1、九年级数学（上册）第一章 证明(二),3.线段的垂直平分线 （2）三角形的垂心,驶向胜利的彼岸,线段的垂直平分线的作法,已知:线段AB,如图. 求作:线段AB的垂直平分线. 作法:,用尺规作线段的垂直平分线.,1.分别以点A和B为圆心,以大于AB/2长为半径作弧,两弧交于点C和D.,2. 作直线CD.,则直线CD就是线段AB的垂直平分线.,请你说明CD为什么是AB的垂直平分线,并与同伴进行交流.,老师提示: 因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中点,所以我们也用这种方法作线段的中点.,驶向胜利的彼岸,线段的垂直平分线的性质,定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.,老师提示:这
2、个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.,如图, AC=BC,MNAB,P是MN上任意一点(已知), PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等).,驶向胜利的彼岸,线段的垂直平分线的性质定理的逆定理,逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.,如图, PA=PB(已知), 点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).,老师提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一. 从这个结果出发,你还能联想到什么?,驶向胜利的彼岸,亲历知识的发生和发展,剪一个三角形纸片通过折叠找出每条边的垂直平
3、分线.,结论:三角形三条边的垂直平分线相交于一点.,老师期望: 你能写出规范的证明过程.,你想证明这个命题吗?你能证明这个命题吗?,观察这三条垂直平分线,你发现了什么?,驶向胜利的彼岸,亲历知识的发生和发展,利用尺规作出三角形三条边的垂直平分线.,结论:三角形三条边的垂直平分线相交于一点.,老师期望: 你能写出规范的证明过程.,你想证明这个命题吗?你能证明这个命题吗?,再观察这三条垂直平分线,你又发现了什么?与同伴交流.,驶向胜利的彼岸,命题:三角形三条边的垂直平分线相交于一点.,如图,在ABC中,设AB,BC的垂直平分线相交于点P,连接AP,BP,CP.,点P在线段AB的垂直平分线上, PA
4、=PB (或AB的中点,). 同理,PB=PC. PA=PC. 点P在线段AB的垂直平分线上, AB,BC,AC的垂直平分线相交于一点.,想一想:若作出P的角平分线,结论是否也可以得征?,咋证三条直线交于一点,基本想法是这样的:我们知道,两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理.,驶向胜利的彼岸,定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.,如图,在ABC中, c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线(已知), c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC(三角形三条边的垂
5、直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等).,老师提示: 这是一个证明三条直线交于一点的证明根据.,几何的三种语言,挑战自我,驶向胜利的彼岸,已知三角形的一条边及这条边上的高,你能作出三角形吗?,老师期望: 你能亲自探索出结果并能用尺规作出图形.,如果能,能作出几个?所作出的三角形都全等吗?,已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个?,梦想成真,1.已知底边及底边上的高,利用尺规作等腰三角形.,已知:线段a,h(如图).,求作: ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h,老师期望: 你能亲自写出作法.,作法:,驶向胜利的彼岸,回味无穷,定理 三角形三条
6、边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等. 如图,在ABC中, c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线(已知), c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC(三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等).,驶向胜利的彼岸,知识的升华,P9习题1.7 1,2题.祝你成功！,驶向胜利的彼岸,习题1.7,驶向胜利的彼岸,1.已知线段a,求作以a为底,以a/2为高的等腰三角形.这个等腰三角形有什么特征?,老师提示: 先分析,作出示意图形,再按要求去作图.,这个等腰三角形有什么特征?,习题1.7,驶向胜利的彼岸,2.为筹办一个大型运动会,某市政府打算修建一个大型体育中心.在选址过程中,有人建议该体育中心所在位置应当与该城市的三个城镇中心(如图中P,Q,R表示)的距离相等.,老师期望: 养成用数学解释生活的习惯.,(1).根据上述建议,试在图(1)中画出体育中心G的位置;,(2).如果这三个城镇的位置如图(2)所示,RPQ是一个钝角,那么根据上述建议,体育中心G应在什么位置?,(3). 你对上述建议有何评论?你对选址有什么建议?,结束寄语,严格性之于数学家,犹如道德之于人. 证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.,
