1、第3章 连续系统的时域分析,学习重点：连续系统微分方程的特点；系统响应的分解形式；阶跃响应与冲激响应；卷积及其应用；,一、LTI系统的微分方程,3.1 系统的微分方程及其响应,描述线性时不变（LTI）系统的输入-输出特性的是常系数线性微分方程。,从系统的模型（微分方程）出发，在时域研究输入信号通过系统后响应的变化规律，是研究系统时域特性的重要方法，这种方法就是时域分析方法。,对图2-1(a)，有,图2-1,即,对于电系统，建立其微分方程的基本依据是 ：KCL： i( t )0KVL： u( t )0VCR： uR( t ) = R i( t ),对图2-1(b)，有,即,一般形式：,对图2-2
2、的二阶系统，则有,图2-2,对于n阶LTI连续系统，其微分方程为,零输入响应（储能响应 ）：,二、系统响应,从观察的初始时刻起不再施加输入信号，仅由该时刻系统本身的起始储能状态引起的响应称为零输入响应（ZIR）。,零状态响应（受激响应 ）：,当系统的储能状态为零时，由外加激励信号（输入）产生的响应称为零状态响应（ZSR） 。,完全响应：,对于一阶系统方程,则零状态响应：,图2-2,例2-1 设R=5，L=1H,C=1/6F，is(t)=4A，uc(0-)=1v，i(0-)=0.2A,电感电流i(t)为响应，求零输入响应(ZIR)、零状态响应（ZSR）和全响应。,系统的全响应,响应的分解方法：
3、按响应的不同起因：储能响应 受激响应； 按系统的性质和输入信号的性质分类：自由响应：取决于系统性质，即特征根；强迫响应：取决于输入信号的形式； 按响应的变化形式：瞬态响应：当t无限增长，响应最终趋于零；稳态响应：响应恒定或为某个稳态函数。,3.2.1 阶跃响应,LTI系统在零状态下，由单位阶跃信号引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，记为s( t )。,图2-4,3.2 阶跃响应与冲激响应,对于一阶系统方程,则阶跃响应：,则零状态响应：,阶跃响应的测量,图2-5,3.2.2 冲激响应,储能状态为零的系统，在单位冲激信号作用下产生的零状态响应称为冲激响应，记为h( t )。,对于一阶系统,则
4、冲激响应：,Eg.2-5 uc(0-)=0。输入信号 ，试以uc(t)为响应，求冲激响应h(t)。,四、阶跃响应与冲激响应的关系,由系统的微、积分特性，则,例2-6 如下补偿分压电路，求其阶跃响应和冲激响应u2(t)。,一、卷积的概念,2.4 卷积及其应用,图2-8,图2-9 任意信号分解,定义：如有两个函数f1(t)和f2(t)，积分：,称为f1(t)和f2(t) 的卷积积分，简称卷积。常简记为：,即：,两个重要结论： 任意函数 与单位冲激函数 的卷积仍为该函数本身。即：LTI系统对于任意输入信号f(t)的零状态响应等于信号函数与该系统的冲激响应h(t)的卷积。即：,对第一个结论的说明函数与
5、冲激函数的卷积：,（1）任意函数f(t)与单位冲激函数(t)的卷积仍为该函数本身。,图2-10,即：,（2）任意函数f(t)与移位的冲激函数(t-t1)的卷积为f(t-t1) 。,图2-11,即：,（3）任意函数f(t-t1)移位后与移位的冲激函数(t-t2)的卷积为f(t-t1-t2) 。,图2-12,代数性质： 交换律： f1( t ) * f2( t ) = f2( t ) * f1( t ),如，输入和冲激响应的函数表达式互换位置，则零状态响应不变。,二、卷积的性质,代数性质： 结合律： f1( t ) * f2( t ) * f3( t ) = f1( t ) * f2( t ) *
6、 f3( t ),两次卷积运算是二重积分，变换积分次序可得。,两个子系统级联,代数性质： 分配律： f1( t ) + f2( t ) * f3( t ) = f1( t ) * f3( t ) + f2( t ) * f3( t ),若 y( t ) = f1( t ) * f2( t ) 则 y( t ) = f1( t ) * f2( t ) = f1( t ) * f2( t ),应用：,f( t ) * ( t ) = f ( t ),微分特性：,积分特性：,应用：,f( t ) * ( t ) = f( t ) * (1) ( t ),若 y( t ) = f1( t ) * f2
7、( t ) 则,即信号f( t )与阶跃信号卷积，就等于信号f( t )的积分。,微分、积分特性推广,当为正整数时，表示求导数的阶数，当为负整数时，表示求重积分的次数。,延时性质：,若 f1( t ) * f2( t ) = y( t ) 则,例：已知波形如图，求,解：直接求卷积比较复杂，利用卷积的性质及函 数与冲激函数的卷积较为简便,结果如图所示,三、系统的卷积分析法,零状态响应 = 输入信号 * 冲激响应y( t ) = f( t ) * h( t ),过程：,( t ),h( t ) （定义）,( t ) h( t ) （时不变性）f( )( t ) f( )h( t ) （齐次性）,
8、（可加性）,f( t ) * ( t ) f( t ) * h( t ),f( t ) y( t ),图2-13 求零状态响应的图示,四、卷积的图解,4.相乘,5.积分 求函数 的面积。,求响应，必须：,1.换元（t),过程：,(1)当-1+t0即t1时，,y(t)=0,移动距离 t 前沿坐标-1+t,两函数无公共的非零区域,例,(1) 0 t 2时,(2) t 2时,五、 卷积的另一种计算方法,当被卷积函数中有分段连续函数时， 直接用公式,用图解来说明。,小节,时间连续LTI系统的描述：常系数线性微分方程； 常系数线性微分方程的解的分类：零输入响应和零状态响应、自由响应和强迫响应、瞬态响应和稳态响应；（掌握） 阶跃信号和冲激信号的定义、应用及两者的关系；（重点掌握） 一阶系统零状态响应（包括阶跃响应和冲激响应）求解的一般方法：（掌握）计算卷积积分，利用卷积积分计算LTI系统的零状态响应。（重点掌握）,
