、念：一般地，用符号“”(或“”)连接的式子叫做不等式 2不等式的解：能使不等式成立的 _的值，叫做不 等式的解,未知数,3不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组 成这个不等式的解集 4不等式的基本性质 (1)不等式的基本性质1：不等式的两边都加(或减)同一个整 式，不等号的方向 _即若ab，则ac _ bc.,不变,(2)不等式的基本性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一 个正数，不等号的方向 _即若ab，且c0， 则ac_bc， _ . (3)不等式的基本性质3：不等式的两边都乘(或除以)同一 个负数，不等号的方向_即若ab，且c0， 则ac_bc， _ .,不变,改变,知识点二
26、一元一次不等式及其解法 1一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最 高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式 2一元一次不等式的解法 (1)解一元一次不等式的一般步骤：去分母， _，移 项， _，系数化为1.,去括号,合并同类项,(2)一元一次不等式的解集在数轴上的表示如下：,知识点三 一元一次不等式组及其解法) 1一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一 元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组 2一元一次不等式组的解法 (1)解一元一次不等式组的一般步骤：先求出这个不等式组 中每个一元一次不等式的解集，然后求出不等式解集的公共 部分，得出不等式组的解集,(2)
27、常见的几种不等式组解集的表示(其中ab)：,知识点四 一元一次不等式的应用列一元一次不等式解应用题的一般步骤：(1)审，即 审清题意，找出不等关系；(2)设，即设出关键未知数； (3)列，即列不等式；(4)解，即解不等式；(5)验，即检 验结果是否符合实际背景；(6)答，即写出规范结果，并 作答,表示不等关系的关键词与不等号的对应： “大于”“多于”“超过”“高于”“”； “小于”“少于”“不足”“低于”“”； “至少”“不少于”“不低于”“不小于”“”； “最多”“不高于”“不大于”“不超过”“”,考点一 一元一次不等式的解法 (5年0考) 例1(2017槐荫二模)不等式1x0的解集在数轴上
28、表示正确的是( ),【分析】 先根据不等式的性质求出不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可 【自主解答】 由1x0，解得x1， 表示在数轴上如D选项所示故选D.,讲： 解一元一次不等式的易错点解一元一次不等式并用数轴表示解集时，最易出错的有 以下三点：(1)去分母时常数项漏乘；(2)两边同乘负数时， 不等号方向忘记改变；(3)用数轴表示解集时，忽略“实心 圆点”与“空心圆圈”的区别 练：链接变式训练2,1(2016槐荫一模)下列数值中不是不等式5x2x9的 解的是( ) A5 B4 C3 D2 2(2017天桥二模)不等式3x22x1的解集是 _.,D,x1,考点二 一元一次不等式组的解法 (
29、5年5考) 例2(2017济南)解不等式组： 【分析】 先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的 解集 【自主解答】 由得x1，由得x2， 故不等式组的解集为1x2.,求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小 取较小，小大大小中间找，大大小小解不了,3(2015济南)解不等式组： 解： 解得x2， 解得x1， 故不等式组的解集为x2.,4(2016济南)解不等式组： 解：由得x3， 由得x2， 故不等式组的解集为2x3.,考点三 一元一次不等式的应用 (5年0考) 例3 为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器 一商场抓住商机，从厂家购进了A，B两种型号家用净水器 共160台，A
30、型号家用净水器进价是150元/台，B型号家用净 水器进价是350元/台，购进两种型号的家用净水器共用去 36 000元,(1)求A，B两种型号家用净水器各购进了多少台； (2)为使每台B型号家用净水器的毛利润是A型号的2倍， 且保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于11 000元， 求每台A型号家用净水器的售价至少是多少元 (注：毛利润售价进价),【分析】 (1)设A种型号家用净水器购进了x台，B种型号家 用净水器购进了y台，根据“购进了A，B两种型号家用净水 器共160台，购进两种型号的家用净水器共用去36 000元” 列出方程组解答即可；(2)设每台A型号家用净水器的毛利润 是a元，则
31、每台B型号家用净水器的毛利润是2a元，根据保证 售完这160台家用净水器的毛利润不低于11 000元，列出不 等式解答即可,【自主解答】 (1)设A种型号家用净水器购进了x台，B种型 号家用净水器购进了y台， 由题意得 解得 答：A种型号家用净水器购进了100台，B种型号家用净水器 购进了60台,(2)设每台A型号家用净水器的毛利润是a元，则每台B型号 家用净水器的毛利润是2a元， 由题意得100a602a11 000，解得a50， 15050200(元) 答：每台A型号家用净水器的售价至少是200元,运用不等式解决实际问题时，关键是分析问题中的数量关 系，要注意抓住问题中的关键字，如“至少”
32、“不低于” “不超过”“不少于”等，找出不等关系，从而列出不等 式求解,5某公路维护站欲购置甲、乙两种型号清雪车共20台， 甲型每台30万元，乙型每台15万元，若在购款不超过 360万元，甲型、乙型都购买的情况下，甲型清雪车最 多可购买 _台,4,6. 为支援灾区，某学校计划用“义捐义卖”活动中筹集的 部分资金用于购买A，B两种型号的学习用品共1 000件，已 知A型学习用品的单价为20元，B型学习用品的单价为30元 (1)若购买这批学习用品用了26 000元，则购买A，B两种学 习用品各多少件？ (2)若购买这批学习用品的钱不超过28 000元，则最多购买 B型学习用品多少件？,解：(1)设购买A型学习用品x件，B型学习用品y件， 由题意得 解得 答：购买A型学习用品400件，B型学习用品600件,(2)设可以购买B型学习用品a件，则A型学习用品 (1 000a)件， 由题意得20(1 000a)30a28 000， 解得a800. 答：最多购买B型学习用品800件,扫码新浪微博了解更多,
