1、,三角形内角和的证明与应用,一、复习“三角形内角和定理”,我们已经知道：,三角形的三个内角之和等于180。即：在ABC中， 有A+B+C=180,二、论证“三角形内角和定理”,即把A撕下来放在1的位置上，把B撕下来放在2的位置上。这时就可得ACB和1和2组成了一条直线，得到ACB+1+2=180，就可说明A+B+C=180了。,你试过了吗？.,在前面我们是采用拼接的方法来说明的。,但是组成的BC和CD真的就是一条直线吗？,很明显，这是无法确定的,如果ABC是画在一块不能分割的平面上，如在黑板上，这时就不可能做到把A、B撕下来再分别放在1、2的位置上，那么又如何论证A+B+C= 180呢？,三角
2、形内角和定理的证明,言必有“据”,我们知道三角形三个内角的和等于1800.你还记得这个结论的探索过程吗?,1,2,A,B,D,3,C,(1)如图,当时我们是把A移到了1的位置,B移到了2的位置.如果不实际移动A和B,那么你还有其它方法可以 达到同样的效果?,(2)根据前面的公理和定理,你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗?你能用比较简捷的语言写出这一证明过程吗?与同伴交流.,三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800.,“行家” 看“门道”,已知:如图, A、B、C 是ABC 的三内角. 求证:A+B+C=1800.,证明:作BC的延长线CD,过点C 作CEAB,则,你还有其它方法来
3、证明三角形内角和定理吗?.,1=A(两直线平行,内错角相等),2= B(两直线平行,同位角相等).,又1+2+3=1800 (平角的定义), A+B+ACB=1800 (等量代换).,分析:延长BC到D,过点C作射线CEAB,这样,就相当于把A移到了1的位置,把B移到了2的位置.,这里的CD,CE称为辅助线,辅助线通常画成虚线.,一题 多解,在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角“凑”到A处,他过点A作直线PQBC(如图),他的想法可以吗?,请你帮小明把想法化为实际行动.,小明的想法已经变为现实,由此你受到什么启发?你有新的证法吗?,证明:过点A作PQBC,则,1=B(两直线平行,内错
4、角相等),2=C(两直线平行,内错角相等),又1+2+3=1800 (平角的定义), BAC+B+C=1800 (等量代换).,所作的辅助线是证明的一个重要组成部分,要在证明时首先叙述出来.,A,B,C,已知：如图，A B C. 求证：A +B +C=180,开启 智慧,还有其他证明方法吗？,“行家” 看“门道”,根据下面的图形,写出相应的证明.,你还能想出其它证法吗?,A,B,C,证明：过A作AEBC，,E,开启 智慧,证明：过点P作PQ AC交AB于Q点，作PR AB交AC于R点。 四边形AQPR是平行四边形（平行四边形的定义） QPR= A（平行四边形的对角相等） RPC= B（两直线平
5、行，同位角相等） QPB= C（两直线平行，同位角相等） QPB+ QPR + RPC=180 （1平角=180 ） A+ B+ C=180 （等量代换）,EBC+ FCB=180 （两直线平行，同旁内角互补）即1+ ABC+ ACB+4= 180 又 BAC= 2+ 3 BAC + ABC + ACB= 180 （等量代换）,A,B,C,E,D,F,（,（,（,1,2,3,证明：,过A点作射线AD，过点作BE AD，过C点作CFAD,（两直线平行，内错角相等).,4,（,则BE CF（平行与同一条直线的两直线平行） 1=2，3=4,）,A,证明：,E,作BC的延长线CD，在ABC的外部，以C
6、A为一边， CE为另一边作1=A，,则CEBA (内错角相等，两直线平行).,B=2 (两直线平行，同位角相等).,）,1,2,又1+2+ACB=180 (平角的定义),A+B+ACB=180 (等量代换),B,C,D,O,在ABC内任找一点O，连 接 AO、BO 、CO，即把ABC分成三个三 角形，即AOB、 AOC、 BOC，由于每个三角形的内角和相等，故可得等量关系AOB、 AOC 、BOC 三个的内角和减去360就是ABC 的内角和。,解：设ABC的内角和 为 X ， 于是有方程,3X 360 =X,解得 X=180 ,即三角形的内角和为180 ,O,三角形内角和定理,三角形内角和定理
7、 三角形三个内角的和等于1800. ABC中,A+B+C=1800.,A+B+C=1800的几种变形: A=1800 (B+C). B=1800 (A+C). C=1800 (A+B). A+B=1800-C. B+C=1800-A. A+C=1800-B.,这里的结论,以后可以直接运用.,我是最棒的,1.直角三角形的两锐角之和是多少度?等边三角形的一个内角是多少度?请证明你的结论.,已知:如图在ABC中，DEBC,A=600, C=700. 求证： ADE=500,结论: 直角三角形的两个锐角互余.以后可以直接运用.,1、直角三角形的两锐角之和是多少度?等边三角形的一个内角是多少度?请证明你
8、的结论.,A,B,C,结论: 直角三角形的两个锐角互余；等边三角形每个内角60以后可以直接运用.,证明：在ABC中A+B+C=180(三角形内角和定理）C= 90（已知）A+B+90=180（等量代换）A+B=18090= 90（等式性质）即A+B=90,A,B,C,已知：在ABC中，C 90 求证：AB90 ,证明： DE BC （已知） AED= C（两直线平行，同位角相等） C=700（已知） AED= 700 （等量代换） A+ AED+ ADE=1800（三角形的内角和定理） A=600（已知） ADE=1800600700=500（等量代换）即 ADE= 500,（第2题）,2、已
9、知:如图在ABC中，DEBC,A=600, C=700. 求证： ADE=500,3、如图，直线ABCD,在AB、CD外有一点P，连结PB、PD，交CD于E点。 则 B、 D、 P 之间是否存在一定的大小关系？,他们是怎样的，并加以证明？,用运动变化的观点理解和认识数学,在ABC中,如果BC不动,把点A“压”向BC,那么当点A越来越接近BC时, A就越来越大(越来越接近1800),而B和 C,越来越小(越来越接近00).由此你能想到什么?,如果BC不动,把点A“拉离”BC,那么当A越来越远离BC时,A就越来越小(越来越接近00),而B和C则越来越大,它们的和越来越接近1800, 当把点A拉到无
10、穷远时,便有ABAC,B和C成为同旁内角,它们的和等于1800.由此你能想到什么?,回味无穷,掌握几何命题证明的方法,步骤,格式及注意事项. 三角形内角和定理. 结论: 直角三角形的两个锐角互余. 探索证明的思路的方法: 由“因”导“果”,执“果”索“因”. 与同伴交流,你是如何提高证明命题能力的.,我们证明了三角形内角和定理。证明的基本思想是：运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角，辅助线是联系命题的条件和结论的桥梁。,小结：本节课你有什么收获？,三角形内角和定理,三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800. ABC中,A+B+C=1800.,A+B+C=1800的几种变形: A=1800 (B+C). B=1800 (A+C). C=1800 (A+B). A+B=1800-C. B+C=1800-A. A+C=1800-B.,这里的结论,以后可以直接运用.,同学们你们掌握了吗，课后认真复习哦,再见,
