1、1,数 学 建 模,插 值 篇,华北电力大学科院数学教研室,2,内容,2 一维插值,3 二维插值,4 实验作业,目的,2、了解用Matlab求解插值问题的基本函数。,1、掌握插值的基本内容。,1 问题的提出,3,散点图,(2)由图形可见，若可由散点图得到时间和温度的函数关系（一元函数），则问题得解！,分析：,(1)画出散点图；,显然，找时间和温度间的函数关系是很难的！ 那我们是否可以找到一条经过每一个点的简单函数作为它的近似呢？,4,和问题1完全相同！,这就是一维插值问题！,散点图,5,分析：,与问题1不同的是，要找一个简单的二元函数，来表示位置和温度间的函数关系！,注意这里平面上的点是网格点
2、！,网格图,6,易见，这里所给的平面上的数据点不再是网格点！,散点图,这就是二维插值问题！,返回,7,拉格朗日插值,分段线性插值,三次样条插值,一维插值,一、插值的定义,二、插值的方法,三、用Matlab解插值问题,返回,8,返回,二维插值,一、二维插值定义,二、网格节点插值法,三、用Matlab解插值问题,最邻近插值,分片线性插值,双线性插值,网格节点数据的插值,散点数据的插值,9,一维插值的定义,问题的提法：,10,构造一个(相对简单的)函数,使之在节点处与被插函数的值相等,即满足,返回,插值条件,解决方法:,插值函数,被插函数,插值节点,11,已知函数g(x)在n+1个互异节点x0,x1
3、,xn (通常取等距节点)处的函数值为 y0,y1,yn 。求一n阶多项式函数Pn(x)，,拉格朗日(Lagrange)插值,使其满足Pn(xi)=yi,i=0,1,n. （插值条件）,定理,n+1个插值条件可以唯一确定一个n阶插值多项式.,即,插值多项式,12,称之为拉格朗日插值基函数。,由拉格朗日插值多项式的唯一性，为了避免求解方程组，可以用如下方法求得拉格朗日插值多项式！,其中Li(x) 为n阶多项式：,拉格朗日插值公式,容易验证，由拉格朗日插值公式确定的插值多项式满足插值条件，因此即为所求拉格朗日插值多项式！,13,特别地,两点一次(线性)插值多项式为:,三点二次(抛物)插值多项式为:
4、,14,例1,试用拉格朗日插值逼近 分别取n=2，4，8，20，画出图形。,To MATLAB lagsin(lagr1),15,返回,拉格朗日多项式插值的 这种振荡现象叫 Runge现象,采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值节点个数n+1，其中n为插值多项式的次数，当n分别取2,4,6,8,10时，绘出插值结果图形.,To Matlab lch(larg1),例2,16,分段线性插值,计算量与n无关;n越大，误差越小。,其中,17,To MATLAB xch11，xch12，xch13，xch14, xch1234,用分段线性插值法求插值,并观察插值误差.,1.在-5,5中平均选取5个点作插
5、值(xch11),4.在-5,5中平均选取41个点作插值(xch14),2.在-5,5中平均选取11个点作插值(xch12),3.在-5,5中平均选取21个点作插值(xch13),绘出的图形见下页(xch1234.m)：,例3,18,返回,19,是一种分段插值，比分段线性插值更光滑！,在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲线)的k阶可导且连续，则称该曲线具有k阶光滑性。光滑性的阶次越高，则越光滑。为了得到具有较高阶光滑性的分段低次插值多项式，我们介绍三次样条插值。,三次样条插值,20,g(x)为被插函数。,定义,21,用三次样条插值选取11个节点计算插值(ych)。,返回,To MATLAB
6、ych,绘出图形如下：,例4,22,用MATLAB作插值计算,一维插值函数：,yi=interp1(x，y，xi，method),nearest：最邻近插值(即用离被插值点最近的插值节点的函数值作为被插值点的近似值）; linear ：线性插值（默认值）； spline ：三次样条插值（二阶可导且连续）；cubic ：保形插值（一阶可导且连续）。,注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。,23,例1 在1-12的11小时内，每隔1小时测量一次温度，测得的温度依次为：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。试估计每隔1/10小时的温度值。,To
7、 MATLAB (temp),Matlab下的实现： hours=1:12; temps=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24; h=1:0.1:12; t=interp1(hours,temps,h,spline); %直接输出数据将是很多的 plot(hours,temps,+,h,t) %作图 xlabel(Hour),ylabel(Degrees Celsius),插值曲线,24,例2 已知飞机下轮廓线上数据如下，求x每改变0.1时的y值。,To MATLAB plane(lagr1),25,不同插值下机翼轮廓曲线图,返回,26,二维插值的定义,第一种（网格
8、节点）：,27,已知 mn个节点,（其中x*,y*为被插节点。）,28,第二种（散乱节点）：,29,返回,（其中x*,y*为被插节点。）,30,注意：最邻近插值一般不连续。具有连续性的最简单的插值是分片线性插值。,最邻近插值,二维或高维情形的最邻近插值，用与被插值点最邻近的节点的函数值作为被插节点的近似值。,返回,31,将四个插值点（矩形的四个顶点）处的函数值依次简记为：,分片线性插值,f (xi, yj)=f1，f (xi+1, yj)=f2，f (xi+1, yj+1)=f3，f (xi, yj+1)=f4,插值函数为形如 的双线性函数！,（由三个点唯一确定！）,32,第二片(上三角形区域
9、)：(x, y)满足,注意：(x, y)当然应该是在插值节点所形成的矩形区域内。显然，分片线性插值函数是连续的；,分两片的函数表达式如下：,第一片(下三角形区域) ：(x, y)满足,返回,插值函数为(通过确定 的系数)：,插值函数为(通过确定 的系数)：,33,双线性插值是由一片一片的空间二次曲面构成。 双线性插值函数的形式如下：,其中有四个待定系数，利用该函数在矩形的四个顶点（插值节点）的函数值，得到四个代数方程，正好确定四个系数。,双线性插值,返回,34,要求x0,y0单调；x取行向量，y取为列向量，反之也行！或者x, y=meshgrid(x1, y1)；x,y的值分别不能超出x0,y
10、0的范围。,z=interp2(x0,y0,z0,x,y,method),用MATLAB作网格节点数据的插值,nearest：最邻近插值（不连续）； linear：双线性插值（连续）； cubic：双三次插值（光滑）； spline: 样条插值（光滑）； 缺省时,双线性插值。,35,例3 测得平板表面3*5网格点处的温度分别为： 82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 84 84 82 85 86 试作出平板表面的温度分布曲面z=f(x,y)的图形。,1.先在三维坐标画出原始数据，画出粗糙的温度分布曲面图.,2以平滑数据,在x、y方向上每隔0.2个单位的地方进行插值并画出插
11、值后的温度分布曲面图.,x=1:5; y=1:3; temps=82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86; mesh(x,y,temps);,输入以下命令：,36,To MATLAB (wendu),图形如下：,输入以下命令:,xi=1:0.2:5; yi=1:0.2:3; zi=interp2(x,y,temps,xi,yi,cubic); mesh(xi,yi,zi)；,37,通过此例对最近邻点插值、双线性插值方法和双三次插值方法的插值效果进行比较。,To MATLAB (moutain),运行程序所得结果如下：,38,39,40,41,42
12、,返回,43,插值函数griddata格式为:,cz =griddata（x，y，z，cx，cy，method）,用MATLAB作散点数据的插值计算,要求cx取行向量，cy取为列向量 或者利用cx,cy=meshgrid(x1, y1)； 来生成被插值点，此时x1，y1为向量。,nearest 最邻近插值（不连续） linear 双线性插值（连续） cubic 双三次插值（光滑） v4- Matlab提供的插值方法（光滑） 缺省时, 为双线性插值,44,例5 在某海域测得一些点(x,y)处的水深z由下表给出，船的吃水深度为5英尺，在矩形区域（75，200）*（-50，150）里的哪些地方船要避
13、免进入。,45,To MATLAB hd1,返回,4.作出水深小于5的海域范围,即z=5的等高线.,大家自己运行程序，观察所得结果！,3.做海底曲面图,46,实验作业,1. 一维插值和二维插值的定义？ 2. 一维插值和二维插值各有哪些方法？各种方法的特点是什么？ 3. 如何正确运用Matlab求解插值问题？,思考题：,47,建模题目1,丙烷的导热系数是化工生产中值得注意的量，而且常常需要在不同温度及压力下的导热系数，然而我们不可能也没有必要过细地实验测量，经过实验，给出数据如表1所示，,表中的分别表示温度、压力、导热系数，并假设在这个范围内导热系数近似的随压力线性变化，求压力为且温度为99下的导热系数。,解答参考,48,某地区用水管理机构需要对居民的用水速度（单位时间的用水量） 和日总用水量进行估计。现有一居民区，其自来水是由一个圆柱形水塔提供，水塔高12.2m，塔的直径为17.4m。水塔是由水泵根据水塔中的水位自动加水，一般水泵每天工作两次，按照设计，当水塔中的水位降至最低水位，约8.2m时，水泵自动启动加水；当水位升高到最高水位，约10.8m时，水泵停止工作。表2给出的是某一天的测量数据，测量了28个时刻的数据，但由于水泵正向水塔供水，有三个时刻无法测到水位（表中用表示），试建立数学模型，来估计居民的用水速度和日用水量。,估计水塔的水流量,返回,解答参考,建模题目2,
