1、,3.1函数的单调性,复习引入： 问题1：怎样利用函数单调性的定义 来讨论其在定义域的单调性,1一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，(1)若f(x1)f (x2)，那么f(x)在这个区间上是增函数.即x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,即.,(2)若f(x1)f (x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数,此时x1-x2与f(x1)-f(x2)异号,即,(2)作差f(x1)f(x2)，并变形.,2由定义证明函数的单调性的一般步骤：,(1)设x1、x2是给定区间的任意两个值，且x1 x2.,(3)判断差的符号(与比较)，从而
2、得函数的单调性.,例1：讨论函数y=x24x3的单调性.,解：取x1f(x2)，那么 y=f(x)单调递减。当20， f(x1)f(x2)，那么 y=f(x)单调递增。综上 y=f(x)单调递增区间为（2，+）y=f(x)单调递减区间为（，2）。,函数y=x24x3的图象：,2,单增区间：（，+）.,单减区间：(，).,单增区间：(-，-1)和 （1，+）.,单减区间：(-1，0）和 （0，1）.,例2：讨论函数 的单调性。,那么如何求出下列函数的单调性呢?,发现问题：用单调性定义讨论 函数单调性虽然可行，但十分 麻烦，尤其是在不知道函数图 象时.例如y=x3+2x2-x.是否有更 为简捷的方
3、法呢？下面我们通 过函数的y=x24x3图象来考 察单调性与导数有什么关系：,这表明：导数的正、负与函数的单调性密 切相关,2,.,.,.,.,.,.,.,再观察函数y=x24x3的图象：,总结:该函数在区间 （，2）上单减, 切线斜率小于0,即其 导数为负,在区间（2，+）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0. 函数在该点单调性发生改变.,结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间 内可导,则函数在该区间如果f(x)0,注意:如果在某个区间内恒有f(x)=0,则f(x)为常数函数.,如果f(x)0,则f(x)为增函数;,则f(x)为减函数.,例3：求函
4、数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间.,解:函数的定义域为R,f(x)=6x2-12x,令6x2-12x0,解得x2， 则f(x)的单增区间为（，0）和 （2，）.,再令6x2-12x0,解得0x2, 则f(x)的单减区间(0,2).,注:当x=0或2时, f(x)=0,即函数在该点单调性发生改变.,例4 求函数f(x)=sinx,x0,2 的单调区间.,例5 判定函数y=ex-x+1的单调区间.,解: f(x) =ex-1当ex-10时,解得 x0. 则函数的单增区间为(0,+).当ex-10时,解得x0. 即函数的单减区间为(-,0).,总结：根据导数确定函数的单调性,1.确定函数f(
5、x)的定义域.,2.求出函数的导数.,3.解不等式f (x)0,得函数单增区间;解不等式f(x)0,得函数单减区间.,练习:P74,知识应用,1应用导数求函数的单调区间,(1)函数y=x3在3，5上为_函数(填“增”或“减”)。,基础训练：,增,增,减,既不是增函数 又不是减函数,变1：求函数 的单调区间。,理解训练：,变2：求函数 的单调区间。,巩固训练：,变3：求函数 的单调区间。,已知导函数的下列信息：,试画出函数 图象的大致形状。,2应用导数信息确定函数大致图象,设 是函数 的导函数， 的图象如 右图所示,则 的图象最有可能的是( ),(A),(B),(C),(D),C,B,1、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为( ) (-1,1) (1,2) (C) (-,-1) (D) (-,-1) ，(1, +),课 堂 练 习,A,3、当x(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是( ) 单调递增函数 （B）单调递减函数 (C)部份单调增，部分单调减 (D) 单调性不能确定,2、函数y=a(x3-x)的减区间为 a的取值范围为( ) (A)a0 (B)11 (D) 0a1,A,B,
